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装 备 环 境 工 程 第 21 卷 第 3 期 16 EQUIPMENT ENVIRONMENTAL ENGINEERING 2024 年 3 月 收稿日期：2023-10-11；修订日期：2023-11-27 Received：2023-10-11；Revised：2023-11-27 基金项目：中国航天科技集团公司第八研究院产学研合作基金 Fund：Industry University Research Cooperation Fund of the Eighth Research Institute of China Aerospace Science and Technology Corporation 引文格式：汤杰,张研,王者蓝,等.基于竞争失效的导弹机电产品可靠性评估J.装备环境工程,2024,21(3):16-23.TANG Jie,ZHANG Yan,WANG Zhelan,et al.Reliability Assessment of Missile Electromechanical Products Based on Competitive FailureJ.Equipment Environmental Engineering,2024,21(3):16-23.*通信作者（Corresponding author）基于竞争失效的导弹机电产品可靠性评估 汤杰1，张研2，王者蓝1，陈洋1，赵凡1，姚军2*（1.上海航天精密机械研究所，上海 201600；2.北京航空航天大学 可靠性与系统工程学院，北京 100083）摘要：目的目的 解决导弹机电产品退化-突发竞争失效模式下的可靠性评估问题。方法方法 对导弹典型机电产品电机进行贮存失效分析，同时考虑双参数退化失效和突发失效对电机贮存可靠性的影响。首先，以具有随机效应的非线性 Wiener 过程描述电机贮存退化失效过程中的非线性、随机性和样本差异性。然后，采用 Weibull分布描述突发失效过程规律，并考虑退化程度对突发失效的影响。最后，利用 Copula 函数刻画退化性能参数之间的相互作用关系，建立双参数退化-突发竞争失效模型，并给出基于两步极大似然估计的参数估计方法。结果结果 以仿真导弹电机退化突发失效数据为例进行分析，实现了基于双参数退化-突发竞争失效模型的系统可靠性评估，得到电机贮存 5 a 时的可靠度估计值为 0.465。结论结论 所构建的双参数随机退化与突发失效相关的竞争失效模型有效，为导弹机电产品可靠性验证评估及寿命预测提供了相应的理论依据。关键词：竞争失效；多参数退化；随机效应 Wiener 过程；Copula 函数；机电产品；可靠性评估 中图分类号：TJ760 文献标志码：A 文章编号：1672-9242(2024)03-0016-08 DOI：10.7643/issn.1672-9242.2024.03.003 Reliability Assessment of Missile Electromechanical Products Based on Competitive Failure TANG Jie1,ZHANG Yan2,WANG Zhelan1,CHEN Yang1,ZHAO Fan1,YAO Jun2*(1.Shanghai Spaceflight Precision Machinery Institute,Shanghai 201600,China;2.School of Reliability and Systems Engineering,Beihang University,Beijing 100083,China)ABSTRACT:The work aims to address the reliability assessment problem of missile electromechanical products under the de-gradation-traumatic competitive failure mode.The storage failure analysis of typical missile electromechanical products was carried out,and the effect of multivariate degradation failure and traumatic failure on the storage reliability of the motor was considered.Firstly,a nonlinear,stochastic,and sample-specific degradation failure process in electromechanical products was described by a nonlinear Wiener process