3-PRS型柔性并联机构运动学分析及驱动行程优化_孙付伟.pdf

第 42 卷第 2 期2023 年 3 月Vol.42No.2Mar.2023JOURNAL OF HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY（NATURAL SCIENCE）河南理工大学学报（自然科学版）3-PRS型柔性并联机构运动学分析及驱动行程优化孙付伟，原泽天，陈国强（河南理工大学 机械与动力工程学院，河南 焦作 454000）摘要：为简化 3-PRS型柔性并联机构运动学计算过程和提高计算结果的准确性，提出一种等效刚性替换的计算方法，并通过回归对驱动行程与平台位姿进行拟合，实现柔性并联机构的运动学分析及驱动行程优化。首先，通过 3-PRS并联机构的逆运动学分析，得到刚性关节位姿；然后，建立 3-PRS型柔性并联机构有限元模型，计算柔性关节的转动情况，并与等效刚性机构结果进行对比分析；最后，通过多元非线性回归的方法拟合驱动行程与运动平台位姿的关系，进而得到适用于柔性机构的驱动行程，通过有限元分析，验证优化后模型的准确性。结果表明，优化后平台位姿仿真结果更加接近预设值，为 3-PRS型柔性并联机构的运动学分析及驱动行程优化提供了必要的理论依据。关键词：并联机构；柔性关节；运动学；参数优化中图分类号：TP242.2文献标志码：A文章编号：1673-9787（2023）2-87-11Kinematics analysis and driving stroke optimization of 3-PRS compliantparallel mechanismSUN Fuwei，YUAN Zetian，CHEN Guoqiang（School of Mechanical and Power Engineering，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454000，Henan，China）Abstract：In order to simplify the kinematics calculation process of the 3-PRS compliant parallel mechanism and improve the result accuracy，the equivalent rigid replacement method was proposed.The driving stroke fitted with the platform position and orientation by regression.The kinematics analysis and driving stroke optimization of the compliant parallel mechanism were achieved.First，the rigid joint positions and orientations were obtained by the inverse kinematics of 3-PRS parallel mechanism.Then，the finite element model of the 3-PRS compliant parallel mechanism was established.The rotation of compliant joints was calculated and the results were compared with the equivalent rigid mechanism.Finally，the relationship between the driving stroke and the moving platform position and orientation was fitted by the multiple nonlinear regression method and the driving stroke suitable for the compliant mechanism was obtained.The optimized 孙付伟，原泽天，陈国强.3-PRS型柔性并联机构运动学分析及驱动行程优化 J.河南理工大学学报（自然科学版），2023，42（2）：87-97.doi：10.16186/ki.1673-9787.2021060093SUN F W，YUAN Z T，CHEN G Q.Kinematics analysis and driving stroke optimization of 3-PRS compliantparallel mechanism J.Journal of Henan Polytechnic University（Natural Science），2023，42（2）：87-97.doi：10.16186/ki.1673-9787.2021060093收稿日期：2021-06-25；修回日期：2021-10-26基金项目：国家自然科学基金资助项目（U1304525）；河南省科技攻关项目（212102210045）；河南省高校基本科研业务费专项项目（NSFRF200401）第一作者简介：孙付伟（1981），男，河南商丘人，博士，讲师，主要从事机器人、测控技术等方面的教学和研究工作。