资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）过A（－3，0），B（1，0），C（－5，y 1），D（5，y 2）四点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1>y2 B．y1＝y2 C．y1<y2 D．不能确定
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x2－5x+3 B．2x2－y+1=0 C．x2=0 D．+ x=2
3．已知二次函数y＝ax1+bx+c+1的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b1﹣4ac＝0；③a＞1；④ax1+bx+c＝﹣1的根为x1＝x1＝﹣1；⑤若点B（﹣，y1）、C（﹣，y1）为函数图象上的两点，则y1＞y1．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
4．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
5．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
6．用配方法解方程,下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，点M从点B出发沿BC向点C运动，点E、F别是AM、MC的中点，则EF的长随着M点的运动（ ）
A．不变 B．变长 C．变短 D．先变短再变长
9．如图，在菱形中，，，，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．
10．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中①ac＞0；②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而增大，正确的是( )
A．①③ B．②④ C．①②④ D．②③④
11．若关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k≥﹣1
12．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k≤1 D．k≤1且k≠0
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，请补充一个条件_________：，使△ACB∽△ADE．
14．如图，中，，，，__________．
15．若点（p，2）与（﹣3，q）关于原点对称，则p+q＝__．
16．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________.
17．如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴并交反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象于点A，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积为_____．
18．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，以点C为圆心，以BC的长为半径画弧交AD于E，则图中阴影部分的面积为__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，∠ACE的平分线CD交EF于点D，连接AD、AF．
（1）求∠CFA度数；
（2）求证：AD∥BC．
20．（8分）甲口袋中装有3个小球，分别标有号码1，2，3；乙口袋中装有2个小球，分别标有号码1，2；这些球除数字外完全相同．从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球，则取出的两个小球上的号码恰好相同的概率是多少？
21．（8分）如图，在□ABCD中，AD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B．
（1）求证：；
（2）若AB＝5，AD＝8，求⊙O的半径．
22．（10分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
（1）求证：DE∥BC．
（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．
23．（10分）初三（1）班要从2男2女共4名同学中选人做晨会的升旗手．
（1）若从这4人中随机选1人，则所选的同学性别为男生的概率是 ．
（2）若从这4人中随机选2人，求这2名同学性别相同的概率．
24．（10分）如图，在梯形中，，，是延长线上的点，连接，交于点．
（1）求证：∽
（2）如果，，，求的长．
25．（12分）（发现）在解一元二次方程的时候，发现有一类形如x2+（m+n）x+mn＝0的方程，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它转化成x2+（m+n）x+mn＝（m+x）（m+n）＝0
（探索）解方程：x2+5x+6＝0：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3），原方程可转化为（x+2）（x+3）＝0，即x+2＝0或x+3＝0，进而可求解．
（归纳）若x2+px+q＝（x+m）（x+n），则p＝ q＝ ；
（应用）
（1）运用上述方法解方程x2+6x+8＝0；
（2）结合上述材料，并根据“两数相乘，同号得正，异号得负“，求出一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解．
26．定义：已知点是三角形边上的一点（顶点除外），若它到三角形一条边的距离等于它到三角形的一个顶点的距离，则我们把点叫做该三角形的等距点．
（1）如图1：中，，，，在斜边上，且点是的等距点，试求的长；
（2）如图2，中，，点在边上，，为中点，且．
①求证：的外接圆圆心是的等距点；②求的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据二次函数图象的对称轴位置以及开口方向，可得C（－5，y 1）距对称轴的距离比D（5，y 2）距对称轴的距离小，进而即可得到答案．
【详解】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）过A（－3，0），B（1，0），
∴抛物线的对称轴是：直线x=-1，且开口向下，
∵C（－5，y 1）距对称轴的距离比D（5，y 2）距对称轴的距离小，
∴y1>y2，
故选A．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握用抛物线的轴对称性比较二次函数值的大小，是解题的关键．
2、C
【解析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是1；（1）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A、不是方程，故本选项错误；
B、方程含有两个未知数，故本选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、不是整式方程，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．
3、D
【解析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：①由抛物线的对称轴可知：，
∴，
由抛物线与轴的交点可知：，
∴，
∴，故①正确；
②抛物线与轴只有一个交点，
∴，
∴，故②正确；
③令，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④由图象可知：令，
即的解为,
∴的根为，故④正确；
⑤∵，
∴，故⑤正确；
故选D．
【点睛】
考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.