with random effects.Secondly,the Weibull distribution was adopted to describe the pattern of traumatic failure process,taking into account the effect of degradation level on traumatic failure.Finally,the copula function was used to describe the interaction relationship between the degradation performance parameters and a multivariate degradation-traumatic competitive failure model for electromechanical products was established.A parameter estimation me-第 21 卷 第 3 期 汤杰，等：基于竞争失效的导弹机电产品可靠性评估 17 thod based on two-step maximum likelihood estimation was given.Taking simulated missile motor degradation and sudden failure data as an example,the system reliability assessment based on the multivariate degradation-traumatic competitive failure model was implemented,and the estimated reliability value of this product after 5 years of storage was 0.465.The constructed dual-variable stochastic degradation and traumatic failure competitive failure model is effective,providing a theoretical basis for reliability verification,assessment and lifespan prediction of missile electromechanical products.KEY WORDS:competitive failure;multivariate degradation;Wiener process with stochastic effect;Copula function;electro-mechanical products;reliability assessment 导弹机电产品在库房贮存、运输检修、战备值班中受到高温、高湿、振动等环境应力的联合作用，通常具有多种耦合相关失效机理和产生多种失效模式。导弹舵机电机作为将电信号转变为机械运动的关键部件，其性能好坏直接关系导弹的运行姿态和轨迹。在导弹的长期贮存过程中，电机电枢绕组材料老化会导致电机整体工作性能逐步下降，甚至失效。同时，可能出现电机轴承一次性冲击断裂等机械故障，即发生突发失效。通常情况下，电机在贮存期间发生的失效是退化失效和突发失效之间的竞争失效，建立电机贮存可靠性评估模型需要综合考虑性能退化参数相关退化问题，以及退化失效与突发失效竞争的问题1。常用的退化分析方法包括退化轨迹法2-4、退化量分布法5-6及基于随机过程7-9的方法。其中，基于随机过程的方法能够较好地描述退化过程的随机性和动态性，被广泛应用于工业工程领域10。考虑到工程实际中设备退化的非线性特征，Whitmore 等11提出了考虑时间尺度变换的维纳过程退化模型。为了描述同类设备之间的个体性能退化差异，Peng 等12首次将漂移系数看作一个正态型随机变量，建立了考虑随机效应的线性维纳退化模型。文献13提出了一个基于广义非线性 Wiener 过程的加速退化模型，并假设漂移系数和扩散系数都与加速应力有关，实现了首达时分布的近似解析解。文献14针对加速应力下产品二元相关退化问题，提出了一种基于贝叶斯方法的随机相关可靠性评估方法。文献15针对飞机液压泵多失效机理的问题，提出了基于 Copula 函数和贝叶斯马尔可夫链蒙特卡罗法的二维性能退化可靠性评估方法。文献16考虑了致命冲击和非致命冲击对退化过程的影响，基于时变 Copula 函数建立了可靠性模型。同时，近年来，已有大量文献对竞争失效理论和建模问题开展了相关研究。文献17针对船用柴油机气缸套，采用随机过程和 Weibull 分布建立了磨损退化和热力学损伤之间的竞争失效模型，并基于磨损和故障数据进行了拟合优度测试和参数估计。文献18利用状态空间模型，将多个关键部件性能参数转化为系统退化程度，采用多个随机过程模型对系统退化程度数据进行了拟合。