初三数学寒假辅导讲义第1讲三角形提高班教师版.doc

中考第一轮复习
三角形
1

中考大纲剖析

考试内容
考试要求层次
A
B
C
三角形
了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心
会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题

等腰三角形和直角三角形
了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定
能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题
会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题
全等三角形
了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系
掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题
会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题
勾股定理及其逆定理
已知直角三角形的两边长，会求第三边长
会用勾股定理及其逆定理解决简单问题

相似三角形
了解两个三角形相似的概念
会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题

锐角三角函数
了解锐角三角函数（）；知道角的三角函数值
由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有
角的三角函数式的值淘宝搜索店铺名：优能教育在线，小学、初中、高中全套课外辅导、补习、家教资料都有！

能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题
解直角三角形
知道解直角三角形的含义
会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题
能综合运用直角三角形的性质解决有关问题

本讲结构

知识导航

一、等腰三角形

①等腰三角形的两大特性．
图形

特性
“等腰三角形中的三线合一”
“底所在直线上的点到两腰的距离与腰上的高的关系”

②构造等腰三角形．

“垂直平分线造等腰”

“平行线加角平分线”

“平行线截等腰三角形”

“圆构造等腰”

③特殊等腰三角形．
图形

三边之比

二、直角三角形

1．直角三角形的边角关系．
①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数．

2． 特殊直角三角形

“等腰直角三角形”

“含和的直角三角形”
边的比：
边的比：

3．直角三角形中的特殊线．

“直角三角形斜边中线”

“直角三角形斜边高”

三.尺规构造等腰三角形和直角三角形

问题

作图
求点坐标
“万能法”
其他方法

等腰三角形

已知点A、B和直线l，在l上求点P，使为等腰三角形

“两圆一垂”

分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB=AP ②AB=BP
③BP=AP列方程解出坐标
作等腰三角形底边的高，用勾股或相似建立等量关系

直角三角形

已知点A、B和直线l，在l上求点P，使为直角三角形

“两垂一圆”
分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的长度，由
①
②
③
列方程解出坐标
作垂线，用勾股或相似建立等量关系

四.全等三角形

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
全等三角形的判定：⑴SSS；⑵SAS；⑶ASA；⑷AAS；⑸HL．
在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合.

五.相似三角形
相似三角形的性质：
⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比．
⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
相似三角形的判定：
⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似；
⑵ 两角对应相等，两三角形相似；
⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
⑷ 三边对应成比例，两三角形相似．
相似三角形的基本模型：

【编写思路】由于三角形的知识点非常多，本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单，所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习，不对学生做太高要求.
另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点，设计一种“系列探究”， 使得每一讲有一个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花.本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最值问题”.

模块一 特殊三角形

夯实基础

【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是
两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的
个数是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9

（2）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，且
是直角三角形，则满足条件的点的坐标为 ．
（2010顺义一模）
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（3）已知：如图，在中，，点在边上，点 在边的延长线上，且，
连接交于．
求证：． （2012海淀期中）

（4）如图所示，在△ABC中，BC=6，E，F分别是AB，AC的中点，点P在射线EF上，BP交CE于D，点Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=，PE=.当CQ=CE时，与之间的函数关系式是 .

【解析】（1）C，“两圆一垂”；
（2）（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）.“两垂一圆”确定四个点之后，用勾股求得；
（3）证明：过D点作AC的平行线交BC于点G，
则∠B=∠ACB=∠BGD；∴BD=DG=CE；
易证△DFG≌△EFC；∴DF=EF.
注：本题方法很多，还可以过D作BC平行线，或过E作AB的平行线，由“平行线截等腰三角形”得新等腰三角形.
（4）y= –x+6； 提示：延长BQ与射线EF相交，由“平行线加角平分线”得到等腰三角形.

能力提升

【例2】 （1）如图，正方形的边长为2, 将长为2的线段的
两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，沿
图中所示方向按滑动到点为止，同时点
从点出发，沿图中所示方向按滑动到
点为止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线围
成的图形的面积为（ ） （2010宣武一模）
A. 2 B. 4－ C. D.

（2）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x 轴、
y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，
在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）
A． B． C． D． 6
（2010西城二模）

以下探究主题为：几何最值问题

【探究1】如图，为等边三角形，边长AB=4，点A、C分别在x 轴、y
轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，
点B到原点的最大距离是________.

【探究2】如图，在中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点A、C分别在x 轴、
y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，
在运动过程中，点B到原点的最小距离是__________.