Email：通讯作者简介：陈国强（1978），男，河南西峡人，博士，教授，主要从事机器人、测控技术等方面的教学和研究工作。Email：O S I D2023 年第 42 卷河南理工大学学报（自然科学版）model accuracy was verified by finite element analysis.The results showed that the platform position and orientation obtained by finite element simulation was closer to the preset values，which provided a necessary theoretical basis for the kinematic analysis and driving stroke optimization of the 3-PRS compliant parallel mechanism.Key words：parallel mechanism；flexure joint；kinematics；parameter optimization0引 言近年来，随着工业技术不断创新，我国制造业正处于从精通到精密转型的重要阶段1，为了实现从高速度到高质量的跨越，传统制造业与机器人技术的结合成为一种重要途径，于是将机器人技术应用于精密制造业成为重点研究之一2。其中柔性并联机构由于重量轻、装配简单等特点，在航空业和制造业中得到了广泛应用3。相较于刚性关节，柔性构件消除了关节之间的间隙、摩擦和磨损等负面问题4，提高了机构的稳定性和精确性，因此柔性并联机构为精密制造提供更多可能。虽然柔性结构相较于传统关节具有很多优点，但柔性机构运动学求解过程复杂。为简化模型，通常等效替换为刚体5或伪刚体6进行研究。但是在柔性并联机构运动学计算中力与位移密切相关7，简单等效为刚性机构进行计算，不能有效体现柔性关节在真实情况下的运动情况。为了提高柔性并联机构精度，进一步开发其实际应用价值，国内外学者对其展开大量研究。刘怡等8通过微分映射得到 3-RRR 型柔性并联机构载荷与位移之间的关系，之后采用拓扑优化实现柔性机构与等效刚性机构具有相同的运动特性，并且消除了关节缝隙和摩擦，使其精度更高；占旺虎9通过 SIMP（solid isotropic material with penalization）和雅可比矩阵结合的方法对柔性机构进行拓扑优化，使机构精度可以达到微纳级别；周微10通过研究 PID 控制器与 ADRC 控制器对柔性机构的影响，证明 ADRC 控制器可以优化快速响应与超调间的相互作用，提高柔性机构的轨迹跟踪精度；MIAO Y 等11设计了一种柔性水果采摘执行器，并通过序列二次规划法优化柔性抓取机构参数，使其具有更高的抓取精度和更好的力学性能；M.Verotti等12首先通过刚体替换法将柔性机构等效为刚体机构，然后通过等效曲率弯曲来获得相应的柔顺机构，最后获得的机构实验数据与理论公式结果吻合良好；S.Henning 等13基于挠度理论，提出了一种非线性解析的方法计算柔性体的弹性运动特性，并且该方法可以借助电脑程序准确地计算机构运动和变形行为；P.K.Jamwal 等14提出了一种帮助骨折术后恢复的 6-DOF 柔性并联机构，通过 SPEA2 进化算法优化机构关键变量，得到最佳的机构设计，使其在轨迹测试中达到更高的精度。国内外学者为改善柔性并联机构运动学精度提出多种方法，并在该方面研究取得了巨大的进展。但是针对柔性并联机构运动学位置分析及驱动行程优化方面仍具有较大的研究空间。本文为提高 3-PRS 型柔性并联机构的加工精度，通过刚性替换与驱动行程优化相结合的方法对机构进行研究。首先将 3-PRS型柔性并联机构等效替换为刚体进行运动学分析；然后建立 3-PRS 型柔性并联机构有限元模型，获得仿真结果，并与等效刚性机构运动学结果进行对比分析；最后通过非线性回归的方法优化柔性机构驱动行程15，并通过有限元分析，验证优化后机构的输出具有更高精度。13-PRS型柔性并联机构3-PRS型柔性并联机构由三条带有相同移动副（prismatic pair）、转动副（revolute pair）和球面副（spherical pair）的支链组成。该机构是五自由度混联机床的一部分，固定在沿 X 轴和 Y 轴方向运动的基座上，机床沿 Z 轴方向的运动以及刀具沿X和 Y轴方向的转动由该并联机构提供，见图 1。为了获取该机构的运动状态，根据该机构在实际中的应用设计一种铣削工艺，例如在一个半径图 1 3-PRS型柔性并联机构模型Fig.1 Model of 3-PRS compliant parallel mechanism88第 2 期孙付伟，等：3-PRS型柔性并联机构运动学分析及驱动行程优化14 mm 的圆柱形工件上铣削 44 矩阵的型腔，型腔为半径 0.9 mm 的球面。