理论力学动力学普遍定理.ppt

2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑12024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑2一、质点系的质心一、质点系的质心 10-1 10-1 质点系的质心质点系的质心 内力与外力内力与外力 在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用确定重心在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。心比重心具有更加广泛的力学意义。yCxzOyCxCzCrCrii质心质心C点的位置点的位置：质点系的质量中心称为质心。是表示质点系的质量中心称为质心。是表示质点系质量分布情况的一个重要概念。质点系质量分布情况的一个重要概念。2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑3 内力：质点系内各质点之间相互作用的力。内力：质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：二、质点系的内力与外力二、质点系的内力与外力外力：质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。外力：质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑4转动惯量的计算转动惯量的计算解解：1、积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）、积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）例例均均质细直杆长为质细直杆长为l，质量为，质量为m。求杆。求杆对对z轴的转动惯量轴的转动惯量Jz 及对及对z1 轴的转动惯量轴的转动惯量Jz1。zdxxxOlz1dxxxC2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑5 设细圆环的质量为设细圆环的质量为m，半径为，半径为R。则。则均质薄圆环对于中心轴的转动惯量均质薄圆环对于中心轴的转动惯量均质圆板对于中心轴的转动惯量均质圆板对于中心轴的转动惯量设设圆圆板板的的质质量量为为m，半半径径为为R。将将圆圆板板分分为为无无数数同同心心的的薄薄圆圆环环，任任一一圆圆环环的的质质量量为为dm=g g 2p prdr，g g=m/p pR2，于是圆板转动惯量为，于是圆板转动惯量为2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑6由所定义的长度由所定义的长度r rz称为刚体对称为刚体对 z 轴的回转半径。轴的回转半径。对于均质刚体，对于均质刚体，r rz仅与几何形状有关，与密度无关。对仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。转半径是相同的。在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的刚体的Jz和和r rz，以供参考。，以供参考。2、回转半径、回转半径2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑73、平行移轴定理、平行移轴定理 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。zCzydxmiCOzixiriCriyixCyiC刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑8 动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量动能和作用动能和作用力的物理量力的物理量功之间的联系，这是一种能量传递的规律。功之间的联系，这是一种能量传递的规律。力的功是力沿路程累积效应的度量。力的功是力沿路程累积效应的度量。时，正功；时，正功；时，功为零；时，功为零；时，负功。时，负功。功的单位：焦耳（）；功的单位：焦耳（）；一、常力的功一、常力的功(力是常矢量力是常矢量)FM1M2s 12-1 12-1力的功力的功功是代数量。功是代数量。2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑9二、变力的功二、变力的功 力力F 在曲线路程中作功为在曲线路程中作功为 设质点设质点M在变力在变力F的作用下沿曲线运动，力的作用下沿曲线运动，力F在微小弧在微小弧段上所作的功称为力的段上所作的功称为力的元功元功，记为记为d dW，于是有，于是有自然法表示的自然法表示的功的计算公式功的计算公式上两式可写成矢量点乘积形式上两式可写成矢量点乘积形式矢径法表示的矢径法表示的功的计算公式功的计算公式MM1M2qdsMdrF直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功的解析表达式。