4、D
【分析】根据几何体的正面看得到的图形，可得答案．
【详解】A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何的三视图是解题关键．
5、A
【分析】顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一条对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等，所以是平行四边形．
【详解】解：如图，连接AC，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC；
∴EF＝HG且EF∥HG；
∴四边形EFGH是平行四边形．
故选：A．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是根据中位线性质证得EF＝HG且EF∥HG．
6、C
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．
【详解】解： 等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方22，
，
∴；
故选：C．
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7、C
【解析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可.
【详解】A. =3，故不是最简二次根式；
B. =，故不是最简二次根式；
C. ，是最简二次根式；
D. =，故不是最简二次根式；
故选C.
【点睛】
本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，象这样的二次根式叫做最简二次根式.
8、A
【分析】由题意得EF为三角形AMC的中位线，由中位线的性质可得：EF的长恒等于定值AC的一半.
【详解】解：∵E，F分别是AM，MC的中点，
∴，
∵A、C是定点，
∴AC的的长恒为定长，
∴无论M运动到哪个位置EF的长不变，
故选A．
【点睛】
此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
9、B
【分析】由菱形的性质得AD=AB，由，求出AD的长度，利用勾股定理求出DE，即可求出的值.
【详解】解：在菱形中，有AD=AB，
∵，AE=ADAD3，
∴，
∴,
∴，
∴,
∴；
故选：B.
【点睛】
本题考查了三角函数，菱形的性质，以及勾股定理，解题的关键是根据三角函数值正确求出菱形的边长，然后进行计算即可.
10、D
【分析】①依据抛物线开口方向可确定a的符号、与y轴交点确定c的符号进而确定ac的符号；②由抛物线与x轴交点的坐标可得出一元二次方程ax2+bx+c=0的根；③由当x=1时y＜0，可得出a+b+c＜0；④观察函数图象并计算出对称轴的位置，即可得出当x＞1时，y随x的增大而增大．
【详解】①由图可知：，，
，故①错误；
②由抛物线与轴的交点的横坐标为与，
方程的根是，，故②正确；
③由图可知：时，，
，故③正确；
④由图象可知：对称轴为：，
时，随着的增大而增大，故④正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．
11、C
【分析】根据根的判别式（ ）即可求出答案．
【详解】由题意可知：
∴
∵
∴ 且 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式的应用，因为存在实数根，所以根的判别式成立，以此求出实数k的取值范围．
12、A
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠1且△=22-4k×（-1）≥1，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】根据题意得k≠1且△=22-4k×（-1）≥1，
解得k≥-1且k≠1．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
【分析】由∠A是公共角，且DE与BC不平行，可得当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或时，△ADE∽△ACB．
【详解】①补充∠ADE=∠C，理由是：
∵∠A是公共角，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB．
故答案为：∠ADE=∠C．
②补充∠AED=∠B，理由是：
∵A是公共角，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB．
③补充，理由是：
∵∠A是公共角，，
∴△ADE∽△ACB．
故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握判定定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
14、18
【分析】根据勾股定理和三角形面积公式得，再通过完全平方公式可得.
【详解】因为中，，，，
所以
所以
所以
=64+36=100
所以AB+BC=10
所以AC+AB+BC=8+10=18
故答案为：18
【点睛】
考核知识点：勾股定理.灵活根据完全平方公式进行变形是关键.