为了加工该型腔，刀具和工件间的偏移量为 1 mm，Z 轴方向为1.8 mm。X 轴和 Y 轴方向的运动基座已经有了比较成熟的技术支持，因此本文着重于计算并联机构的运动误差。由于微铣削加工过程中，平台运动范围和驱动行程很小，且柔性关节相比其余部分具有更小的弹性模量，故只考虑柔性关节部分受力变形。从保证 3-PRS型柔性并联机构可以完成加工任务的目的出发，提出如图 2 所示的分析及优化方案。首先，通过将 3-PRS 型柔性并联机构等效为刚体进行运动学分析，获得该机构在理论位姿下驱动行程和关节角度。根据具体应用场景及工艺情况规划的平台位姿和驱动行程，建立 3-PRS型柔性并联机构有限元模型，分析柔性关节等效替换为刚性关节的可行性。然后，通过多元非线性回归的方式获得优化后的驱动行程，将优化后的驱动行程导入有限元模型中，获得该机构优化后的运动平台位姿数据。最后，通过理论位姿与优化后实际位姿的误差分析，判断该机构是否可以完成加工任务。2运动学分析3-PRS 型柔性并联机构的工作原理见图 3。该机构主体分别由基座、运动平台、三组压电驱动器和三根相同尺寸的柔性长杆组成，驱动器与长杆一端通过转动关节连接，驱动器沿CiO方向移动，长杆另一端通过球面关节与运动平台连接。固定坐标系 O-XYZ 建立在底座上，其中原点 O 建立在底座中央。O-Z轴垂直于底座向上，O-X轴过点C1。其次运动坐标系 o-xyz建立在运动平台上，原点 o 在运动平台中点，o-z轴垂直于运动平台向上，o-x 轴与 O-X 轴同向并与运动平台平面重合。底座外接圆半径为R，运动平台外接圆半径为r，三组驱动器分别为点P1，P2和P3，球面关节分别为点S1，S2和S3。2.1寄生运动3-PRS型并联机构属于零扭转三自由度并联机构16，可以由 3个输入确定位姿，但是一旦引入一组输入，平台就会出现 3个微小的耦合运动，分别为 X 轴、Y 轴方向的平移和 Z 轴方向的旋转，这些运动也被称为寄生运动，可以通过并联机构下方基座进行补偿。本文使用 RPY 角定义运动平台在定坐标系中的旋转，运动平台首先绕 X 轴转动角度，之后绕 Y轴转动的角度，最后绕 Z轴转动的角度。运动平台相对于定坐标的旋转矩阵R可表示为R=|k1m1n1k2m1n2k3m1n3=|c cc s s-c ss s+c c sc sc c+s s sc s s-c s-sc sc c。（1）运动平台上的坐标原点 o在定坐标系上的位置矢量为o=xTyTzTT。（2）通过式（1）（2）得到动平台相对于固定坐标系的齐次旋转矩阵T=|Ro01。（3）基座上 3个驱动器在定坐标系中的表达式分别为图 2 3-PRS型柔性并联机构分析及优化方案Fig.2 Analysis and optimization scheme of 3-PRS compliant parallel Mechanism图 3 机构工作原理图Fig.3 Mechanism schematic diagram892023 年第 42 卷河南理工大学学报（自然科学版）|OP1=R，0，0TOP2=-12R，32R，0TOP3=-12R，-32R，0T。（4）三个球面关节S1，S2和S3在动坐标系中的矢量表达式分别为|oS1=r，0，0ToS2=-12r，32r，0ToS3=-12r，-32r，0T。（5）球面关节在固定坐标系中的表达式为OSi1T=ToSi1T。（6）式（3）（6）整理可得向量OSi在固定坐标系中的表达式为|OS1=|rk1+xTrk2+yTrk3+zTOS2=|-12rk1+32rm1+xT-12rk2+32rm2+yT-12rk3+32rm3+zTOS3=|-12rk1-32rm1+xT-12rk2-32rm2+yT-12rk3-32rm3+zT。（7）由于转动关节的作用，球面关节的运动被约束在 3个互成 120夹角的平面内，即|1：Y=02：Y=-3 X3：Y=3 X。（8）联立式（7）（8）可得|rk2+yT=0-12rk2+32rm2+yT=-3()-12rk2+32rm2+xT-12rk2-32rm2+yT=3()-12rk2-32rm2+xT。（9）化简式（9）可得寄生运动的表达式|=arctan()sin sin cos +cos xT=12r()cos cos +sin sin sin -cos cos yT=-r cos sin。（10）由式（10）可知，当 和 比较小时，Z 轴方向的转动 可以忽略不计，而 X轴和 Y轴方向的寄生运动可通过基座在 X轴、Y轴方向移动得到补偿。2.2逆向运动学并联机构运动学研究主要集中在驱动位置与机构末端位姿之间的函数传递上，因此运动学正、逆解在运动学位置分析中具有重要的研究意义。由于并联机构正向运动学求解复杂，并且一组输入位置对应多组末端位姿，所以首先对该机构的逆向运动学问题进行计算。根据该机构模型可得以下关系PiSi=L li=CiSi-si si，（11）CiSi=OSi-OCi。