本科毕业论文---小波变换在信号及图像处理中的应用研究.doc

陕西理工学院毕业设计 题 目 小波变换在信号及图像处理中的应用研究 学生姓名 李 鹏 学号 1113024068 所在学院 物 理 与 电 信 工 程 学 院 专业班级 通 信 工 程 专 业 1102 班 指导教师 陈 莉 完成地点 物 理 与 电 信 工 程 学 院 实 验 室 2015 年 6月 3日毕业论文设计任务书院(系) 物电学院 专业班级 通信1102班 学生姓名 李鹏 一、毕业论文设计题目 小波变换在信号及图像处理中的应用研究 二、毕业论文设计工作自 2014 年 12 月 9 日 起至 2015 年6 月 10 日止 三、毕业论文设计进行地点: 物电学院实验室 四、毕业论文设计的内容要求：1、内容要求：传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。小波变换与 Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。本次毕业设计主要研究如何将小波变换应用到信号的提取及图像压缩、增强等领域的方法，例如小波变换与信号故障检测；小波变换与图像分割等领域的应用。 2、要求以论文形式提交设计成果，应掌握撰写毕业论文的方法， 应突出“目标，原理，方法，结论”的要素，对所研究内容作出详细有条理的阐述。 进度安排： 1-3周：查找资料，文献。 4-7周：研究现有小波变换在信号处理、小波变换在图像处理的应用。 8-11周：根据现有的算法在MATLAB下仿真验证。 12-14周：分析试验结果，对比各种算法的优点和缺点，尝试改进算法。 15-17周：撰写毕业论文，完成毕业答辩。 指导教师 陈莉 系(教 研 室) 系(教研室)主任签名 批准日期 接受论文 (设计)任务开始执行日期 学生签名 IV小波变换在信号及图像处理中的应用研究李鹏（陕西理工学院 物理与电信工程学院 通信工程专业1102班，陕西 汉中 723000）指导老师：陈莉【摘要】 小波分析在信号及图像处理中具有非常重要的应用，小波分析是傅里叶分析思想方法的发展与延拓。小波分析对图像的处理包括：图像压缩、图像增强及图像分割等。本文研究了小波变换的理论和小波分析在信号处理和图像处理中的应用。首先介绍了小波理论及小波变换的多分辨率分析，然后介绍了小波变换在图像增强中的应用，先将图像进行小波分解，再对小波分解后的低频或高频部分按照需要进行增强或抑制处理，从而实现对图像增强的目的。最后研究了小波的奇异性理论，并根据小波变换模极大值的位置与信号突变之间存在的一一对应关系精确的对机械故障进行检测。 【关键词】小波变换；傅里叶分析；小波奇异性；信号处理；图像处理； Based on the application of wavelet transform in signal and image processing researchLi Peng(Grade11 Class2,Major of Communication Engineering, School of Physics and Telecommunication Engineering, School University of Technology, Han Zhong 723000,China)Tutor: Chen Li【abstract】Wavelet analysis has very important applications in signal and image processing, it is the development and continuation of Fourier analysis Thought. Wavelet analysis of image processing include: image compression, image enhancement and image segmentation. This paper studies the theory and application of wavelet analysis wavelet transform in