文献19采用贝叶斯线性模型融合性能监测参数，利用退化轨迹模型描述了退化率变化趋势，对航空发动机剩余寿命进行了预测，但难以适用于多个参数与退化量之间的非线性关系。文献20采用多元正态分布函数对多元性能参数相关退化过程进行了建模，该方法要求性能参数均服从正态分布。文献21考虑多失效模式独立竞争失效，提出了一种基于不平衡数据的竞争失效可靠性评估方法。文献22针对同时暴露于退化和冲击载荷的复杂多部件，系统建立了一种竞争失效模型。然而，目前为止，同时考虑参数之间的相关性退化问题，以及退化失效与突发失效相关竞争问题的研究较少，尚未满足装备实际工程应用的要求。本文建立了基于具有随机效应的非线性 Wiener 过程的单一性能参数退化过程，更好地适应导弹电机贮存退化过程中的非线性和样本差异性特征。同时，采用 Weibull分布建立了突发失效模型，并量化退化失效对突发失效的影响。最后，针对导弹电机多失效模式的特点，利用 Copula 函数建立了多元性能退化模型，提出基于退化数据和失效数据的竞争失效可靠性评估方法，并利用本文方法对某型导弹电机进行了竞争失效分析，证明了本文所提方法的正确性。1 基于非线性随机效应 Wiener 过程的退化失效建模 具有漂移参数和扩散参数(0)的 Wiener过程定义为：X ttB t(1)其中，B(t)为标准 Brown 运动函数，具有如下 3个性质：B(0)=0，且,B t ；平稳独立增量，即 0,B ttB tNt；0,B tNt。在式（1）中，产品的性能退化被认为是关于 t的线性函数。当性能退化过程不是线性时，时间尺度的单调变化可以将其变换成为线性过程，可以将变换后的时间表示为11：=,t q (2)其中，变换满足初始条件(0)0。在本文中，qt，其中q是一个正参数，故一个时间尺度变换的 Wiener 过程可以表示为：,X tt qBt q (3)针对退化试验中发现不同产品的退化路径存在18 装 备 环 境 工 程 2024 年 3 月 差异的问题，通过在Wiener过程模型中引入随机效应，来描述不同产品之间存在的这种异质性。将漂移系数进行随机化处理，假设是一个服从正态分布的随机变量，得到具有随机效应的非线性Wiener过程模型：2,X tt qBt qN (4)假设产品的退化路径如式（4）所示，给定固定的失效阈值，当产品性能退化量()X t首次达到时，认为产品发生退化失效，产品的退化寿命Ts定义为：sinf|Tt X t(5)利用连续型随机变量的全概率公式，推导性能退化过程的概率密度函数和分布函数分别为23：222222|,d12,exp2,X tfxf xgt qt qxt qt qt q (6)22,X txt qFxt qt q (7)式中：为标准正态分布函数。经过推导，单一性能退化量基于具有随机效应的非线性Wiener过程的退化失效模型的寿命概率密度函数及累积分布函数分别为12：2T322222,exp2,ftt qt qt qt qt q(8)T2222224222222,22exp2,t qFtt qt qt qt qt qt q (9)2 受性能退化程度影响的突发失效建模 Weibull分布在描述产品寿命分布方面具有良好的适应性，尤其适用于寿命分布呈现复杂特征的机电一体化产品18,24。导弹电机在贮存期间存在轴承一次性冲击断裂等突发失效模式，本文假设导弹电机突发失效时间服从双参数Weibull分布，并且认为突发失效概率不仅与时间t有关，还与绕组材料性能退化程度有关。假设Weibull分布形状参数m与性能退化特征参数1()x t、2()x t无关，尺度参数随着1()x t、2()x t增大而递减，并假设其关系为12()()a x tb x t，a、b为常数，则受性能退化程度影响的突发失效时间分布密度函数与可靠度函数表达为：h1211212|,exp,mmmft x txtmttx txtx txt(10)h1212|,exp,mtRt x txtx txt(11)其中：1212,abx txtx txt(12)记Th为产品发生突发失效的时间，产品t时刻的突发失效概率为：h12h12h1212|,|,1|,1 exp,mFt x txtP Tt x txtRt x txttx txt(13)若不考虑突发失效与退化失效之间的相关性，产品在t时刻的突发失效概率为：hhh11 expmtFtP TtRt (14)3 双参数相关退化-突发竞争失效建模 3.1 基于 Copula 函数的双参数相关退化失效建模 目前研究人员对于退化的研究主要集中在单个性能特征或部件失效机制级别上，并分析其退化过程和影响，这种研究方法的优点是能够深入理解特定性能特征或部件失效机制的退化规律和影响因素。然而，这种方法也存在局限性，因为导弹机电产品等复杂系统、设备或部件的退化往往涉及多个性能特征和失效机制，需要更加综合和细致地分析多个性能特征和失效机制的退化过程。相比单参数退化模型，双参数退化模型同时考虑2个退化特征参数，可以更全面地了解系统或设备的退化状况。