三-圆方程.doc

第三节　圆的方程
【最新考纲】　1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

1． 圆的定义及方程

2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)
(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　)
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)
A．a<－2或a>　　　　　B．－<a<0
C．－2<a<0 D．－2<a<
解析：由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，
解得－2<a<.
答案：D
3．(2015·北京卷)圆心为(1，1)，且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：利用两点间的距离公式求圆的半径，从而写出方程．圆的半径r＝＝，圆心坐标为(1，1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：D
4．(2014·陕西卷)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
解析：两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相等．圆C的圆心为(0，1)，半径为1，标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
答案：x2＋(y－1)2＝1
5．直线x－2y－2k＝0与2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k的取值范围是________．
解析：由得
∴(－4k)2＋(－3k)2>9，即25k2>9，
解得k>或k<－.
答案：(－∞，－)∪(，＋∞)

一点易误
二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一前提条件．
两种措施
1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法．
2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．
三个步骤
求圆的方程主要用待定系数法，一般步骤是：
1．根据题意，选择标准方程或一般方程．
2．根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．
3．解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．

一、选择题
1．已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝2　　　　　　　B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
解析：AB的中点坐标为(0，0)，
|AB|＝＝2，
∴圆的方程为x2＋y2＝2.
答案：A
2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(　　)
A．2　　　　B.　　　　C．1　　　　D.
解析：圆心C(1，－2)，圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝.
答案：D
3．设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　)
A．6 B．25 C．26 D．36
解析：因为圆(x－2)2＋y2＝1的圆心坐标为(2，0)，该圆心到点(5，－4)的距离为＝5，
所以圆(x－2)2＋y2＝1上的点到(5，－4)距离的最大值为6，即(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.
答案：D
4．已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是(　　)
A．3－ B．3＋ C．3－ D.
解析：圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，
直线AB的方程为x－y＋2＝0，
圆心(1，0)到直线AB的距离d＝＝，
则点C到直线AB的最短距离为－1，
又|AB|＝2，(S△ABC)min＝×2×＝3－.
答案：A
5．若圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是(　　)
A．(－∞，4) B．(－∞，0)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：圆的方程可变为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，
可知圆心(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.
因为圆关于直线y＝x＋2b对称，
∴点(1，－3)在直线上，则b＝－2.∴a－b＝2＋a<4.
答案：A
二、填空题
6．直线l：4x－3y－12＝0与x，y轴的交点分别为A、B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为________．
解析：由题意知，A(3，0)，B(0，－4)，则|AB|＝5，
∴△AOB的内切圆半径r＝＝1，内切圆的圆心坐标为(1，－1)，
∴内切圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝1
7．已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．
解析：圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，
则kCM＝＝1，
∵过点M的最短弦与CM垂直，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案：x＋y－1＝0
8．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．
解析：如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，
又圆的半径为2，

故所求最短距离为6－2＝4.
答案：2
9．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．
解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．
∵△OPQ为直角三角形，
∴圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝＝，
因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5
三、解答题
10．已知直线l：y＝x＋m，m∈R，若以点M(2，0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．
解：法一　依题意，点P的坐标为(0，m)，
因为MP⊥l，所以×1＝－1，
解得m＝2，即点P的坐标为(0，2)，
圆的半径r＝|MP|＝ ＝2，
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
法二　设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2，
依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，
则解得
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
11．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，
P点坐标为(2x－2，2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.