直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功的解析表达式。2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑10三、常见力的功三、常见力的功 质点系质点系 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心高度差的乘积，而与各质点运动的路径无关。高度差的乘积，而与各质点运动的路径无关。代入功的解析表达式得代入功的解析表达式得1、重力的功、重力的功M1M2Mmgz1z2Oxyz2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑11有限变形下弹性力的功只与有限变形下弹性力的功只与弹簧的初始变形和末变形有弹簧的初始变形和末变形有关，与力作用点的路径无关。关，与力作用点的路径无关。2、弹性力的功、弹性力的功 (指有限变形下弹性力的功，与弹簧两端点位置无关指有限变形下弹性力的功，与弹簧两端点位置无关)弹簧原长弹簧原长l0，作用点的轨迹为图示曲线作用点的轨迹为图示曲线A1A2。在弹性极限内在弹性极限内 k弹簧的刚性系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力弹簧的刚性系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力(N/m)。初变形初变形 末变性末变性A1A2r2r1d d1d d2l0Or0rAd dFA0dr2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑12 OzO1A设设作作用用在在定定轴轴转转动动刚刚体体上上A点点的的力力为为F，将该力分解为将该力分解为Ft、Fn和和Fb。当刚体转动时，转角当刚体转动时，转角 与弧长与弧长s的关系为的关系为R为点为点A到轴的垂距。力到轴的垂距。力F 的元功为的元功为FtFrFbFn力力F在刚体从角在刚体从角 1转到转到 2所作的功为所作的功为 3、作用于定轴转动刚体上的力的功，力偶的功、作用于定轴转动刚体上的力的功，力偶的功作用面垂直转轴的常力作用面垂直转轴的常力偶偶M，则力偶作的功为，则力偶作的功为2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑13法向力法向力FN，静摩擦力，静摩擦力FS作用于瞬心作用于瞬心C处，而瞬心的位移处，而瞬心的位移(2)圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功。圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功。(1)动滑动摩擦力的功动滑动摩擦力的功FN=常量时，常量时，W=f FNs，与质点的路径有关。，与质点的路径有关。圆轮沿固定面作纯滚动时，圆轮沿固定面作纯滚动时，摩擦力是静摩擦力，不作功摩擦力是静摩擦力，不作功!4、摩擦力的功、摩擦力的功FNFSCPR O2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑145、质点系内力的功、质点系内力的功 只要只要A、B两点间距离保持不变，内力的元功和就等于零两点间距离保持不变，内力的元功和就等于零。刚体内力功之和等于零，不可伸长的绳索内力功之和等刚体内力功之和等于零，不可伸长的绳索内力功之和等于零于零，但变形体内力功之和不为零，例如弹簧的功不为零。但变形体内力功之和不为零，例如弹簧的功不为零。6、任意运动刚体上力系的功、任意运动刚体上力系的功结结论论1 1：任任意意运运动动刚刚体体上上力力系系的的功功，等等于于刚刚体体上上所所受受各各力力作功的代数和。作功的代数和。结论结论2 2：任意运动刚体上力系的功，也等于力系向任一点：任意运动刚体上力系的功，也等于力系向任一点简化所得的力与力偶作功之和。简化所得的力与力偶作功之和。(虚位移原理用虚位移原理用)OABrArBFF2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑15约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。4、柔性约束（不可伸长的绳索）、柔性约束（不可伸长的绳索）拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。1、光滑固定面约束、光滑固定面约束drFN3、刚体沿固定面作纯滚动、刚体沿固定面作纯滚动FNFSC四、理想约束力的功四、理想约束力的功2、联接刚体的光滑铰链（中间铰）、联接刚体的光滑铰链（中间铰）drFRFR2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑16 物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。动强弱的又一种度量。瞬时量，恒为正，具有与功相同的量纲，单位也是瞬时量，恒为正，具有与功相同的量纲，单位也是J(焦耳焦耳)。