（12）联立式（11）（12）可得s2i+2si si CiSi+CiSi CiSi-L2=0，。（13）求解式（13）可得该机构运动学逆解的表达式si=OSi si-CiSi CiSi+L2+OCi si。（14）2.3等效刚性关节为更好展现并联机构末端位姿的情况，引入两组单位向量Fim和Fin，如图 4 所示，分别为随球面关节运动的Fim=likiji和随运动平台运动的Fin=wiviui。2.3.1转动关节转动关节角度i可通过驱动器位置和杆长的反余弦函数计算得到，表达式为i=acos(R-r-si)/L。（15）2.3.2球面关节为了研究球面关节的旋转，定义 4 个旋转矩图 4 参考坐标系Fim与Fin的位置Fig.4 Position of reference coordinate system Fimand Fin90第 2 期孙付伟，等：3-PRS型柔性并联机构运动学分析及驱动行程优化阵Rim，Rin，Rimn，R。Rim为Fim与 O-XYZ 坐标系之间的旋转矩阵，Rin为Fin与 o-xyz 坐标系之间的旋转矩阵，R 矩阵将 o-xyz坐标系与 O-XYZ 坐标系联系起来，旋转矩阵Rimn将Fim与Fin联系起来。它们之间的关系可表达为Rim Rimn=R Rin。（16）球面关节之间的旋转矩阵Rimn通过式（16）可得Rimn=Rim-1 R Rin，（17）其中Rim和Rin可以通过以下方式计算得到。一方面，平面i的特征向量ki表达式为|k1=010Tk2=-32-120Tk3=32-120T。（18）向量li=PiSi/L，向量li与向量ki通过叉积可得向量jiji=ki li，（19）因此旋转矩阵Rim的表达式为Rim=likiji。（20）另一方面，各个支链系统里的Fin在 o-xyz 坐标系中的表达式为|w1=010Tv1=sin 0cos Tu1=-cos 0sin T，（21）|w2=-32-120Tv2=-12sin 32sin cos Tu2=12cos-32cos sin T，（22）|w3=32-120Tv3=-12sin-32sin cos Tu3=12cos 32cos sin T，（23）式中，为转动关节角度i的初始值，因此旋转矩阵Rin的表达式为Rin=wiviui。（24）通过Fim与Fin之间关系可得矩阵Rimn表达式。使用 RPY 角定义Fim与Fin之间的旋转关系：首先绕li转动，ji与ui之间夹角为li；之后绕向量ki旋转，ji与wi之间夹角为ji；最后绕向量ji旋转，向量ki与vi之间夹角为ji。Rimn表达式为Rimn=RIi Rki Rji，（25）联立式（17）（25），求得球面关节旋转角度|li=atan(k3/k1)ji=atan(n3/k1)ki=asin(-k3)。（26）2.4正向运动学当驱动器位置已知时，可通过正向运动学问题确定机构，和zB的值，由图 3建立关系|PISI|2=L2，（27）式中，PiSi=OSi-(OCi+CiPi)。首先以支链L1为对象展开式（27）可得|OS1-(OC1+C1P1)|2=L2。（28）将式（7）中OS1表达式代入式（28）可得OP1=R-s100T。（29）联立式（29）（30）得到驱动行程s1关于，和zB的表达式 xB+r (cos cos +sin sin sin)-R+s12+yB+r cos sin 2+zB+r (-sin cos +sin cos sin)2-L2=0。（30）之后通过相同方法对支链L2和L3为对象进行计算，分别得到驱动行程s2和s3关于，和zB的表达式 xB-12r (cos cos +sin sin sin)+32r(-cos sin +sin sin cos)+12(R-s2)2+yB-12r (cos sin)+32r (cos cos)32(R-s2)2+zB-12r (-sin cos +sin cos sin)+32r (sin sin +sin cos cos)2-L2=0，（31）xB-12r (cos cos +sin sin sin)-32r(-cos sin +sin sin cos)+12(R-s3)2+yB-12r (cos sin)-32r (cos cos)+32(R-s3)2+zB-12r (-sin cos +sin cos sin)-32r (sin sin +sin cos cos)2-L2=0。（32）综合式（10）、式（31）（33）可得运动平台位姿在定坐标系中的解析解。3实例设计与有限元分析前文已得到刚性关节下运动学正、逆解表达式，在该节中基于柔性关节和等效刚性关节设计两组并联机构尺寸，通过 MATLAB 软件和 ANSYS软件计算两种机构的关节位姿，并根据两种结果分析等效刚性替换法的可行性。3.1刚性关节的设计与运动学计算为了符合前文提到的工作要求，即实现 Z 轴方向位移1.8 mm，X，Y轴方向旋转0.2的最小目912023 年第 42 卷河南理工大学学报（自然科学版）标值，并考虑到整个并联机构占地面积、平台需要的模态频率和最小静态刚度后，拟定刚性并联机构尺寸，如表 1所示。