【探究3】 如图，在Rt中，∠ACB=90°，∠B=30°，CB=，
点D是平面上一点且CD=2，点P为线段AB上一动点，当△
ABC绕点C任意旋转时，在旋转过程中线段DP长度的最大值
为_______，最小值为_______.

【解析】（1）C，由“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可知BM、CM、CM、AM均等于FQ的一半，于是M的轨迹围成一个半径为1的圆；

（2）A，如右图1，取AC中点D，连结OD、BD，当O、D、B三点共线时，OB的值最大；

探究1：，方法同上，取AC中点D，连结OD、BD，当O、D、B三点共线时，OB的值最大；

探究2：如右图2，取AC中点D，连结OD、BD，当O、D、B三点共线时，OB的值最小，最小值为；
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探究3：“△ABC绕点C旋转”等价于“CD绕点C旋转”，如下图1，连结CP，当PD=PC+CD时，
PD最大，当PD =︱PC-CD︱时，PD最小. 如图2，当P与B重合，PD取最大值为，如
图3，当CP⊥AB时，PD取最小值为.

【点评】动线段最值的求法一般可总结为两种方法（仅供参考）：
（1）将动线段作为一个三角形的一边，且另两边为定值，但是形状可变化，如下左图，“外共线”值最大，“内共线”值最小（已知AB、BP为定值，求动线段AP的最大或最小值）；
（2）如下右图，垂线段最短，端点处最大（已知点P是线段BC上的动点，求线段AP的最大或最
小值）.

模块二 全等三角形

夯实基础

【例3】 △ABC与△CDE均为等边三角形，点C为公共顶点，连结AD、BE相交于点P，BE交AC于点M，AD交CE于点N，
（1）如图1，当点B、C、D在同一直线上，请证明以下结论：
① AD=BE；
② 连结PC，则PC平分∠BPD；
③ ；
④ 连结MN，则△MCN为等边三角形；
⑤ PB=PA+PC，PD=PE+PC
（⑥ 连结AE，点P为△ACE的费马点. 学生版上没有）
（2）如图2，当△CDE绕点C旋转任意角度时，（1）中的5个结论仍成立吗？

【解析】（1）由可得①；过点C分别作AD、BE边上的高，由“全等三角形面积相等”或者通过证明“全等三角形对应边上的高相等”可得两高相等，证得②；由“八”字模型倒角证得③；由或者得CN=CM，证得④；由，在四边形ABCP和EDCP中利用旋转可证得⑤；由⑤中的结论可知PA+PC+PE=BE，，点P到△ACE的三个顶点的距离和最小，即可证得⑥.
（2）结论①②③⑤⑥均成立.

能力提升

【例4】 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值. （2013北京中考）
【解析】（1）；
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（2）为等边三角形，连接、、
∵线段绕点逆时针旋转得到线段
则，
又∵
∴且为等边三角形.
在与中
∴≌（SSS） ∴
∵ ∴
在与中
∴≌（AAS）∴ ∴为等边三角形
（3）∵，∴
又∵ ∴为等腰直角三角形 ∴
∵
∴ 而 ∴
【点评】第（2）问考察的是一类由旋转形成的全等模型，如图，若
①为等腰三角形（AB=AC）；
②为等腰三角形（AD=AE）；
③
以上三个命题有二推一，通常两个三角形为等边三角形. 此题欲证
为等边三角形，已知为等边三角形，则需证≌即可.

模块三 相似三角形

夯实基础

【例5】 （1）已知在△ABC中，BC=a.如图1，点B1 、C1分别是AB、AC的中点，则线段B1C1的长是_______；如图2，点B1 、B2 ，C1 、C2分别是AB 、AC的三等分点，则线段B1C1 + B2C2的值是__________；如图3, 点，分别是AB、AC的（n+1）等分点，则线段B1C1 + B2C2+……+ BnCn的值是 ______.

（2）如图，在矩形ABCD中， AB=4，BC=6，当直角三角板MPN 的
直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角
三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP=x，CQ=y，那么y
与x之间的函数图象大致是（ ）

【解析】（1）, 提示：由“A”字相似模型来求BnCn 的长；
（2） D 提示：“三垂”相似模型；
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能力提升

【例6】 如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°
且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.