signal processing and image processing. Firstly the theory of wavelet and wavelet multi-resolution analysis, and then introduces the wavelet transform in image enhancement application, Firstly image is decomposed and then the low-frequency or high frequency part of wavelet decomposition is enhanced or suppressed according to the need .At last, wavelet singularity theory is studied, and according to one relationship between the wavelet transform modulus maxima position signal. It is achieved that the precise mutation of mechanical failure detection.【key words】 Wavelet transform; Fourier analysis; The wavelet singularity; The signal processing; Image processing.目录1.绪论11.1论文研究的背景和意义11.2国内的研究状况11.3论文的主要内容12.小波变换的基本理论32.1小波函数32.2一维小波变换32.2.1一维连续小波变换(CWT)32.2.2一维离散小波变换(DWT)42.3二维小波变换42.3.1二维连续小波变换42.3.2二维离散小波变换52.4小波变换的多分辨率分析52.5 小结63.基于小波变换的图像处理83.1 Mallat算法83.2小波变换图像增强原理93.3小波变换的图像增强的具体实现103.3.1非线性增强103.3.2图像的钝化113.3.3图像的锐化113.3.4基于小波变换的图像去噪123.4小结144.小波变换在信号处理中的应用154.1小波奇异性理论154.2 小波函数的选取及小波基波选择的标准164.3 不同小波基对信号奇变检测仿真对比164.3.1 不同小波基对突变信号突变点进行检测164.3.2 不同小波基对缓变信号的检测174.4小波在机械故障诊断中的具体实现184.5小结18结束语20致谢21参考文献22附录A： 英文文献原文23附录B： 英文文献译文26附录C： 程序源代码291.绪论1.1论文研究的背景和意义在我们所处的数字信息社会，因为人们对于信息的获取和交流的要求越来越高，从而促进了信息处理和应用技术的飞速发展。在传统的傅里叶分析中，由于信号全部是在频域展开的，不含有任何时频信息，其对于某些应用来说是恰当的，因为信号的频率信息对某些应用是极其重要的。但是其丢失的时域信息也可能对一些应用同样也非常重要，因此人们对傅里叶分析进行了改进，提出了很多既能表征频域信息，又能表征时域信息的信号分析方法，例如时频分析，短时傅里叶变换， 小波变换，Gabor变换等。其中短时傅里叶变换是在傅里叶分析基础上引入时域信息的尝试，其基本思想是：假定在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过对时间窗进行分割，通过在每个时间窗内把信号展开到频域就能够获得局部的频域信息，但它的时域区分度仅能依靠大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说粒度还是太大。因此短时傅里叶分析对很多应用来说是不够精确的，依然存在很大的缺陷和不足。而小波分析则具有多分辨率分析的特点，克服了短时傅里叶变换在单一分辨率上的不足和缺陷，在频域和时域都具有表征信号局部信息的能力，频率窗和时间窗都可以根据信号的具体形态进行动态调整，在一般情况下，在低频部分可以采用较低的时间分辨率来提高频率的分辨率，在高频情况下可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。