为了研究该机构工作时运动平台位姿情况，通过在逆向运动学问题中导入运动平台位姿数据17，计算驱动行程和关节旋转角度。为充分研究该机构工作情况，根据具体应用场景规划 475组运动平台位姿数据，并代入运到动学逆解表达式中，通过计算得到驱动行程si，如图 5所示。图 5（d）中，驱动行程为-2.0421.988 mm。将驱动行程代入式（15）可得转动关节角度i；然后将转动关节角度i代入式（26）可得球面关节旋转角度li，ki和ji，如图 6所示。转动关节角度i为 43.58146.444，球面关节的旋转角度分别为li=0.198，ki=1.717，ji=0.193。3.2柔性关节的设计与有限元分析为将柔性关节和刚性关节进行等效分析，现对柔性并联机构尺寸进行定义，如表 2所示。柔性转动关节和柔性球面关节的形状和尺寸如图 7 所示，这里转动关节选用直圆柔性铰链。根据以上数据，建立 3-PRS 柔性并联机构三维模型。为有效减小柔性关节对并联机构整体的影响，选用 7075-T6 铝合金18作为柔性关节材料。7075-T6 铝合金的弹性模量 E=72 000 MPa，泊松比=0.33，密度=2 810 kg/m3。通过 ANSYS 仿真软件对该机构进行静力学分析，探讨材料物理性能是否满足使用要求，并将姿态数据输入到柔性并联机构模型中，通过有限元 仿 真 结 果 计 算 转 动 关 节 和 球 面 关 节 的 旋 转角度。表 1 刚性并联机构尺寸Tab.1 Dimensions of equivalent rigid body parallel mechanism项目长杆长度 L/mm底座半径 R/mm运动平台半径 r/mm运动平台初始高度 H/mm长杆初始角度/（）尺寸131.137120408045图 5 运动平台位姿和驱动行程Fig.5 Pose and driving stroke of moving platform92第 2 期孙付伟，等：3-PRS型柔性并联机构运动学分析及驱动行程优化首先，在 ANSYS Workbench 中建立 3-PRS 型柔性并联机构静力学模型，保留机构主要特征，并将 3 个长杆的材料设为 7075-T6 铝合金。之后进行网格划分，主要关节处采用六面体结构进行加密处理，如图 8所示。最后，将 3.1节中驱动行程si导入模型中，得到仿真结果如图 9 所示。仿真结果显示，117 s 时球面关节处产生最大应力，为488.154 MPa。7075-T6铝合金的屈服强度可达到530 MPa，因此 7075-T6铝合金物理性能满足使用条件。图 7 柔性关节尺寸Fig.7 Compliant joints size图 6 转动关节和球面关节旋转Fig.6 Revolute joints and spherical joints rotation表 2 柔性并联机构尺寸Tab.2 Dimensions of compliant parallel mechanisms项目长杆总长/mm长杆横截面/mmmm底座半径/mm运动平台半径/mm运动平台初始高度/mm长杆初始角度/（）尺寸151.6371010133.43533.282123.22445图 8 有限元分析Fig.8 Finite element analysis932023 年第 42 卷河南理工大学学报（自然科学版）接下来在长杆上设置位置探针，通过有限元仿真得到动平台运动后的坐标数据，根据探针变化前后的坐标计算出各时间点处运动平台位姿。在驱动行程与刚性机构相同的情况下，柔性机构平台位姿与等效刚性机构平台位姿误差如图 10所示，通过式（33）计算平台位姿标准误差，结果为SEoz=0.014 03，SEo=0.004 42和SEo=0.006 50。SE=(e12+e22+e32+ei2)/n。（33）关节处转动数据如表 3 所示，数据显示转动关节角度i的变化为1.3521.422，球面关节达到的转角分别为ki=1.193，ki=1.193，ji=0.171。对比数据可知，柔性关节等效替换为刚性关节前后，平台与关节位姿未产生较大幅度变化，证明此方法可行。但是需要通过进一步优化保证该机构加工时的精度。4机构驱动行程优化由运动平台位姿误差可以看出，将刚体运动学求得的输入值si直接带入到柔性机构中，得到的输出与理论值相差较大，明显达不到精密加工的要求。因此需要对该机构输入进行优化。通过对运动平台位姿和驱动行程的相关性分析，使用多元非线性回归，求得运动平台位姿参数关于驱动行程的表达式，通过回归方程求解制动器最优行程，将优化后的驱动行程代入柔性并联机构，达到优化运动平台位姿的目的。首先，为更准确分析运动平台位姿与驱动行程之间的关系，将球面关节角度作为中间参数。通过皮尔逊相关性19分析，了解到柔性机构运动平台位姿与球面关节角度和驱动行程与中间参数球面关节角度之间的关系，如表 45所示。