Matlab的应用-多项式函数及多项式拟合.doc

Matlab的应用-多项式函数及多项式拟合

———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：

2

个人收集整理 勿做商业用途
Matlab的应用—多项式函数及多项式拟合
本节将向大家简要介绍matlab 在多项式处理方面的应用.
多项式函数主要有：
roots 求多项式的根
poly 特征多项式
polyval 多项式的计算
poly2str(p，'x’）多项式代换
polyfit 多项式曲线拟合
conv 多项式乘法
deconv 多项式除法
polyder 微分多项式

下面我们将介绍这些函数的用法:
1，roots—-—求多项式的根
格式:roots（c）
说明:它表示计算一个多项式的根，此多项式系数是向量c的元素。如果c有n+1个元素，那么此多项式为：
c(1）*x^n+c（2)＊x^（n—1)+c(3)*x^（n—2）+-—+c（n)＊x+c（n+1)
2，poly———特征多项式
格式：poly（a）
说明:（1）如果a是一个n阶矩阵,poly（a)是一个有n+1个元素的行向量，这n+1个元素是特征多项式的系数（降幂排列).
（2）如果a是一个n维向量，则poly（a）是多项式（x—a（1)）＊（x—a(2))＊..（x—a（n)），即该多项式以向量a的元素为根.
3,polyval—多项式计算
格式：polyval(v，s)
说明：
如果v是一个向量，它的元素是一个多项式的系数,那麽polyval（v,s）是多项式在s处的值.
如果s是一个矩阵或是一个向量，则多项式在s中所有元素上求值
例如：
v=[1 2 3 4];vv=poly2str（v，’s')
(即 v=s^3+2＊s^2+3＊s+4）
s=2；
x=polyval（v,s）
x =
26
例如：
v=［1 2 3 4]；
s=［2 4]；
polyval(v,s）
ans=26 112
4，conv-多项式乘法
例:as=［1 2 3]

as =

1 2 3

>〉 az=[2 4 2 1]

az =

2 4 2 1

>> conv（as,az）

ans =

2 8 16 17 8 3
conv(az，as)

ans =

2 8 16 17 8 3
5，deconv-多项式除法
例：deconv（az，as)%返回结果是商式的系数

ans =

2 0
［awwq,qw]=deconv(az，as）%awwq是商式的系数，qw是余式的系数

awwq =

2 0

qw =

0 0 -4 1
6，polyder 微分多项式
polyder（as)

ans =

2 2
7，polyfit-—多项式曲线拟合
格式：：polyfit（x,y,n)
说明：polyfit(x,y,n）是找n次多项式p(x）的系数,这些系数满足在最小二乘法意义下p(x(i)） ~= y(i）.
“人口问题"是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础。有人口统计年鉴,可查到我国从1949年至1994年人口数据资料如下：
年份
1949
1954
1959
1964
1969
1974
1979
1984
1989
1994
人口数 （百万）

541.67

602。66

672.09

704.99

806。71

908.59

975.42

1034.75

1106.76

1176.74
如何确定我国人口的发展变化规律呢?
一般地，我们采用下面的分析处理方法:
首先,在直角坐标系上作出人口数与年份的散点图象。观察随着年份的增加人口数与年份变化关系，初步估计出他们之间的关系可近似地可看做一条直线。那么我们如何把这条直线方程确定出来呢？并用他来估计1999年我国的人口数。
方法一:先选择能反映直线变化的两个点，如（1949,541。67)，（1984，1034.75）二点确定一条直线，方程为 N = 14.088 t – 26915.842 ,代入t =1999,得N »12.46亿
方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t = 1999代入，分别求出人口数，在取其算数平值.
方法三：可采用“最小二乘法”求出直线方程。这就是曲线拟合的问题。
方法一与方法二都具有一定的局限性，下面我们重点介绍数据的曲线拟合。所谓曲线拟合是指给定平面上的n个点(xi,yi),i=1,2，…。,n，找出一条曲线使之与这些点相当吻合，这个过程称之为曲线拟合。最常见的曲线拟合是使用多项式来作拟合曲线。曲线拟合最常用的方法是最小二乘法。其原理是求f（x)，使达到最小。matlab提供了基本的多项式曲线拟合函数命令polyfit
格式：:polyfit（x，y,n）
说明：polyfit（x,y，n)是找n次多项式p(x)的系数，这些系数满足在最小二乘法意义下p（x(i)） ~= y(i）。
已知一组数据，用什么样的曲线拟合最好呢？可以根据散点图进行直观观察，在此基础上，选择几种曲线分别拟合，然后比较，观察那条曲线的最小二乘指标最小。
下面我们给出常用的曲线（下面的为变量，等为参数）
直线：
多项式： (一般情况下，n不宜过高，n=2，3）
双曲线：y=
指数曲线：
幂函数:
有些曲线的拟合，为了利用数学软件，在拟合前需作变量替换，化为对未知数的线性函数。
思考：如果根据经验，曲线是双曲线或指数曲线及幂函数等，如何利用matlab的多项式拟合函数来作曲线拟合？
例2：在化学反应中，为研究某化合物的浓度随时间的变化规律。测得一组数据如下表所示：
x（分)
1
2
3
4
5
6
7
8
浓度y
4
6.4
8.0
8。4
9.28
9。5
9。7
9.86
x（分)
9
10
11
12
13
14
15
16
浓度y
10
10。2
10.32
10.42
10.5
10.55
10.58
10.6
试求浓度y与时间t的经验函数关系。并推断第20、40分钟时的浓度值。
本题是一个可以用数据的曲线拟合来解决的问题。下面是利用matlab编的一段程序.
clear;
%录入数据
xy=[1 4
2 6.4
3 8。0
4 8。4
5 9。28
6 9.5
7 9。7
8 9。86
9 10
10 10.2
11 10.32
12 10.42
13 10.5
14 10。55
15 10。58
16 10。6]；
x=xy(:,1）;
y=xy(:，2)；
plot(x,y，’r＊’);％画出散点图，观察曲线走势

hold on;t=0:.3：10;pxdxs=polyfit（x，y,2）；
pxd=poly2str(pxdxs，’x')
pxdx=polyval(pxdxs,t）;plot（t，pxdx，'-k’）
方法2：解下述方程组：(这是超定方程组（方程个数大于未知数个数的方程），这个方程组没有普遍意义下的解,但可以在最小二乘法意义下求解）

把它写成矩阵乘法的形式：
y＝a＊[a,b,c］'
其中，a=[1，1,1;1 2 2^2；1 3 3^2;1 4 4^2;1 5 5^2;1 6 6^2；1 7 7^2; 1 8 8^2;1 9 9^2;1 10 10^2； …
1 11 11^2;1 12 12^2;1 13 13^2;1 14 14^2;1 15 15^2;1 16 16^2］；
y=[4 6。4 8。0 8。4 9。28 9.5 9.7 9。86 10 10。2 10。32 10.42 10。5 10。55 10。58 10.6］’；
于是，abc=a\y