因此，小波变换被广泛的应用于信号处理和图像处理中。1.2国内的研究状况国内的图像处理技术的发展大概经历了4个阶段：初创期、发展期、普及期和应用期。在20世纪60年代是初创期，当时的图像采用像素型光栅进行扫描并显示，大多数图像处理都采用中、大型机实现。在这个时期因为图像存储的成本高，处理的设备造价较高，所以其应用的比较少。在20世纪70年代进入了发展期，对图像开始大量采用中、大型机进行处理，同时图像处理也逐渐改用光栅扫描显示方式。20世纪80年代是普及期，这个时候的计算机已经能够承担起图像的处理任务。20世纪90年代进入应用期，人们运用图像增强技术处理和分析遥感图像，以有效地进行资源和矿藏的勘探、调查农业和城市的土地规划、气象预报、灾害及军事目标的监视等。近十几年来，小波分析在理论上和方法上都有飞速的进展，人们从多分辨率分析、框架和滤波器组三个不同的出发点进行研究。由于小波分析的独有特点和在信号分析方面的优势，使得它在图像处理中得到了广泛的应用并很有成效。在图像处理中，小波分析被应用在多个方面，如图像去噪、图像增强、图像分割、图像重建、图像压缩、图像编码、图像检索、生物特征识别、数字水印等。在信号处理中，典型应用包括信号降噪和压缩、对普通信号进行分析及检测信号特征等。目前，函数空间的刻画、小波基的构造、向量小波、多进制小波、基数插值小波、周期小波等都是小波理论的主要研究方向。1.3论文的主要内容本论文以小波分析理论为基础，主要介绍了小波变换的基本理论，利用小波变换的多分辨率分析法和小波变换的奇异性理论，分别介绍了小波变换在图像处理中的图像增强应用和小波变换在信号处理中的机械故障检测应用。全文共分为五个部分，具体安排如下：第一部分：绪论。介绍论文研究的背景意义、国内外的发展状况、研究的主要内容及结构安排。第二部分：小波变换的理论基础。主要介绍小波变换的基本理论。第三部分：基于小波变换的图像增强。主要介绍了小波变换图像增强中的非线性增强、图像钝化、图像锐化和图像去噪，并详细对比分析了小波变换对图像钝化和锐化与DCT对图像钝化和锐化的优缺点。第四部分：小波变换在信号处理中的应用。主要介绍了小波奇异性理论和选择不同小波基的标准，同时利用小波的奇异性理论实现了在机械故障中的检测。第五部分：总结本文的研究内容。2.小波变换的基本理论2.1小波函数小波即小区域的波，小波变换把信号分解成母小波按不同尺度和平移后的小波函数上，这些小波函数是紧支撑的，时间有限的。小波变换提出了变化的时间窗，当需要精确的低频信息时，可以采用长的时间窗，相反，当需要精确的高频信息时，可以采用短的时间窗。小波变换用的不是时间-频率域，而是时间-尺度域。尺度越大，采用越大的时间窗，尺度越小，采用越短的时间窗，即尺度与频率成反比1。小波函数一般具有以下特点：(1)正则性小波函数在时域都具有紧支撑或近似紧支撑的特性。原则上讲，任何满足可允许性条件L2(R)空间的函数都可作为小波母函数，所以具有正则性的实数或复数函数作为小波母函数，以使小波母函数在时域和频域都具有较好的局部特征。(2)波动性因为小波母函数满足可允许条件，则必有，即直流分量为0。由此可以断定小波必具有正负交替的波动性。2.2一维小波变换2.2.1一维连续小波变换(CWT)在Fourier变换中，用小波基函数做伸缩和平移变换，得到函数,用代替傅里叶变换的基函数的伸缩函数,得到新的变换就称为连续小波变换，具体定义如下：函数称为小波函数，如果满足准许条件： (2-1)其中为的Fourier变换，则连续小波变换定义为： (2-2)式中，且,a为缩放因子（对应于频率信息）；b为平移参数(对应于时空信息);表示的复共轭。准许条件在下可以等价地表示为： (2-3)小波变换结果为各种小波系数，这些系数由尺度和位移函数组成。2.2.2一维离散小波变换(DWT) (2-4)令,则 (2-5)式中，称之为再生核.显然，当与正交时，,即这时对“没有贡献”。小波的尺度当时，取,下面小波函数可以实现离散化且不丢失信息： (2-6)根据以上的讨论，离散小波变换的定义如下：设，是常数， .则称 (2-7)为的离散小波变换。