（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA
的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边
AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由． (2012东城期末)

【解析】（1）∵ ∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴ ∠B=∠C，．
又∵,,
∴ ∠DEB=∠EQC. ∴ △BPE∽△CEQ． ∴ ．
设BP为x，CQ为y， ∴ ． ∴ 自变量x的取值范围是0＜x＜1．
（2）解：∵ ∠AEF=∠B=∠C,且∠AQE＞∠C,
∴ ∠AQE＞∠AEF . ∴ AE≠AQ .
当AE=EQ时，可证△ABE≌ECQ. ∴ CE=AB=2 . ∴ BE=BC-EC=.
当AQ=EQ时，可知∠QAE=∠QEA=45°.
∴ AE⊥BC . ∴ 点E是BC的中点. ∴ BE=.
综上，在∠DEF运动过程中，△AEQ能成等腰三角形，此时BE长为或.

【思维拓展训练】
提高班

训练1. 如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该
纸片使点B与点C重合，折痕与AB、BC的交点分别为D、E. （1）DE
的长为 ；（2）将折叠后的图形沿直线AE剪开，原纸片被剪成三块，
其中最小一块的面积等于 ．
【解析】4，4

训练2. ⑴如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于
点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；

⑵ 若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H， 则EF、EG、ＣH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
⑶ 如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC， 连接CL，点E是CL上任一点， EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点，猜想、、之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
⑷ 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有、、 这样的线段，并满足⑴或⑵的结论，写出相关题设的条件和结论． （2010房山二模）
【解析】（1）设对角线交点为O，连结OE，用面积法证明；
（2）CH=EF-EG；
（3）连结AC交BD于点O，由（1）的结论可知CO=EF+EG，于是；
（4）只要有等腰三角形就行，例如可以在等腰梯形中构造.
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训练3. 如图1，四边形是正方形，点是上任意一点，于点，于点．
⑴ 求证：．
⑵ 当点为边中点时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
⑶ 若点为延长线上一点，其余条件不变．请你在图2中画出图形，写出此时、、
之间的数量关系（不需要证明）．

【解析】（1）由可得；
（2）EF=2GF，易证，于是，所以AF=2BF，
BF=2FG，所以EF=2FG； （3）DE+BF=EF.

实战演练

模块一 特殊三角形 课后演练

【演练1】 ⑴如图，等腰中，，，线段的垂直平分
线交于，交于E，连接BE，则等于（ ）
A．80° B． 70° C．60° D．50°

⑵ 在等腰中，，中线BD将这个三角形的周长分别为和
12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______________．

⑶ 如图，等边三角形中，、分别为、边上的点，，
与交于点，于点，则 ．
【解析】（1）C； （2）7或11；（3）

【演练2】 如图，P为边长为2的正三角形中任意一点，连接PA、PB、P C，过P点分别做三边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF= ；阴影部分的面积为__________．
【解析】 ；
A
B
C
E
F
G

D
A
B
C
D
E
F
G

A
B
C
F
G

模块二 全等三角形 课后演练

【演练3】 在中，，交的延长线于点
．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直
角顶点为，一条直角边与边在一条直线上，另一条直角边
恰好经过点．
⑴ 在图1中请你通过观察、测量与的长度，猜想并写
出与满足的数量关系，然后证明你的猜想；
⑵ 当三角尺沿方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍
与边在同一直线上，另一条直角边交边于点，过点
作于点．此时请你通过观察、测量、与的
长度，猜想并写出与之间满足的数量关系，然后
证明你的猜想；
⑶当三角尺在⑵的基础上沿方向继续平移到图3所示位置
（点在线段上，且点与点不重合）时，⑵中的猜想是
否仍然成立？（不用说明理由）
【解析】⑴ ；
在和中，
A
B
C
E
F
G
图4
H
D
∵，
∴，
∴．
⑵ ；
过点作于点（如图4）．
∵于点，，
∴四边形为矩形，∴，∴，
∵，∴，又∵，
∴，∴．
∴，即．
⑶ 仍然成立．
（注：本题还可以利用面积或三角函数来证明，比如⑵中连结）
【演练4】 图中是一副三角板，的三角板的直角顶点恰好在的三角板斜
边的中点处，，交于点，
于．
⑴ 如图1，当经过点时，作于，求证：．
⑵ 如图2，当时，交于，作于，⑴的结论仍然成立，请
你说明理由．

【解析】⑴ ∵，是的中点，∴，
∴△BCD是等边三角形．
又∵，∴，
∵，是等边三角形．
∴，而，∴．
∵，∴
又∵，∴．
⑵ ∵，∴，，
∴．
∵，，
∴，∴，
又∵，，，
∴．∴．
模块三 相似三角形 课后演练

【演练5】 如图，已知，是斜边的中点，过作
于，连接交于；过作
于，连接交于；过作于，…，
如此继续，可以依次得到点，分别记，
，，…，的面积为，…．
则_________（用含的代数式表示）．
【解析】

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初三寒假·第1讲·提高班·教师版