15、1
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出p，q的值进而得出答案．
【详解】解：∵点（p，2）与（﹣3，q）关于原点对称，
∴p＝3，q＝﹣2，
∴p+q＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的坐标之间的关系是解题关键．
16、且
【分析】根据根的判别式∆>0，且二次项系数a-2≠0列式求解即可. 当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
【详解】由题意得
，
解得且，
故答案为：且.
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.解答时要注意二次项的系数不能等于零.
17、1．
【分析】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b,即可求得AB的横坐标,则AB的长度即可求得,然后利用平行四边形的面积公式即可求解
【详解】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b
把y=b代入y＝得,b=
则x=,即B的横
坐标是
同理可得:A的横坐标是：
则AB=-（）=
则 S =×b=1.
故答案为1
【点睛】
此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于设A的纵坐标为b
18、
【分析】连接CE，根据矩形和圆的性质、勾股定理可得，从而可得△CED是等腰直角三角形，可得，即可根据阴影部分的面积等于扇形面积加三角形的面积求解即可．
【详解】连接CE
∵四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=，
∴
∵以点C为圆心，以BC的长为半径画弧交AD于E
∴
∴
∴△CED是等腰直角三角形
∴
∴
∴阴影部分的面积
故答案为：．
【点睛】
本题考查了阴影部分面积的问题，掌握矩形和圆的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、扇形的面积公式、三角形面积公式是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）75°（2）见解析
【解析】（1）由等边三角形的性质可得∠ACB＝60°，BC＝AC，由旋转的性质可得CF＝BC，∠BCF＝90°，由等腰三角形的性质可求解；
（2）由“SAS”可证△ECD≌△ACD，可得∠DAC＝∠E＝60°＝∠ACB，即可证AD∥BC．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB＝60°，BC＝AC
∵等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC
∴CF＝BC，∠BCF＝90°，AC＝CE
∴CF＝AC
∵∠BCF＝90°，∠ACB＝60°
∴∠ACF＝∠BCF﹣∠ACB＝30°
∴∠CFA＝（180°﹣∠ACF）＝75°
（2）∵△ABC和△EFC是等边三角形
∴∠ACB＝60°，∠E＝60°
∵CD平分∠ACE
∴∠ACD＝∠ECD
∵∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，CA＝CE，
∴△ECD≌△ACD（SAS）
∴∠DAC＝∠E＝60°
∴∠DAC＝∠ACB
∴AD∥BC
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题关键．
20、两个小球的号码相同的概率为.
【解析】【试题分析】利用树状图求等可能事件的概率，树状图见解析.
【试题解析】
画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，这两个小球的号码相同的有2情况，
∴这两个小球的号码相同的概率为：．
21、（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为
【分析】(1) 连接OB，根据题意求证OB⊥AD，利用垂径定理求证；
(2) 根据垂径定理和勾股定理求解.
【详解】解：（1）
连接OB,交AD于点E.
∵BC是⊙O的切线，切点为B，
∴OB⊥BC．
∴∠OBC＝90°
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AD// BC
∴∠OED＝∠OBC =90°
∴ OE⊥AD
又 ∵ OE过圆心O
∴
（2）∵ OE⊥AD ,OE过圆心O
∴ AE=AD=4
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，
BE＝＝3，
设⊙O的半径为r，则OE=r－3
在Rt△ABE中，∠OEA＝90°，
OE2+AE2 = OA2
即(r－3)2+42= r2 ∴r=
∴⊙O的半径为
【点睛】
掌握垂径定理和勾股定理是本题的解题关键.
22、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°，可得∠CDE＝60°＝∠ACB，可证DE∥BC；
（2）由旋转的性质可得AE＝BD＝7，即可求△ADE的周长．
【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，
∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
∴CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°＝∠ACB，
∴DE∥BC；
（2）∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
∴AE＝BD＝7，
∵△ADE的周长＝AE+DE+AD＝AE+DC+AD＝AE+AC，
∴△ADE的周长＝7+8＝1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，解决本题的关键是正确理解题意，能够熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，找到相等的线段和角.
