线性代数矩阵的秩.ppt

第六第六节节 矩矩阵阵的秩的秩一一:矩矩阵阵秩的概念秩的概念任意取出k个行和k个列，定定义义1 在一个矩阵A中，位于这些行及列的交叉处的元素按原来的位置组成一个k阶行列式，称其为矩阵A的一个k阶阶子式子式。例例:矩阵1.取A的1、2、3行和A的1、2、4列得到A的一个3阶子式为取A的1、2、3、4行和A的1、2、3、4列得到A的一个4阶子式为注注 对一个矩阵显然有个k阶子式一共有2.定定义义2：矩阵A的不等于零的子式的最高阶数称为A的秩秩，并规规定零矩定零矩阵阵的秩是零。的秩是零。记作秩为R(A)，例矩阵A的所有4阶子式全为0（为什么？）有一个3阶子式不为0，故 R(A)=33.注：注：（1）事实上矩阵A是阶梯形矩阵，它的秩等于其非零行的个数。这对一般的阶梯形矩阵也成立。（2）矩阵秩显然有即一个矩阵的秩肯定小于等于矩阵行数和列数的最小者（3）A中所有所有r+1阶子式全为零A中所有大于r阶子式全为零A中有一个一个r阶子式不为零4.例例1 求矩阵A的秩，已知解解:首先考查A的最高阶子式(这里为4阶且只有一个)即故n阶方阵A可逆的充分必要条件是秩定理定理1R(A)=n当n阶方阵A的秩为n时，也称A为满满秩矩秩矩阵阵，否则称A为降秩矩降秩矩阵阵。注注(2)n阶方阵A不可逆(1)n阶方阵A秩为n(3)n阶方阵A不可逆5.证明不等式例例 3设A，B都是型矩阵，令例例2 试证对任意矩阵A，总有6.定理定理2矩阵经初等变换后其秩不变先证明:若 A 经一次初等行变换变为B,有证证明明:A BA B,则则 R R(A A)=R=R(B B).即R(A)R(B).设 R(A)=r,则 A 有某个 r 阶子式记为当或时,相对应的r 阶子式则在 B 中总能找到与因此从而二：利用初等二：利用初等变换变换求矩求矩阵阵的秩的秩且(1)满足7.当时,(2)由于对换时结论成立,这一特殊情况.（）（）若含第A第1行,这时也是B 的r阶非零子式,故不含第A第1行,则若也是B的r阶子式,由知与不同时为0.总之B 中存在的r阶非零子式或,故只需考虑故8.以上证明了若 A 经一次初等行变换变为 B,则R(A)R(B).由于 B 亦可经一次初等行变换变为A故也有 R(B)R(A).行变换矩阵的秩仍不变.因此 R(A)=R(B).经一次初等行变换矩阵的秩不变,即可知经有限次初等故矩阵经初推推论论1 一个矩阵的阶梯形中非零行的个数就是原矩阵的秩。为了计算矩阵A的秩，只要用初等行变换把A变成阶梯形即可。对列变换同理可证明.等变换后其秩不变9.例例3 求矩阵A的秩，已知解解:法二法二故10.例例4已知阶方阵求解解:。（1）时若若则则（2）时若则若则11.