皮尔逊系数表示了两参数间的线性相关程度，由表 45 可以看出，与l1，j1之间以及s1与k1之间皮尔逊系数为 1，说明 与l1，j1之间以图 9 关节处最大应力Fig.9 Maximum stress at joint图 10 运动平台位姿误差Fig.10 Moving platform position and orientation error94第 2 期孙付伟，等：3-PRS型柔性并联机构运动学分析及驱动行程优化及s1与k1之间线性相关，其余参数之间的系数小于 1，为非线性关系。根据 z，s1，s3与中间参数球面关节角度之间的皮尔逊系数，可得平台位姿与驱动行程之间非线性相关，设置平台位姿关于驱动行程的表达式为z=a1 s11+b1 s12+c1 s13+d1 s112+e1s122+f1s132+g1 s11 s12+h1 s11 s13+i1 s12s13+j1，（34）=a2 s11+b2 s12+c2 s13+d2 s112+e2 s122+f2 s132+g2 s11 s12+h2 s11 s13+i2 s12s13+j2，（35）=a3s11+b3s12+c3s13+d3s112+e3s122+f3s132+g3s11s12+h3s11s13+i3s12s13+j3。（36）使用非线性回归，通过 50 次迭代计算出式（34）（36）中各参数的估算值，如表 6所示。然后，将，和代入式（34）（36）求得优化后驱动行程si，其中某段时间内优化结果见表7。将行程si导入有限元模型中，可得优化后运动平台位姿误差，如图 11所示。最后，通过式（33）可得优化后运动平台位姿的 标 准 误 差，分 别 为SEz=5.28 10-6，SE=5.28 10-6和SE=1.36 10-4。与 3.2 节中优化前机构的标准误差对比有明显减小，证明该机构优化效果显著，已经基本可以满足精度要求。由于拟合方程是针对本文设计的机构提出，所以在其他尺寸机构上运用时，需要对方程系数修正。表 4 平台位姿与球面关节角度关系Tab.4 Relations between the platform pose and the spherical joint anglezl101*0k10.999*0-0.052j10-1*0l2-0.004-0.562*0.827*k20.998*0.0530.026j20.0040.562*-0.827*l30.004-0.562*-0.827*k30.998*-0.0530.026j3-0.0040.562*0.827*表 5 驱动行程与球面关节角度关系Tab.5 Relations between the driving stroke and the spherical joint angles1s2s3l100.084-0.083k11*0.992*0.992*j10-0.0840.083l2-0.071-0.0170.077k20.993*0.999*0.991*j20.0710.017-0.077l30.071-0.0770.017k30.993*0.991*0.999*j3-0.0720.077-0.017表 3 关节旋转角度Tab.3 Joints rotation anglet/s1141151161171181191201211221231241251261271281291301311321/()46.293 5046.293 5046.243 9546.194 5746.243 8846.293 4346.343 2046.393 1846.393 2046.393 2446.393 2046.393 1746.343 1946.293 4346.243 8846.194 5746.243 9546.293 5046.293 502/()46.293 5046.336 5846.361 5346.429 9246.404 8746.379 8146.354 7846.329 8046.286 7546.243 9546.201 2246.158 6746.183 2346.207 7946.232 4346.257 1046.275 3046.250 5946.293 503/()46.293 5046.250 5946.275 3046.257 1046.232 4346.207 7946.183 2346.158 6746.201 2246.243 9546.286 7546.329 8046.354 7846.379 8046.404 8746.429 9246.361 5346.336 5846.293 50l1/()00.072 770.072 770.146 680.146 100.145 530.144 960.144 960.072 190-0.072 19-0.144 96-0.144 96-0.145 53-0.146 10-0.146 68-0.072 77-0.072 770k1/()1.115 861.115 861.087 861.060 001.087 861.115 901.144 031.172 331.172 291.172 331.172 291.172 331.144 031.115 