特别地，取，则称以离散小波函数 为函数的(2-7)式变换称为二进制小波变换。2.3二维小波变换2.3.1二维连续小波变换若信号函数为二维小波母函数，则其构造可由一维母小波的张量积形成。 且 (2-8)若信号函数为二维小波母函数，则其构造可由一维母小波的张量积形成。因为图像信号是一种二维信号，所以将一位小波扩展为二维情况，便于后续的使用和分析。 (2-9)2.3.2二维离散小波变换只要把参数a,b,c离散化为常数，,则有离散参数变换： (2-10)将x,y离散化，即得到离散空间小波变换： (2-11)令,即得到离散小波变换，表示为: (2-12)2.4小波变换的多分辨率分析小波理论包括连续小波和二进制小波变换，在映射到计算域的时候会出现很多问题 ，因为两者都存在信息的冗余，在对信号进行采样以后，需要计算的信息量还是相当大的，特别是连续的小波变换，因为要对精度内所有的位移和尺度都要做计算，所以计算量非常的大。而二进小波变换虽然在离散的尺度上进行平移和伸缩，但是小波之间并没有正交性，各个分量的信息是搀杂在一起的，这为我们的分析带来了不便。多分辨率分析(Multi-resolution Analysis MRA)，也称为多尺度分析，它是建立在函数空间概念上的理论，多分辨率分析在小波变换理论中具有非常重要的地位。多分辨率分析的一系列尺度空间是由同一尺度函数在不同尺度下张成的，即一个尺度函数对应一个多分辨率分析2。通俗地讲，多分辨分析就是要构造一组函数空间，每组空间的构成都有一个统一的形式，而所有空间的闭包则逼近。在每个空间中，所有的函数都构成了该空间的标准化正交基，而所有函数空间的闭包中的函数则构成的标准化正交基，那么，如果对信号在这类函数空间上进行分解，就能够得到互相正交的时频特性。由于空间数目是无限可数的，因此能够很方便地分析我们所需要的信号的某些特性。对于任意函数，可以将它分解为细节部分(小波空间)与大尺度逼近部分(尺度空间)，然后对大尺度逼近部分进一步分解。这样重复就能够得到任意尺度上的逼近部分与细节部分，这就是多分辨率分析的框架。每进行一次小波分解都把输入信号分解为低频部分与高频细节部分，而且每次的输出采样率都能够再减半，从而保证总的输出系数长度保持不变，这样就将原始离散信号进行了多分辨率分解。在图像处理中，把二维图像信号所占的总频带定义为空间，用理想的低通滤波器与高通滤波器在行和列方向对它们分别分解成低频部分 与高频部分，每一个方向的两部分分别反映出该图像信号在剖分方向上的概貌与细节；对于 经第二级()分解后又被分解成低频、垂直方向的高频、以及对角线方向的高频， , 在这种空间分解过程中，反映的是图像信号在空间中沿方向的低频子空间，反映的是图像信号在空间中沿方向细节的高频子空间。从多分辨率分析可以看出，空间的每次分解包含两个部分：一部分是图像信号经过低通滤波后得到的低频概貌；另一部分是经过高通滤波（小波变换）得到的图像高频细节。对于低频概貌，重复以上的过程，最终把图像信号分解成多个等级的高频细节与最后一次低通滤波后的低频概貌之和。下面简要介绍一下多分辨分析的数学理论。定义：空间中的多分辨分析是指满足如下性质的一个空间序列：（1）单调性：，对任意（2）渐进完全性：，（3）伸缩完全性：（4）平移不变性：（5）Riesz基存在性：存在，使得构成的Risez基。满足的上述性质称为多尺度分析，即任意函数,应用多尺度分析将其分解为细节部分或是某一方向上的细节部分和的基本特征部分,然后将进一步分解，可得到任意尺度下基本特征部分以及细节部分之和。随着尺度的减小，其张成的尺度空间所包含的函数增多，尺度空间变大。相反，随着尺度的增大，其张成的尺度空间只能包括大尺度的缓变信号。所以，尺度越小，尺度空间就越大，对应频率就越高；反之，尺度越大，对应尺度空间就越小，频率越低。2.5 小结本章主要介绍了小波变换的基本理论，包括小波函数及一维和二维小波变换的的基本概念，以及小波多分辨率分析的基本概念，主要介绍了几种常用的公式及其性质。3.基于小波变换的图像处理3.1 Mallat算法1989年Mallat在小波变换多分辨分析理论与图像处理的应用研究中受到塔式算法的启发，提出了信号的塔式多分辨分析分解与重构的快速算法，即著名的Mallat算法2。