正弦定理余弦定理习题及答案.docx

正 余 弦 定 理
1．在是的 　　　（ 　　 ）
A．充分不必要条件 　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是 （ ）
（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形.
3、 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .
4、如图，在△ABC中，若b = 1，c =，，则a= 。

5、在中，角所对的边分别为a，b，c，若，，，则角的大小为 ．
6、在中，分别为角的对边，且
（1）求的度数
（2）若，，求和的值

7、 在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.

8、如图，在△ABC中，已知，，B=45? 求A、C及c.

1、解：在，因此，选．
2、【答案】由题意可知：，从而
，又因为所以，所以一定是等腰三角形选C
3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.
【思路点拨】由已知条件求出、的大小，求出，从而求出
【规范解答】由A+C=2B及得，由正弦定理得得，由知，所以，
，所以
4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。
【思路点拨】对利用余弦定理，通过解方程可解出。
【规范解答】由余弦定理得，，即，解得或（舍）。【答案】1
【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。
5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】先根据求出B，再利用正弦定理求出，最后求出A.
【规范解答】由得，即，因为，所以，又因为，，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以.
【答案】30°或
6．【答案】由题意得
　∴　
将代入得由及，得或.
7、 【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.
【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式
2RsinAcosB=2RsinBcosA
sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0
A-B=0 ∴A=B 即△ABC为等腰三角形
解法2:由余弦定理: ∴ 即△ABC为等腰三角形.
8、 【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角
【答案】解法1：由正弦定理得：
∵B=45?<90? 即b<a ∴A=60?或120?
当A=60?时C=75?
当A=120?时C=15?
解法2：设c=x由余弦定理 将已知条件代入，整理：解之：
当时 从而A=60? ，C=75?
当时同理可求得：A=120? C=15?.
1.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.
解：在△ADC中，
cosC＝＝＝，
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中，＝
∴AB＝AC＝··7＝.
2.在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值.
解：∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π
∴45°＜A＜90°，∴sinA＝
∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π
∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°
若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符.
∴0°＜B＜30° cosB＝
∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝·－· ＝
又C＝180°－（A＋B）.
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－.
3、在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状.
解：在原等式两边同乘以sinA得2cosBsinAsinC＝sin2A，
由定理得sin2A＋sin2C－sin2B＝sin2A，
∴sin2C＝sin2B ∴B＝C
故△ABC是等腰三角形.
1.在△ABC中，若sinA＝，试判断△ABC的形状.
解：∵sinA＝，∴cosB＋cosC＝，
应用正、余弦定理得＋＝，
∴b（a2c2－b2）＋c（a2－b2c2）＝2bc（b＋c），
∴a2（b＋c）－（b＋c）（b2－2bc＋c2）＝2bc（b＋c）
即a2＝b2＋c2
故△ABC为直角三角形.
2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：＝.
证明：由a2＝b2＋c2－2bccosA. b2＝a2＋c2－2accosB
两式相减得a2－b2＝c（acosB－bcosA），
∴＝.
又＝，＝，
∴＝＝.
3.在△ABC中，若（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc，并且sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC的形状.
解：由已知条件（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc及余弦定理得
cosA＝＝＝
∴A＝60°
又由已知条件sinA＝2sinBcosC得sin（B＋C）＝sin（B＋C）＋sin（B－C）
∴sin（C－B）＝0，∴B＝C
于是有A＝B＝C＝60°，
故△ABC为等边三角形.