对于任一质点系：（对于任一质点系：（viC 为第为第i个质点相对质心的速度）个质点相对质心的速度）柯尼希定理柯尼希定理一、质点的动能一、质点的动能二、质点系的动能二、质点系的动能12-212-2动动 能能2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑17（P为速度瞬心）为速度瞬心）3、平面运动刚体、平面运动刚体三、刚体的动能三、刚体的动能2、定轴转动刚体、定轴转动刚体1、平移刚体、平移刚体只能对瞬心和质心用，对其它点不存在类似的公式。只能对瞬心和质心用，对其它点不存在类似的公式。d 质心质心C瞬心瞬心P2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑18均质圆盘在平板上均质圆盘在平板上作纯滚动时的动能作纯滚动时的动能 vCvC均质圆盘在地面上均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能作纯滚动时的动能CvC 2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑19P 为为AB杆的瞬心杆的瞬心解：解：例例均质细杆长为均质细杆长为l，质量为，质量为m1，上端，上端B靠在光滑的墙上，下端靠在光滑的墙上，下端A用铰链用铰链与质量为与质量为m2、半径为、半径为R且放在粗糙地面上的均质圆柱中心相连，圆柱作且放在粗糙地面上的均质圆柱中心相连，圆柱作纯滚动，杆与水平线的夹角为纯滚动，杆与水平线的夹角为 ，若圆柱中心速度为，若圆柱中心速度为vA，求系统的动能。，求系统的动能。vAAB CP AB2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑20解：解：AB杆作平面运动，其质心杆作平面运动，其质心C的速度为的速度为速度合成矢量图如图，由余弦定理有：速度合成矢量图如图，由余弦定理有：则杆的动能则杆的动能例例如如图图滑滑块块A以以速速度度vA在在滑滑道道内内滑滑动动，其其上上铰铰接接一一质质量为量为m，长为，长为 l 的均质杆的均质杆AB，杆以角速度，杆以角速度 绕绕A转动。转动。试求当杆试求当杆AB与铅垂线的夹角为与铅垂线的夹角为 时，杆的动能。时，杆的动能。BjvA ABjvA ACvCvAvCA2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑21质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式在理想约束的条件下，质点系的约束力不作功，但质点系在理想约束的条件下，质点系的约束力不作功，但质点系的内力作功之和并不一定等于零，例如弹簧在系统内作功。的内力作功之和并不一定等于零，例如弹簧在系统内作功。一、质点系的动能定理一、质点系的动能定理质点系在一段运动过程中动能的改变量，等于作用于质质点系在一段运动过程中动能的改变量，等于作用于质点系全部力在此过程中所作功的和。对理想约束，等于点系全部力在此过程中所作功的和。对理想约束，等于全部主动力所作功的和。全部主动力所作功的和。当可以求出任意位置的动能和功的当可以求出任意位置的动能和功的表达式时，利用上式求导可求加速度或角加速度。表达式时，利用上式求导可求加速度或角加速度。12-312-3动能定理动能定理2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑22例例已知均质圆盘质量为已知均质圆盘质量为m，半径为，半径为R，摩擦因数为，摩擦因数为 f，斜面倾角为，斜面倾角为 。求。求纯滚动时盘心的加速度。纯滚动时盘心的加速度。CFNmgvC FS解：取系统为研究对象，假设圆盘中心向下解：取系统为研究对象，假设圆盘中心向下 产生位移产生位移 s 时速度达到时速度达到vC。s力的功力的功：由动能定理得：由动能定理得：上式两边对时间求导得上式两边对时间求导得：2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑23 II解：取整个系统为研究对象解：取整个系统为研究对象 T1=0根据动能定理，得根据动能定理，得将将式对式对t求导数，得求导数，得例例水水平平面面上上行行星星齿齿轮轮机机构构的的曲曲柄柄OA受受力力偶偶M作作用用而而绕绕固固定定水水平平轴轴O转转动动，并并带带动动齿齿轮轮在在固固定定齿齿轮轮上上滚滚动动如如图图所所示示。设设曲曲柄柄OA为为均均质质杆杆，长长l、质质量量为为m1；齿齿轮轮为为均均质质圆圆盘盘，半半径径r、质质量量为为m2。试试求求曲曲柄柄的的角角速速度度及及角加速度。角加速度。P321，12-12 OAM vA2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑24例例图示系统中，均质圆盘图示系统中，均质圆盘A、B各重各重P，半径均为，半径均为R，两盘中心线为水平线，两盘中心线为水平线，重物重物D重重Q，盘，盘A上作用有常力偶矩上作用有常力偶矩M。问下落距离。问下落距离h时重物的速度时重物的速度与加速度。与加速度。