该算法在小波变换中的地位相当于FFT在傅里叶变换中的地位，该算法的提出使小波理论得到了突破性的进展，使小波分析成为近年来迅速发展起来的新兴学科并得到了广泛应用。由于数字图像通常用二维信号描述，因此这里只讨论二维的多分辨率分析。Mallat给出了正交小波的构造方法以及正交小波的快速算法Mallat算法。Mallat算法经过一组分解滤波器H(低通滤波器LPF)与G(高通滤波器HPF)对信号进行滤波，然后对输出结果进行下二采样(即隔一取一)来实现小波分解，分解的结果是产生长度减半的两个部分，一个是经过高通滤波器产生原始信号的细节部分，另一个则是经过低通滤波器产生原始信号的平滑部分。重构时是先使用一组H和G合成滤波器对小波分解的结果进行滤波，再进行上二采样(相邻两点间补零)来产生重构信号。多级小波分解是通过级联的方式进行，每一级的小波变换都是在前一级分解产生的低频分量上的继续，重构是分解的逆运算。低频分量上的能量集中，信息丰富；高频分量上的细节信息丰富，信息分量多为零，能量较少3。按照Mallat的快速算法，图像小波分解如图3.1所示，图像小波分解的重构算法如图3.2所示。图3.1 图像小波分解算法图3.2 图像小波分解的重构算法图像经过小波变换后，能够得到良好的空间-频率多分辨率表示，小波变换具有以下4个主要特征：（1）原始图像的能量主要集中在低频子带图像。（2）小波分量具有方向选择性，分为三个部分水平、垂直、对角，这些特性都和人类的视觉特性相吻合。（3）不仅保持原图像的空间特性，同时很好的提取了图像的高频信息。在低频处具有很好的频率特性，在高频处具有很好的空间选择性。（4）低通模糊子图具有很强的相关性，在水平子带图像中水平方向上的相关系数和大，而垂直方向上小；在垂直子带图像中垂直方向上的相关系数大，而水平方向上小；然而斜子带图像在垂直方向和水平方向上的相关系数都小。3.2小波变换图像增强原理小波变换的多分辨率分析能够有效地抑制噪声，增强图像中感兴趣的部分，使得小波变换图像增强得到了很广泛的应用。小波变换将图像在各个尺度上分成低频分量与水平高频，垂直高频及对角高频四个不同的分量，经小波变换后，根据图像需要增强的部分做增强处理，通过对不同方向不同位置上的某些分量改变其小波系数大小，从而放大某些感兴趣的分量而抑制某些不需要的分量。在实际应用中，通过对高频部分分量进行变换，经过处理后就能够达到增强图像的目的。图4.1是经过三尺度小波变换分解后图像各个部分的分量，其中LL是低频部分，它表示图像的主要信息，集中了图像的大部分能量，而HL，LH和HH都是高频部分，分别表示图像水平方向、垂直方向及对角线方向的细节。如果对图像的低频部分继续进一步做小波分解，就能够得到多个尺度的图像时频信息4。图3.3 三级塔形分解示意图其中LL表示水平方向的低频成分和垂直方向的低频分量，即低频部分；LH表示水平方向的低频成分和垂直方向的高频分量，即垂直边缘信息；HL表示水平方向的高频成分和垂直方向的低频分量，即水平边缘信息；HH表示水平方向的高频成分和垂直方向的高频分量，即对角线方向的高频分量。由图3.3可知，数字图像的小波分解实质上就是将图像信号分解成不同频带范围内的图像分量。每一层小波分解都将待分解的图像分解成4个子带，很好地分离出表示图像的低频信息。因此，小波变换能够在不同的尺度上采用不同的方法来增强不同频率范围内图像细节分量，然后把处理后的系数进行小波重构，这样就能够在突出图像细节特征的同时，有效抑制噪声对图像的影响，使图像轮廓更加清晰。用MATLAB程序【1】实现图像的二维小波三级分解及重构如图3.4所示：图3.4 图像的二维小波三级分解及重构3.3小波变换的图像增强的具体实现3.3.1非线性增强图像经过小波变换后，可以分解为大小、位置和方向均不相同的分量，可以根据需要对某些部分的小波系数进行处理，从而增强感兴趣的分量，然后进行小波逆变换，得到增强后的图像。其函数表示为： (3-1)其中G是小波系数增强倍数，是小波系数阈值，是图像分解后的小波系数，是图像增强后的小波系数。具体实现步骤如下2：(1) 读入原始图像；(2) 对原始图像进行小波分解，得到四个字带分别是：低频子带LL和三个高频子带LH、HL、HH(细节部分)；(3) 对高频系数进行非线性增强，达到去噪并增强的目的；(4) 将处理后的两种小波系数进行小波逆变换，从而得出增强后的图像(输出图像)。