第十六届华杯赛总决赛试题.doc

华杯赛决赛试题汇编 ·4·
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
总决赛 小学组一试
2011年7月23日 中国·惠州
一. 填空题：（共3题，每题10分）
1. 计算 ＝_________.
2. 如右图所示，正方形ABCD的面积为12，AE＝ED，且EF＝2FC，则三角形ABF的面积等于_________.
3. 某地区的气象记录表明，在一段时间内，全天下雨共1天；白天雨夜间晴或白天晴夜间雨共9天；6个夜间和7个白天晴朗。则这段时间有_______天，其中全天天晴有_______天。
二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）
4. 已知a是各位数字相同的两位数，b是各位数字相同的两位数，c是各位数字相同的四位数，且。求所有满足条件的（a，b，c）。
5. 纸板上写着100、200、400三个自然数，再写上两个自然数，然后从这五个数中选出若干个数（至少两个）做只有加、减法的四则运算，在一个四则运算式子中，选出的数只能出现一次，经过所有这样的运算，可以得到k个不同的非零自然数。那么k最大是多少？
6. 将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入右图的圆圈中，每个圆圈恰填一个数，满足下列条件：
1） 正三角形各边上的数之和相等；
2） 正三角形各边上的数之平方和除以3的余数相等。
问：有多少种不同的填入方法？
( 注意，经过旋转和轴对称反射，排列一致的，视为同一种填法 )
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
总决赛 小学组二试
2011年7月23日 中国·惠州
一. 填空题：（共3题，每题10分）
1. 某班共36人都买了铅笔，共买了50支，有人买了1支，有人买了2支，有人买了3支。如果买1支的人数是其余人数的2倍，则买2支的人数是_________.
2. 右图中，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E为BC的中点，三角形ABO的面积为45，三角形ADO的面积为18，三角形CDO的面积为69。则三角形AED的面积等于_________.
3. 一列数的前三个依次是1，7，8，以后每个都是它前面相邻三个数之和除以４所得的余数，则这列数中的前2011个数的和是_________.
二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）
4. 用57个边长等于1的小等边三角形拼成一个内角不大于180度的六边形，小等边三角形之间既无缝隙，也没有重叠部分。则这个六边形的周长至少是多少？
5. 黑板上写有1，2，3，…，2011一串数。如果每次都擦去最前面的16个数，并在这串数的的最后再写上擦去的16个数的和，直至只剩下1个数，则
1） 最后剩下的这个数是多少？
2） 所有在黑板上出现过的数的总和是多少？
6. 试确定积的末两位的数字。
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
总决赛 初一组一试
2011年7月23日 中国·惠州
一. 填空题：（共3题，每题10分）
1. 计算 ＝_________.
2. 如图，正方形ABCD的面积等于625，DE与CF相交于G。已知＝＝125平方厘米，那么△BFG的面积是_________平方厘米.
3. 用程度分别为1，2，…，50的木条去摆三角形，每个三角形的三条边的程度分别为a，b，c，a<b<c，则（a，b，c）最多有_________种不同的取法？
二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）
4. 用S(n)表示自然数n的数字和， 如S(1)＝1，S(123)＝6，S(1234)＝10等等，求自然数n，使得n＋S(n)＝2011.
5. 两个21位自然数m和n，每个都由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6、三个7组成，使得是自然数，问k能取哪几个自然数？说明你的理由。
6. 设自然数k使得方程　　无解，将这样的k由小到大排成一行，其前2011个k的值之和等于多少？
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
总决赛 初一组二试
2011年7月23日 中国·惠州
一. 填空题：（共3题，每题10分）
1. 水池有一个进水口和若干个同样大小的排水口，池中有水若干。如果同时打开进水口和5个排水口，则连续30个小时可以将水排尽；如果同时打开进水口和6个排水口，则连续20小时可以将水排尽。那么同时打开进水口和15个排水口，_________小时就可以将水排尽。
2. 在右图中，四边形ABCD是一个长方形，EF∥AB，GH∥AD，EF和GH相交于点O，三角形OBD的面积是m，长方形OFCH的面积和长方形AGOE的面积差等于_________.
3. 自然数a，b互质，如果，，是10进制数的位数， 则＝________. 其中表示不超过的最大整数，表示的小数部分。
二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）
4. 将数1，2，3，…，8分别放置于正方体的8个顶点，每个顶点与相邻3个顶点上的数之和称为该顶点的“众数”。对每一种填法，都可以得到最大“众数”与最小“众数”的差，那么这个差至少等于多少？
5. 已知三角形边长都是整数，周长不超过28，三个边长两两之差的平方和等于14。问这样的三角形共有多少个？（三条边长分别对应相等的只算1个）
6. 求最小自然数k，使得对于任意正整数n，k个奇数2n＋1，2n＋3，2n＋5，…，2n＋2k－1中至少有一个数，不能被3，5，7，11中的任何一个整除。