(不可伸长的绳不计自重，盘不可伸长的绳不计自重，盘B作纯滚动，初始时系统静止作纯滚动，初始时系统静止)ABCOMD解：取系统为研究对象，设重物解：取系统为研究对象，设重物 速度为速度为 v，加速度为，加速度为a。Qv aC A B2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑25上式两边求导得：上式两边求导得：由动能定理由动能定理Qv aABCOMDC A B2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑26解：选系统为研究对象，受力如图。解：选系统为研究对象，受力如图。运动学关系：运动学关系：由动能定理：由动能定理：对对求导，得求导，得例例均质圆盘均质圆盘A质量质量m，半径，半径r；滑块；滑块B质量质量m，通过通过质量不质量不计计、平行于斜面、平行于斜面的的杆杆AB连接连接。斜面倾角为。斜面倾角为，动摩擦因数为，动摩擦因数为 f，圆盘作纯滚动，系统初始静，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求滑块止。求滑块B的加速度及杆的内力。的加速度及杆的内力。P326、综、综-21 ABmgFNAmgFNBFSAFBs设设A移动移动s，则，则杆的内力用质心运动定理求解杆的内力用质心运动定理求解2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑27例例卷扬机如图，鼓轮在常力偶卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径为为R1，质量为，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为，质量为m2，质量，质量均匀分布。设斜坡的倾角为均匀分布。设斜坡的倾角为，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心圆柱中心C经过路程经过路程s 时的速度和加速度。时的速度和加速度。MOCR1R2解：以系统为研究对象，受力如图。解：以系统为研究对象，受力如图。系统在运动过程中所有力所作的功为系统在运动过程中所有力所作的功为系统在初始及终了两状态的动能分别为系统在初始及终了两状态的动能分别为FNm1gFOxFOym2gFS其中其中 1 22024/5/22 2024/5/22 周三周三282024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑29于是于是由由得得解之得解之得 MOCR1R2FNm1gFOxFOym2gFS 1 2动能定理求导得动能定理求导得由于斜面不一定通过由于斜面不一定通过O点，所以系统不能用对点点，所以系统不能用对点O的动量矩定理求解。的动量矩定理求解。2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑30AB求下落时求下落时B的加速度的加速度 AB求初瞬时杆的角加速度求初瞬时杆的角加速度AFBC求初瞬时两杆的角加速度求初瞬时两杆的角加速度此类求加速度问题，之所以一般位置的动能及功的表达式不好列出，是此类求加速度问题，之所以一般位置的动能及功的表达式不好列出，是因为这类问题是两个因为这类问题是两个“自由度自由度”的问题，而动能定理只有一个方程，无的问题，而动能定理只有一个方程，无法求两个自由度的问题。若补充其它动力学方程又会出现未知的约束力。法求两个自由度的问题。若补充其它动力学方程又会出现未知的约束力。对于一个自由度的问题，动能定理一般可以求解！前面用动能定理求加对于一个自由度的问题，动能定理一般可以求解！前面用动能定理求加速度的问题都是一个自由度的问题。两个自由度的问题可用动量定理及速度的问题都是一个自由度的问题。两个自由度的问题可用动量定理及动量矩定理或达朗贝尔原理求解！动量矩定理或达朗贝尔原理求解！2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑31解：以任意位置的杆解：以任意位置的杆AB为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。杆作平面运动，设任意位置时杆的角速度和杆作平面运动，设任意位置时杆的角速度和角加速度分别为角加速度分别为 和和a a。例例质量为质量为m长为长为l 的均质杆，在铅直平面内一端沿着水平地面，另一端沿的均质杆，在铅直平面内一端沿着水平地面，另一端沿着铅垂墙壁，从着铅垂墙壁，从 0角无初速地滑下，不计摩擦。求：角无初速地滑下，不计摩擦。求：(1)杆在任意位置时的杆在任意位置时的角速度和角加速度；角速度和角加速度；(2)开始滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束力；开始滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束力；(3)杆杆脱离墙时，杆与水平面所夹的角脱离墙时，杆与水平面所夹的角。