鸡爪定理.doc

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鸡爪定理
1内容
设△ABC的内心为I，∠A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆于K，则KI=KJ=KB=KC。其中KI、KJ、KB、KC组成 的图形形似鸡爪，故形象地称为“鸡爪定理”。
2证明
∠IBJ=1/2∠ABC+1/2（180-∠ABC）=90°
同理∠ICJ=90°所以IBJC四点共圆
而∠IBK=1/2∠B+∠CBK=1/2（∠ABC+∠BAC）=∠BIK
所以BK=IK，同理CK=IK，所以K为△BIC外接圆圆心，又J在圆上，所以BK=CK=IK=JK得证
(I为△ABC的内心的充要条件为△IBC，△ICA，△IAB的外心均在△ABC外接圆上。

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