角平分线辅助线自编.doc

角平分线的辅助线做法
角平分线的辅助线做法常见的有三种：①利用角分线易构成全等三角形②沿角分线，碰直角构等腰③做平行线，构等腰。
一、利用角分线易构成全等三角形（SAS）
该方法常见有两种情况，一是在角两边截取相等的线段，利用SAS构成全等三角形，另一种是利用角分线上一点向角两边做垂线构成全等三角形。
例1：如图，BD是四边形ABCD中∠ABC的平分线，AB>BC，∠A＋∠C＝180°，求证：DA＝CD
A
B
C
D

提示：该题目可运用两种情况中的任何一种
同类型拷贝：
如图在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC．求证：.
A
D
B
C

例2：已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC

同类型拷贝：
已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。求证：△ABC是直角三角形。
C
A
B

例3 如图，△ABC中，AD是∠A的平分线，∠EDF＋∠BAF=180°，求证：DE=DF.
提示：过D做角两边的垂线。

同类型拷贝：
如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180 

例4：已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD
_
A
_
B
_
C
_
D
_
E

同类型拷贝：
已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD
A
B
C
D

例5 已知：如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。

例6：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？
分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．
已知：如图，△ABC的角平分线AD与BE交于点I，求证：点I在∠ACB的平分线上．
证明：过点I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分别是点H、G、F．
∵点I在∠BAC的角平分线AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC
∴IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等）
同理 IH=IF ∴IG=IF（等量代换）
又IG⊥AC、IF⊥BC
∴点I在∠ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．
同类型拷贝：
【例2】已知：如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F．
求证：BP为∠MBN的平分线．

二、沿角分线，碰直角构等腰
例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC）

。
例2． 已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。

同类型拷贝：
如图，已知△ABC中，CE平分∠ACB，且AE⊥CE，∠AED＋∠CAE＝180度，求证：DE∥BC

A
C
D
E
B

例3．已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BF⊥AD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。求证：AM=ME。

提示：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。
例4 已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。求证：AM=（AB+AC）
分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=EC，另外由求证的结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。

例5．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．
求证：AD=CD+AB．

三、 以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。

 四：习题
1、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＋∠ABC＝180度，CE⊥AD于E，猜想AD、AE、AB之间的数量关系，并证明你的猜想，
E
B
A
C

D

2．如图，□ABCD中，E是DC上一点，F是AD上一点，AE交CF于点O，且AE=CF.
求证：OB平分.

D
E
C
B
O
F
A

提示：△ABE的面积=△BFC的面积。
3．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD
A
E
B
D
C

4.如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

5.如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。
1
2
A
C
D
B

6.已知：四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=AB＋CD．

A
B
C
D
E
1
2
3
4

7.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD 的中点，F为BC 上的点，∠FAE=∠DAE。求证：AF=AD+CF。

8.已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE
9.已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CD>AB+AC。
10．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD⊥OA， 如果PC=4，则PD=（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1

11．已知：如图 ∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，AE=（AB+AD）.求证：∠D+∠B=1800

12 已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE于E，连接DE，求DE。
13.已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=BC

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