P283，11-15，P326综综-18OxyABC FBmgFA a a杆的动能，杆的动能，T1=0系统只有重力系统只有重力mg作功作功由由得得两边对时间求导，并注意两边对时间求导，并注意可得可得2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑32解：取系统分析，则运动初瞬时的动能为解：取系统分析，则运动初瞬时的动能为2v0例例如如图图，重重物物A和和B通通过过动动滑滑轮轮D和和定定滑滑轮轮C而而运运动动。如如果果重重物物A开开始始时时向向下下的的速速度度为为v0，试试问问重重物物A下下落落多多大大距距离离，其其速速度度增增大大一一倍倍。设设重重物物A和和B的的质质量量均均为为m，滑滑轮轮D和和C的的质质量量均均为为M，半半径径均均为为r且且为为均均质质圆圆盘盘。重重物物B与与水水平平面面的的动动摩擦因数为摩擦因数为f，绳索质量忽略不计且不能伸长。，绳索质量忽略不计且不能伸长。DABv0C2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑33DABC 系系统统受受力力如如图图所所示示，设设重重物物A下下降降h高高度度时时，其其速速度度增增大大一一倍倍。在在此此过过程程中中，所所有的力所作的功为有的力所作的功为由由得得解得解得速度增大一倍时的动能为速度增大一倍时的动能为mgMgMgmgFNFdFCyFCx如何求运动过程中各段绳如何求运动过程中各段绳的张力及的张力及C处的约束力？处的约束力？2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑34设设重物重物A下降下降任意位置任意位置 s 时的速度为时的速度为vA。DABCvAs系统的动能为系统的动能为在此过程中，所有的力所作的功为在此过程中，所有的力所作的功为并注意并注意 可求得可求得加速度求得后，如何求力？加速度求得后，如何求力？定轴转定轴转动方程动方程质心运质心运动定理动定理动量矩动量矩定理定理质心运质心运动定理动定理由由上式两边对时间求导上式两边对时间求导2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑352、定轴转动刚体、定轴转动刚体 定轴转动刚体对转轴的动量矩等于定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。刚体动量矩的计算刚体动量矩的计算1、平移刚体、平移刚体 平移刚体可视为质量集中于质心的平移刚体可视为质量集中于质心的质点来计算对点（或轴）的动量矩。质点来计算对点（或轴）的动量矩。对对定轴定轴的动量矩的动量矩vivCrCrixyziCOpmiviMiri z2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑363、平面运动刚体、平面运动刚体 平面运动刚体对垂直于质量对称平面某轴的动量矩，平面运动刚体对垂直于质量对称平面某轴的动量矩，等于刚体随质心作平移时质心处的动量对该轴的动量矩等于刚体随质心作平移时质心处的动量对该轴的动量矩与绕质心转动时的动量矩之和。与绕质心转动时的动量矩之和。CvC J p=mvCAd1d2B2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑37解：系统对解：系统对O轴的动量矩等于三个物体轴的动量矩等于三个物体 对对O点动量矩的代数和。点动量矩的代数和。1 2由运动学知识可知有如下关系由运动学知识可知有如下关系例例已知滑轮系统中滑轮已知滑轮系统中滑轮A的质量的质量m1和半径和半径R1，对，对O的转动惯量的转动惯量J1。滑轮滑轮B的质量的质量m2和半径和半径R2，对对B的转动惯量的转动惯量J2，且，且 R1=2R2。物体物体C的质量的质量m3和速度和速度v3。求系统对。求系统对O轴的动量矩。轴的动量矩。OAMR1BCR2v3v22024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑38质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系对质点系对固定点固定点的动量矩定理的动量矩定理 上式称为质点系对上式称为质点系对固定轴固定轴的动量矩定理。即质点系对任的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。一个刚体一个刚体绕定轴转动，其转动微分方程为绕定轴转动，其转动微分方程为2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑39例例已知滑轮系统中滑轮已知滑轮系统中滑轮A的质量的质量m1和半径和半径R1，对，对O的转动惯量的转动惯量J1，其上作，其上作用力偶矩为用力偶矩为M的力偶。滑轮的力偶。滑轮B的质量的质量m2和半径和半径R2，对对B的转动惯量的转动惯量J2，且，且R1=2R2。物体物体C的质量的质量m3，求物体，求物体C的加速度。的加速度。OAMR1BCR2v解：取整个系统为研究对象，受力分析如图示。解：取整个系统为研究对象，受力分析如图示。