用MATLAB程序【2】实现如图3.5所示：图3.5 非线性小波图像增强由图3.3可知，经过非线性小波变换增强后，图像的对比度明显增强，噪声得到了有效的抑制，但同时丢失了某些细节部分的信息。3.3.2图像的钝化图像钝化操作主要是提出图像中的低频成分，抑制快速变化成分（高频成分）。在时域中的处理相对简单，只需要对图像进行一个平滑滤波（低通滤波），使图像中的每个点与其相邻点做平滑即可5。用MATLAB程序【3】实现如图3.6所示：图3.6 传统DCT钝化与小波变换钝化由图3.6可以看出，采用DCT在频域做滤波的方法得到的钝化结果更为平滑，这是因为其分别率最高，而小波变换得到的结果在很多地方存在不连续的现象，这是因为对系数做抑制或放大时在阈值两侧有间断，并且分解层数很低，只进行了2层分解，并没有完全分离出图像中频域部分的信息。而且在做系数抑制或放大的时候，采用的标准是根据系数绝对值的大小，并没有完全体现出其位置信息，但是在小波系数中，就很容易在处理系数的过程中加入位置信息。3.3.3图像的锐化图像锐化与图像钝化处理原理是相反的，图像锐化的任务是突出图像的高频信息，抑制其低频信息，从快速变化的成分中分离出标识系统特性或区分子系统边界的成分，以便于进一步的分割、识别等操作。在时域中，锐化的方法是作用掩码或做差分，同钝化一样，无论是掩码和差分都很难识别点之间的关联信息5。用MATLAB程序【4】实现如图3.7所示：图 3.7 传统DCT锐化与小波变换锐化由图3.7可以看出，使用DCT方法进行高通滤波器得到的高频结果比较纯粹，完全是原始图像上的边缘信息，因此图像非常模糊；而用小波变换得到的结果中，不只是快速变化的高频成分，还有变换非常缓慢的低频成分，这是因为两者同样在小波系数上体现为绝对值较低的部分，但这些成分的存在对进行进一步分析并无多大影响。3.3.4基于小波变换的图像去噪小波变换图像去噪的基本思想是：由于图像和噪声经小波变换后有不同的统计特性，图像本身的能量对应着幅值较大的小波系数，主要集中在高频；噪声能量则对应着幅值较小的小波系数，并分散在小波变换后的所有系数中。根据这一特性，可以设置一个阈值门限，认为大于该阈值的小波系数的主要成分为有用信号，给予收缩后保留；小于该阈值的小波系数，主要成分为噪声，予以滤除，一次达到去噪目的6。而如何选取阈值并进行阈值的量化是重点。MATLAB中提供了许多小波降噪和压缩的函数,可以查阅相关资料得知7。用MATLAB程序【5】实现对图像进行小波图像阈值去噪如图3.8所示：图3.8 对图像进行小波图像阈值去噪由图3.8可以看出，第一次去噪已经滤除了大部分的高频噪声，但第一次去噪后的图像中仍然含有很多的高频噪声；第二次去噪是在第一次去噪的基础上再次滤除其中的高频噪声。从去噪的结果可以看出，它具有较好的去噪效果。用MATLAB程序【6】实现对图像进行全局阈值降噪如图3.9所示：图3.9 对图像进行全局阈值降噪用MATLAB程序【7】实现对图像软阈值去噪和硬阈值去噪如图3.10所示：图3.10 对图像软阈值去噪和硬阈值去噪由图3.10可知，软阈值去噪后的图像相对于硬阈值去噪后的图像平滑得多，但是其可能造成边缘模糊失真，丢失一些细节信息等现象，硬阈值去噪后的图像虽然保留了图像边缘等局部特征，但会产生视觉性的失真。这是由于软阈值的收缩性和硬阈值的粗略性所造成的。 3.4小结本章主要介绍了小波变换在图像增强中的应用，首先介绍了Mallat算法的基本思想及原理；然后介绍了小波变换在图像增强中的基本原理；最后是对小波变换在图像增强应用中的具体实现，包括图像的非线性增强、图像锐化、图像钝化和图像去噪。 4.小波变换在信号处理中的应用小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的工作者所重视和应用，并在许多应用中取得了明显的效果。同传统的处理方法相比，小波变换在信号处理方面具有更大的优势。其典型应用包括编码和压缩、信号降噪、对普通信号进行分析和检测信号特征等。