报童卖报问题.doc

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报童卖报问题

问题描述： 某报童以每份0.03元的价格买进报纸,以0.05元的价格出售. 根据长期统计,报纸每天的销售量及百分率为
销售量
200
210
220
230
240
250
百分率
0.10
0.20
0.40
0.15
0.10
0.05
已知当天销售不出去的报纸，将以每份0.02元的价格退还报社.试用模拟方法确定报童每天买进报纸数量,使报童的平均总收入为最大?
1. 系统的假设：
（1） 模拟时间充分大；
（2） 报童购买报纸量介于销售量最小值与最大值之间；
（3）不考虑有重大事件发生时卖报的高峰期，也不考虑风雨天气时卖报的低谷期。

2. 问题分析
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
每天购进多少份可使收入最大？
购进太多→卖不完退回→赔钱
购进太少→不够销售→赚钱少
应根据需求确定购进量
每天需求量是随机的→每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入，等于每天收入的期望

3. 符号假设
BUYMIN：每天的最小购买量 BUYMAX：每天的最大购买量
SIMUDAY：模拟时间
sell_amount：报童销售量 buy_amount： 报童购买量
percentage：销售百分率 ave_profit：总平均利润
loop_buy ：当天购买量 loop_day ：当天时间

4.建立模型
调查需求量的随机规律——每天需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2… 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c

求 n 使 G(n) 最大

5. 计算机程序：在Matlab软件包中编程，共需两个Ｍ－文件:main.m, Getprofit.m, 主程序为main.m.
% 主文件main.m：
BUYMIN=200;   %  每天的最小购买量
BUYMAX=250;   %  每天的最大购买量
SIMUDAY=1.0e+5;  % 模拟时间
sell_amount=200:10:250;       % 销售量
percentage=[0.1 0.3 0.7 0.85 0.95 1];  %  百分率
buy_amount=0;
ave_profit=0;
for loop_buy=BUYMIN:BUYMAX
    sum_profit=0;
    for loop_day=1:SIMUDAY
      index=find(percentage>=rand); % 产生随机数，用于决定当天的销售量
      sum_profit=sum_profit+GetProfit(loop_buy,sell_amount(index(1)));
    end
    buy_amount=[buy_amount,loop_buy]; % 循环嵌套
    ave_profit=[ave_profit,sum_profit/SIMUDAY]; % 循环嵌套
end
buy_amount(1)=[]; % 第一个元素置空
ave_profit(1)=[];
[val,id]=max(ave_profit)    % 显示最大平均收入val
buy=buy_amount(id)    % 显示在平均收入最大情况下的每天的购买量buy
xlabel='每天的购买量';
ylabel='平均利润';
plot(buy_amount,ave_profit,'*:');
% 函数GetProfit.m代码：
function re=GetProfit(a,b)
if a<b % 供不应求：报童购买量小于销售量
    re=a*(0.05-0.03);
else % 供过于求：报童购买量大于销售量
    re=b*(0.05-0.03)+(a-b)*(0.02-0.03);
end
运行结果：
val =4.2801 id =21 buy = 220

该结果说明当报童每天买进报纸数量为220，报童的平均总收入为最大，且最大为4.2801。

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