901.087 861.060 001.087 861.115 861.115 86j1/()0-0.062 56-0.062 72-0.125 76-0.125 44-0.125 12-0.124 80-0.124 48-0.062 2400.062 240.124 480.124 800.125 120.125 440.125 760.062 720.062 560l2/()0-0.036 100.026 930.052 71-0.009 17-0.072 19-0.135 22-0.198 82-0.162 72-0.126 62-0.089 95-0.053 290.009 740.073 340.136 360.199 390.099 120.036 670k2/()1.115 861.140 231.154 361.193 111.178 901.164 731.150 601.136 471.112 101.087 861.063 711.039 731.053 561.067 471.081 431.095 341.105 621.091 621.115 86j1/()00.031 21-0.022 82-0.045 480.008 330.062 280.116 370.170 590.139 680.108 630.077 440.046 11-0.008 43-0.062 84-0.117 11-0.171 24-0.085 54-0.031 350l3/()0-0.036 67-0.099 12-0.199 39-0.136 36-0.073 34-0.009 740.053 290.089 950.126 620.162 720.198 820.135 220.072 190.009 74-0.052 71-0.026 930.036 100k3/()1.115 861.091 621.105 621.095 341.081 431.067 471.053 561.039 731.063 711.087 861.112 101.136 471.150 601.164 731.178 901.193 111.154 361.140 231.115 86j3/()00.031 340.085 530.171 230.117 100.062 830.008 43-0.046 12-0.077 45-0.108 64-0.139 69-0.170 60-0.116 37-0.062 29-0.008 340.045 470.022 81-0.031 220952023 年第 42 卷河南理工大学学报（自然科学版）5结 语（1）提出了该机构在小位移情况下刚体运动学的计算方法，并分析了该机构运动时产生的寄生运动，通过分析和仿真得到了该机构在运动过程中转动关节和球面关节的旋转角度。（2）建立有限元模型，对比柔性机构和等效刚性机构平台位姿，在小位移情况下，证明了将柔性并联机构等效替换为刚体机构进行运动学分析的可行性。图 11 优化后运动平台位姿误差Fig.11 The moving platform position and orientation after optimization表 6 参数估算值Tab.6 Parameter estimated values参数a1b1c1d1e1估算值0.333 7420.333 7520.333 7520.000 0790.000 035参数f1g1h1i1j1估算值0.000 036-0.000 075-0.000 0770.000 003-0.000 002参数a2b2c2d2e2估算值-0.000 0030.808 539-0.808 537-0.000 0030.000 008参数f2g2h2i2j2估算值-0.000 018-0.000 0560.000 0610.000 0070参数a3b3c3d3e3估算值-0.923 0240.464 0510.464 057-0.000 0950.000 035参数f3g3h3i3j3估算值0.000 0420.000 0880.000 078-0.000 144-0.000 002表 7 输入数据优化结果Tab.7 Optimized results of input datat/s114115116117118119120121122123优化前输入/mms11.841 571.841 541.768 631.695 941.768 541.841 441.914 671.988 201.988 291.988 33s21.841 571.904 951.941 662.042 342.005 431.968 561.931 721.894 911.831 631.768 57s31.841 571.778 401.814 791.787 931.751 681.715 451.679 261.643 101.705 721.768 57优化后输入/mms11.804 351.804 351.732 261.660 171