如电机绕组材料的退化状态可以通过匝间短路I/F值和对地绝缘阻值2个性能特征参数进行综合评估。因此，本文以双参数退化失效过程为例进行建模分析。假设产品有2个可以表征退化程度的退化性能指 标，产 品 在t时 刻 所 对 应 的 性 能 退 化 值 记 为(),1,2kXt k，(0)0,1,2kXk，且所对应的失效阈第 21 卷 第 3 期 汤杰，等：基于竞争失效的导弹机电产品可靠性评估 19 值分别为固定值k。退化路径均服从非线性随机效应Wiener退化过程：2,kkkkkkkkXtt qBt qN (15)当产品任一性能退化量()kXt达到预先设定的失效阈值k，即()kkXt时，认为产品退化失效，单一性能退化量对应的失效时间kT为：inf|()kkTt Xt(16)假设这2个性能退化参数是相关的，本文选择能 够有效描述多维随机变量依赖关系的Copula函数获得双参数联合分布的估计。若假设已知2个性能退化值的边缘分布函数1()1()XtFx和2()2()XtFx，根据Sklar定理，若12(,)H x x是边际分布1()1()XtFx和2()2()XtFx的联合分布函数，则存在一个Copula函数C使得对于所有定义范围内的12(,)x x有：1212()1()2,XtXtH x xC FxFx(17)阿基米德族Copula是Copula函数的常见具体形式之一，包括Clayton Copula、Frank Copula和Gumbel Copula等3种函数形式25-26，见表1。表 1 典型阿基米德 Copula 函数 Tab.1 Typical Archimedean Copula function 函数类型,;C U V Kendall 相关系数 Clayton 1/1UV 0,2 Frank 1/e1 e11ln 1e1UV(,0)(0,)()114D 01()de1ttDt Gumbel 1/explnlnUV 1,)11 假设对N个产品的k个性能退化参数进行了退化观测，每个产品均进行M次检测，且每,i jt时间记 录 一 次 数 据，所 获 得 观 测 数 据 可 以 记 为,1,2;1,;1,k i jXxkiNjM，其中,k i jx表示第i个样本在,i jt时刻的第k个退化观测值。考虑第i个产品2个性能特征参数在同一时间间隔内退化增量值1,i jx和2,i jx的联合分布为：1,2,1,2,i ji ji ji jHxxCUU(18)其中：,1,22,k i jkk i ji jkkk i jk i jxU(19)退 化 增 量,1k i jk i jk i jxxx，时 间 增 量,1,1(,)(,)kkqqk i ji jki jki ji jtqtqtt。2个关键性能特征参数中，任何一个参数的退化失效都会导致系统的退化失效，采用Copula函数对退化竞争失效过程进行建模，t时刻的双参数退化竞争失效概率可表示为：1212sss1122()1()212 1,1|,|;1,;XtXtF tP TtTtP XtXtC FtFtC R tRt(20)式中：1sT和2sT分别为2个关键性能特征量的退化失效时间；1()R t和2()R t分别为2个关键性能特征量的可靠度；为Copula函数参数。如果这2个性能特征参数是独立的，那么产品的退化失效概率表示为：s121F tR tRt (21)3.2 退化-突发失效相关的竞争失效建模 当产品的失效呈现退化与突发失效模式竞争失效时，如果需要产品保持正常工作，则包括突发失效和退化失效在内的任一失效模式都不能出现。如导弹电机的电枢绝缘绕组和轴承在功能上具有串联关系，电机系统的实际失效由最早出现的部件失效模式决定。综合式（13）和式（21），可得系统的可靠度表达式为：12sshsh12,|,R tP Tt Tt TtR tRt x txt(22)4 参数估计 4.1 基于两步极大似然的退化模型参数估计 所建立的双参数退化失效模型中，待求解的未知参数为s,kkkkq ，由于待估参数较多，分为两步求解模型未知参数：Step 1：根据样本观测数据进行极大似然估计得到,kkkkq ；Step 2：根据已求解的参数计算边缘分布函数值，并估计Copula函数未知参数。假设已获得观测数据,1,2;1,k i jXxki 20 装 备 环 境 工 程 2024 年 3 月 ;1,N jM，根据式（6）基于具有随机效应的非线性Wiener过程对单个性能参数退化过程进行建模，其似然函数为：,2211,2,22,1|2exp2NMkk i jkijkkk i jk i jk i jkk i jkkk i jk i jLxx(23)对式（23）中的k进行一阶求偏导，并令：,ln|0lnkk i jkkLx(24)得到k的极大似然估计：,2211,2211,NMk i jijkkk i jkNMk i jijkkk i jx(25)将式（25）代入式（23），得到关于kkkq、的对数似然函数。采用Matlab中的fmincon函数对似然函数最小化以搜寻最优解，得到kkkq、。