23、（1）；（2）P(这2名同学性别相同) =．
【分析】（1）用男生人数2除以总人数4即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案.
【详解】解：（1）；
（2）从4人中随机选2人，所有可能出现的结果有：
（男1，男2）、（男1，女1）、（男1，女2）、（男2，男1）、（男2，女1）、（男2，女2）、（女1，男1）、（女1，男2）、（女1，女2）、（女2，男1）、（女2，男2）、（女2，女1），共有12种，它们出现的可能性相同，满足“这2名同学性别相同”（记为事件A）的结果有4种，
所以P(A)= ．
24、（1）详见解析；（2）
【分析】（1）根据三角形相似的判定定理，即可得到结论；
（2）由∽，得，进而即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，，
∴∽；
（2）解：∵，，，，
∴．
由（1）知，∽，
∴，即
∴．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，掌握相似三角形对应边成比例，是解题的关键．
25、归纳：m+n，m；应用（1）：x1＝﹣2，x2＝4；（2）x＞3或x﹣1
【分析】归纳：根据题意给出的方法即可求出答案．
应用：（1）根据题意给出的方法即可求出答案；
（2）根据题意给出的方法即可求出答案；
【详解】解：归纳：故答案为：m+n，m；
应用：（1）x2+6x+8＝0，
∴（x+2）（x+4）＝0
∴x+2＝0，x+4＝0
∴x1＝﹣2，x2＝4；
（2）∵x2﹣2x﹣3＞0
∴（x﹣3）（x+1）＞0
∴或
解得：x＞3或x﹣1
【点睛】
本题考查了一元二次方程，一元二次不等式的解及题目所给信息的总结归纳能力
26、（1）或 ； （2）①证明见解析, ②．
【分析】（1）根据三角形的等距点的定义得出OB=OE或OA=OF，利用相似三角形，表达出对应边，列出方程求解即可；
（2）①由△CPD为直角三角形，作出外接圆，通过平行线分线段成比例得出DP∥OB，进而证明△CBO≌△PBO，最后推出OP为点O到AB的距离，从而证明点O是△ABC的等距点；
（2）求相当于求，由①可得△APO为直角三角，通过勾股定理计算出BC的长度，从而求出．
【详解】解：（1）如图所示，作OF⊥BC于点F，作OE⊥AC于点E，
则△OBF∽△ABC，
∴
∵，，由勾股定理可得AB=5，
设OB=x，则
∴，
∵点是的等距点，
若OB=OE，
∴
解得：
若OA=OF，OA=5-x
∴，解得
故OB的值为或
（2） ①证明：∵△CDP是直角三角形，所以取CD中点O，作出△CDP的外接圆，连接OP，OB
设圆O的半径为r，则DC=2r，
∵D是AC中点，
∴OA=3r
∴，
又∵PA=2PB，
∴AB=3PB
∴
∴
∴∠ODP=∠COB，∠OPD=∠POB
又∵∠ODP=∠OPD，
∴∠COB=∠POB，
在△CBO与△PBO中， ，
∴△CBO≌△PBO（SAS）
∴∠OCB=∠OPB=90°，
∴OP⊥AB，
即OP为点O到AB的距离，
又∵OP=OC，
∴△CPD的外接圆圆心O是△ABC的等距点
②由①可知，△OPA为直角三角形，且∠PDC=∠BOC，OC=OP=r
∵在Rt△OPA中，OA=3r,
∴，
∴
∴在Rt△ABC中，AC=4r，，
∴，
∴
【点睛】
本题考查了几何中的新定义问题，涉及了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆的性质及三角函数的内容，范围较大，综合性较强，解题的关键是明确题中的新定义，并灵活根据几何知识作出解答．
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