由动量矩定理由动量矩定理FxFym1gm2gm3ga2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑40 取质心取质心C为动系原点，则平面运为动系原点，则平面运动可分解为动可分解为随质心随质心C的平移的平移和和绕绕质心质心C的转动的转动，可分别通过可分别通过质心运动定理质心运动定理和和相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理来确定。来确定。11-611-6刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 设平面运动刚体具有质量对称平面，力系设平面运动刚体具有质量对称平面，力系F1，F2 Fn可以可以简化为该对称平面内的一个平面力系。取质量对称平面为平面简化为该对称平面内的一个平面力系。取质量对称平面为平面图形图形S，其质心一定位于，其质心一定位于S内。内。yxxyOCDF1F2F3FnS刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑41 上述方程称为（单个）上述方程称为（单个）刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程。应用时，前一式取其投影式。即应用时，前一式取其投影式。即刚体平面运刚体平面运动微分方程动微分方程 平面运动微分方程只用于一个作平面运动的刚体，平面运动微分方程只用于一个作平面运动的刚体，不能用于多刚体系统。对于多刚体系统，可用多刚体不能用于多刚体系统。对于多刚体系统，可用多刚体系统的质心运动定理和对系统的质心运动定理和对固定轴固定轴的动量矩定理。的动量矩定理。2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑42 动力学普遍定理动力学普遍定理 动量定理动量定理动量矩定理动量矩定理 动能定理动能定理矢量形式，投影求解。矢量形式，投影求解。标量形式标量形式综合应用综合应用根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒定理的应用。求解，包括各种守恒定理的应用。比较复杂的问题，根据需要选用两、三个定理联比较复杂的问题，根据需要选用两、三个定理联合求解。一般可用动能定理求运动有关的量（速度、合求解。一般可用动能定理求运动有关的量（速度、加速度），用质心运动定理或对定轴的动量矩定理、加速度），用质心运动定理或对定轴的动量矩定理、对质心的动量矩定理求力。对质心的动量矩定理求力。求解过程中，往往要正求解过程中，往往要正确进行运动分析，确进行运动分析，提供提供正确的运动学补充方程。正确的运动学补充方程。平面运动速度和平面运动速度和加速度的分析。加速度的分析。12-612-6动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理及综合应用2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑43动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用 例例置于光滑水平面上的两均质杆置于光滑水平面上的两均质杆AC和和BC各重为各重为P，长为，长为l，在，在C处光滑铰处光滑铰 接，初始静止，接，初始静止，C点高度为点高度为h，求铰，求铰C到达地面时的速度。到达地面时的速度。ChABC解：整体分析受力如图。因为解：整体分析受力如图。因为 ，且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。动量守恒定理动能定理求解。动量守恒定理动能定理求解。计算动能时，利用平面运动的运动学关系。计算动能时，利用平面运动的运动学关系。代入动能定理：代入动能定理：PPFNAFNBvC 2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑44OBA解解：取单个物体为研究对象。：取单个物体为研究对象。分别以物块分别以物块A、B和滑轮为研究对象，受力如图。和滑轮为研究对象，受力如图。由质心运动定理和定轴转动的微分方程，得由质心运动定理和定轴转动的微分方程，得m1gFAam2gFBa例例物物块块A和和B的的质质量量分分别别为为m1、m2，且且 m1m2，分分别别系系在在绳绳索索的的两两端端，绳绳跨跨过过一一定定滑滑轮轮，如如图图。滑滑轮轮的的质质量量为为m，并并可可看看成成是是半半径径为为r的的均均质质圆圆盘盘。假假设设不不计计绳绳的的质质量量和和轴轴承承摩摩擦擦，绳绳与与滑滑轮轮之之间间无无相相对对滑滑动动，试试求求物物块块A的的加加速速度和轴承度和轴承O的约束力。的约束力。ABOrFBFAFOxFOymga a2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑45 由以上方程联立求解得：由以上方程联立求解得：注意到注意到解解：用用动动能能定定理理和和质质心心运运动动定定理理。以以整整个个系系统统为为研研究究对对象象，受受力力如如图图，运动分析如图。系统动能为运动分析如图。