再将求得的kkkq、代入式（23），即可求出k。最后，根据已知参数和式（9）求出寿命累积分布函数值，并作为Copula边缘函数值。根据AIC准则，选取最优Copula函数，对式（26）进行极大似然估计，最终求解Copula函数中参数估计值。co1,2,1,2,11,;NMi ji ji ji jiiLUUcUU(26)4.2 突发失效模型参数估计 假设观测过程中有n个样本分别在12,nt tt时刻发生突发失效，对应的性能退化量为12(),(),kkx tx t(),1,2knx tk。将突发失效模型未知参数集合记为h,a b m，根据式（10），受性能退化程度影响的突发失效模型似然函数见式（27），采用极大似然估计法对未知参数进行估计。1111212;,(),exp(),()nhiinmimiiimiiiL tf t a b mmtx txttx tx t(27)其中：1212,iiiiabx txtx txt(28)5 仿真案例分析 本节通过数值仿真实验验证所提模型的有效性。假设某型导弹电机经历了100个月的贮存，贮存期间每个月进行一次定期测试，测试退化数据包括绕组材料对地绝缘阻值退化值1()X t和匝间短路I/F值2个性能特征参数2()Xt，分别得到相对于测量初值的退化增量百分比数据，具体参数设置为0.001,0.01k，0.005,0.02k，0.05,0.2k，=2,1.5kq，20，采样间隔1t。以对地绝缘阻值退化量增至测量初值的4.8%或匝间短路I/F值退化量增至测量初值的5%为失效阈值，即1=4.8及2=5.0，共仿真10个样品的1()X t和2()Xt测试数据，其退化平均值如图1所示。同时，根据9m，75的Weibull分布仿真得到电机突发失效数据。8个样本分别在贮存70、82、63、78、50、75、82、66个月时发生突发失效，其对应的性能退化量 12,XtXt分别为1.263,3.681，1.791,6.221，1.107,4.251，1.474,5.101，1.050,2.529，1.145,4.711，1.322,5.096，1.120,4.502。图1 样品性能退化量仿真数据平均值 Fig.1 Average value of degradation performance indicators data for simulated sample 利用本文所建立的多元退化竞争模型和极大似然估计方法，估计退化模型中的未知参数，可得边缘分布中各参数的估计结果，见表2。表 2 二元相关退化模型参数估计结果 Tab.2 Estimation results of parameters for bivariate correlated degradation model q 1()X t 0.001 1 0.005 0.057 1.952 6 2()Xt 0.011 7 0.023 0.243 1.826 4 对Copula函数中的参数进行估计，使用3种常见Copula函数模型，参数的估计值、Kendall系数值、对数似然函数值（log-LF）以及AIC准测计算结果见表3。从表2可知，Clayton Copula模型对应的AIC结果最小，原始数据的Kendall秩相关系数为0.918，与Clayton Copula模型的秩相关系数更为接近。综上所述，利用Clayton Copula二元函数描述2个性能退化特征之间的相关关系是最佳选择，获知两性能退化参第 21 卷 第 3 期 汤杰，等：基于竞争失效的导弹机电产品可靠性评估 21 数所表征的退化寿命累积概率函数11()F X和22()F X之间的相关性变化规律，如图2所示。表 3 Copula 函数参数估计结果 Tab.3 Estimation results of Copula function parameters 函数类型 log-LF AIC Clayton 19.16 0.9055631.68 12.653 5Frank 19.95 0.816 1 711.66 34.253 2Gumbel 18.504 0.946 1 644.95 32.919 0 图2 退化寿命CDF相关性变化规律 Fig.2 Patterns of correlation in the CDF of degradation life 基于双参数相关退化模型的可靠性评估结果（如图3所示），对其中的曲线进行分析。可靠度为0.8时，采用具有随机效应的非线性Wiener过程对第一个性能参数退化过程进行建模得到的贮存寿命为9.26 a，对第二个参数退化过程建模得到的贮存寿命为6.53 a。基于本文构建的基于非线性随机效应Wiener过程，双参数相关退化模型得到的产品寿命为6.37 a，不考虑参数的相关性时，得到的贮存寿命为6.34 a。案例分析结果表明，基于性能参数独立退化模型的可靠度评估结果比相关退化模型可靠度评估结果更为保守，即对性能参数的独立性假设可能会低估产品的可靠性，且参数之间的相关程度越高，可靠性低估可能越明显。