例如它可以用于机械旋转信号的分析与处理，小波变换能够用于语音信号的变换、分析和综合，还可以检测噪声中未知瞬态信号等8。小波变换由于其良好的时频特性，已广泛应用于旋转机械、往复机械、齿轮、轴承等的状态监测和故障诊断6。小波奇异性理论是机械故障检测的基本原理。4.1小波奇异性理论信号的奇异性与小波变换模极大值之间存在如下关系：设为一光滑函数，且满足条件,不妨设为高斯函数，即,令,由于,因此可取函数作为基小波。对函数关于的小波变换可写成： (4-1)其中，仍为高斯函数，不妨设,则： (4-2)其中，积分可看作是函数用高斯函数按尺度进行光滑处理后的结果，当很小时，用对光滑处理的结果对的突变部分的形状及位置影响不大，由式(4-1)可知，小波变换模与尺度下光滑后函数的一阶导数成正比。因此，的极大值点对应的是的突变点，当尺度较小时，的突变点就是的突变点。这表明小波变换模极大值的位置与信号突变点出存在一一对应关系10。下面介绍预备定理，它是利用小波变换进行机械故障检测的重要依据。定理1(预备定理)：对于平稳随机信号,其小波变换的均值为0，方差随着尺度因子的增大而趋于零。一般说来，在机械设备正常工作时，系统输出的信号是由平稳随机噪声和确定性信号两部分叠加而成，而小波变换是这两部分小波变换的和。由上述预备定理与小波奇异性理论的相关结论可知，确定性信号的边沿对应的小波变换模极大值随着噪声的影响而缓慢衰减，或者随着尺度因子的增大而增大。然而，平稳随机噪声也属于平稳随机信号的一种，因此其小波变换的模极大值也将随着尺度因子的增大而迅速衰减。所以，在大尺度下，信号的小波变换模极大值主要属于确定性信号的边沿。然而机械故障信号的出现恰好对应于确定性信号的边沿。根据这一原理，结合小波变换模极大值的位置与信号突变点之间存在的一一对应关系，从而能够将信号的故障点与平稳噪声区别开来，实现对机械故障的检测。4.2 小波函数的选取及小波基波选择的标准信号奇异点可通过信号的小波变换局部极大值来定位，而奇异性运用该点的利普莱茨指数来定量描述。应用该理论来实现信号的奇异性检测，比其他方法更优越。值得注意的是: 选择不同的小波分析信号，其检测效果也不一样，因此，选择合适的小波就非常重要11。在实际中,Morlet小波运用领域比较广泛,可以用于信号分类和表示、特征提取、图像识别;对于数字信号往往选择哈尔或多贝西作为小波基;另外还有根据小波函数的消失矩来选择小波基波。本小节主要介绍小波在机械故障诊断的应用，因此选择多贝西小波基函数。在故障的奇异性检测中,信号的奇异点（突变点）可以从其小波变换的小波系数模极大值中检测出来。其基本原理是当信号在奇异点附近的利普莱茨指数 时,其小波变换的模极大值根据尺波规则性系数相似性选择小波基,主要是从小波分析和傅里叶变换的基本思想相似, 傅里叶变换是以正弦波为基波,用其各次谐波来近似某一函数,其中傅里叶系数代表着各次谐波分量在函数中的权值,这一权值实质上表明了各次谐波与这一函数的相似性;而小波分析则是利用小波的窗函数特性来进行分段逼近,同时小波系数的大小也反映了小波与函数某段的相似度11。同时函数与小波的规则性系数都反映各自的平滑程度和可微性,这样根据相似性,能够用平滑的小波,即用规则性系数大的小波,来表示平滑的函数;用不平滑的小波,即规则性系数小的小波,来表示波动性大的函数;当 时,则随尺度的增大而减小。也就是说在一个合适的尺度下,通过小波变换,根据小波系数模极大值和奇异点的关系,能够检测出信号的奇异点。本文提出的基于小波规定性系数小的函数表示非平滑函数。需要说明的是这里的相似不是绝对的相等或非常接近,仅仅表示一种趋势。这一思想和利用小波消失矩选择小波函数具有一致性,因此小波的规则性系数与小波的消失矩有着同样的变化趋势12。这可从多贝西小波的消失矩和其小波规则性系数的关系看出,见表1。表1 部分db系小波规则性系数表小波名称db1db2db3db4db5db7db10规则性系数00.50.911.271.592.152.904.3 不同小波基对信号奇变检测仿真对比4.3.1 不同小波基对突变信号突变点进行检测用多贝西小波族的部分小波对突变信号突变点检测来说明不同小波基检测之间的差异，MATLAB程序【8】实现如图4.1所示，为多贝西小波族的db1、db3、db5、d