系统动能为所有力的元功为所有力的元功为 由微分形式由微分形式的动能定理得的动能定理得于是可得于是可得BAm1gvm2gvOmg FOxFOy2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑46于是可得于是可得得得考虑刚体系统的质心运动定理考虑刚体系统的质心运动定理BAm1gam2gaOmga aFOxFOy2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑47 解解：用动量矩定理和质心运动定理：用动量矩定理和质心运动定理 解：以整个系统为研究对象，受力如图，解：以整个系统为研究对象，受力如图，运动分析如图。系统对定轴的动量矩为运动分析如图。系统对定轴的动量矩为然后按解然后按解的方法即可求得轴承的方法即可求得轴承O的约束力。的约束力。由由得得BAm1gvm2gvOmg FOxFOy2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑48 解：解：用动能定理求角加速度。用动能定理求角加速度。由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落。设杆运动到与水平方向夹角为倒下过程中质心将铅直下落。设杆运动到与水平方向夹角为 时时 的角速度为的角速度为，则杆的动能为，则杆的动能为初动能为零，此过程只有重力作功，由初动能为零，此过程只有重力作功，由当当 =0时解出时解出vA动能定理两边对时间求导可求角加速度动能定理两边对时间求导可求角加速度 =0代入上式，便得到特定位置代入上式，便得到特定位置时的角加速度时的角加速度 例例均质杆长为均质杆长为l，质量为，质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和角加速度及地面的约束力。扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和角加速度及地面的约束力。AC vCP2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑49ACAC 杆刚刚达到地面时受力及加速度如图所示。杆刚刚达到地面时受力及加速度如图所示。杆作平面运动，以杆作平面运动，以A为基点，则为基点，则C点的加速度为点的加速度为沿铅垂向下方向投影，得沿铅垂向下方向投影，得联立求解方程联立求解方程(1)(3)，得，得aaCmgFAaCa a anCAaAatCAaA由刚体平面运动微分方程，得由刚体平面运动微分方程，得求平面运动微分方程求角加速度和约束力。求平面运动微分方程求角加速度和约束力。角加速度角加速度a a求出后，通过对质心的动量矩定理可求求出后，通过对质心的动量矩定理可求FA。A点的加速度等于多少？点的加速度等于多少？2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑50解：解：研究圆盘的运动研究圆盘的运动圆盘运动始终为平移！圆盘运动始终为平移！用动能定理求角速度和角加速度用动能定理求角速度和角加速度 取系统研究。初始时取系统研究。初始时T1=0，任意，任意 角时：角时：例例均质杆均质杆OA长为长为l，质量为，质量为m1，可绕，可绕O转动，另一端铰接一半径为转动，另一端铰接一半径为R，质量为质量为m2的均质圆盘，圆盘可绕的均质圆盘，圆盘可绕A在铅直面内自由旋转。已知杆和圆盘在铅直面内自由旋转。已知杆和圆盘初始静止，且杆初始静止，且杆OA水平，图示位置无初速地释放。求杆与水平线成水平，图示位置无初速地释放。求杆与水平线成 角角时杆的角速度和角加速度及杆铅直时时时杆的角速度和角加速度及杆铅直时时O处的约束力。处的约束力。P326，综，综-15AO AAFya aA AFxm2g 以圆盘任意位置研究，受力如图以圆盘任意位置研究，受力如图2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑51AO A 求得求得两边对时两边对时间求导得间求导得求得求得用动量矩定理求杆的角加速度用动量矩定理求杆的角加速度a a，积分求角速度，积分求角速度。系统对系统对O的动量矩为的动量矩为AO vA A=02024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑52杆质心加速度：杆质心加速度：AO m2g m1gFxFy系统到达任意系统到达任意 位置时受力如图位置时受力如图由由得得求得求得a a积分可求积分可求 求求杆铅直时杆铅直时O处的约束力处的约束力杆铅直时杆铅直时盘质心加速度：盘质心加速度：AO A2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑53由质心运动定理求支座由质心运动定理求支座O处约束力处约束力求得求得研究整个系统，受力图如图研究整个系统，受力图如图列刚体系统的质心运动定理方程列刚体系统的质心运动定理方程所用定理有相对质心的动量矩守恒定理；动能定理；所用定理有相对质心的动量矩守恒定理；动能定理；动量矩定理；质心运动定理。动量矩定理；质心运动定理。AOm2g m1gFxFyC2024/5/22 2024/5/22 周三周三可编辑可编辑542024/5/22 2024/5/22 周三周三55