图3 基于双参数相关退化模型的可靠性评估结果 Fig.3 Reliability assessment result based on bivariate correlated degradation model.利用Matlab中的fminsearch函数对式（27）突发失效模型的极大似然函数进行最大化，最终得到参数估计值为：h121.51999.99,5,a b m(29)结合性能退化数据，得到如图4所示的突发失效可靠度函数曲线。产品贮存5 a时，受性能退化程度影响的突发失效可靠度为0.49，不受性能退化程度影响的突发失效可靠度为0.8。可以得出结论，所建立性能退化程度影响的突发失效模型能够有效描述退化失效与突发失效之间的相关性问题，忽略其相关性会降低可靠性评估的准确性。根据式（22），得到此型导弹电机贮存5 a时，基于双参数相关退化-突发失效竞争模型的预测可靠度为0.465。图4 基于突发失效模型的可靠性评估结果 Fig.4 Reliability assessment results based on traumatic failure model 6 结语 导弹机电产品的贮存失效是退化失效和突发失效竞争的结果，本文以导弹舵机电机为对象，研究了导弹机电产品竞争失效特性，对双参数相关退化失效与退化-突发竞争失效开展了研究，建立了竞争失效预测模型，实现了对导弹机电产品贮存可靠性的评估研究，得到以下结论：1）本文充分考虑了导弹电机在退化过程中表现出的非线性和样本差异性特征，利用具有随机效应的非线性Wiener过程描述产品退化过程，能较好地拟合各参数的退化特征。同时，本文借助Copula函数定量分析了多元退化失效过程中各个性能特征参数之间的相关关系，利用AIC准则选取了最优Copula函数，解决了传统参数独立退化模型忽略参数退化相关性导致的系统可靠性被低估的问题。2）本文考虑了退化失效对突发失效的影响，引入了Weibull分布对其进行刻画，并基于仿真案例数据与不考虑退化失效影响的突发失效可靠度进行了对比。结果表明，不考虑退化失效的影响时，高估了22 装 备 环 境 工 程 2024 年 3 月 产品突发失效可靠性。然后基于上述退化失效模型和突发失效模型，建立了导弹机电产品双参数退化-突发竞争失效预测模型，并采用两步极大似然估计法对模型参数进行估计，能够较好地克服传统极大似然估计法的局限性，丰富了多元相关退化量可靠性建模理论。3）本文以仿真导弹电机数据为研究实例，应用所建立竞争失效模型进行可靠性评估，得到导弹电机贮存5 a时贮存可靠度为0.465，验证了本文建立模型的合理性和有效性，相比传统单一失效模式可靠性评估模型更加符合工程实际，为导弹机电产品的可靠性评估和寿命预测提供了一定的理论指导。在后续研究中，将进一步探讨如何基于上述竞争失效模型开展加速贮存试验研究，为导弹贮存定寿和延寿提供技术支撑。参考文献：1 王浩伟,滕克难,李军亮.随机环境应力冲击下基于多参数相关退化的导弹部件寿命预测J.航空学报,2016,37(11):3404-3412.WANG H W,TENG K N,LI J L.Lifetime Prediction for Missile Components Based on Multiple Parameters Cor-relative Degrading with Random Shocks of Environmen-tal StressesJ.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2016,37(11):3404-3412.2 DE OLIVEIRA V R B,COLOSIMO E A.Comparison of Methods to Estimate the Time-to-Failure Distribution in Degradation TestsJ.Quality and Reliability Engineering International,2004,20(4):363-373.3 YACOUT A M,SALVATORES S,ORECHWA Y.De-gradation Analysis Estimates of the Time-to-Failure Dis-tribution of Irradiated Fuel ElementsJ.Nuclear Tech-nology,1996,113(2):177-189.4 GEBRAEEL N,ELWANY A,PAN J.Residual Life Pre-dictions in the Absence of Prior Degradation Know-ledgeJ.IEEE Transactions on Reliability,2009,58(1):106-117.5 HUANG W,DIETRICH D L.An 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