线性代数第三章向量试题及答案.doc

第三章 向量
1、基本概念
定义1：由n个数构成的一个有序数组称为一个n维向量，称这些数为它的分量。分量依次是a1,a2,¼ ,an的向量可表示成：
，称为行向量，或称为列向量。
请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样(左边是1´n矩阵，右边是n´1矩阵)。习惯上把它们分别(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别)。
一个m´n的矩阵的每一行是一个n维向量，称为它的行向量；每一列是一个m维向量，称为它的列向量，常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A的列向量组为时(它们都是表示为列的形式!)可记A=（ ）。
矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为0的向量称为零向量，通常也记作0。
两个向量a和b相等(记作a=b),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.
2、向量的线形运算

3、向量组的线形相关性
定义2：向量组的线性组合:设是一组n维量,是一组数，则为的线性组合。
n维向量组的线性组合也是n维向量。
定义3：线形表出：如果n维向量能表示成的一个线性组合，即，则称可以用量组线性表示。
判别是否可以用线性表示? 表示方式是否唯一？就是问：向量方程是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以(为增广矩阵的线性方程组。反之，判别“以(为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？的问题又可转化为是否可以用A的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题。
定义4：线性相关：对m个n维向量，若存在一组不全为0的数，使得=0成立，则称向量组线性相关。
包含0向量的向量组肯定线性相关，有相等向量或成比例向量的向量组线性相关，单个向量是0向量时线性相关。
定义5：线性无关：向量组，只有当全为0时，才有=0成立，则称向量组线性无关。
单个向量是非0向量时线性无关。
向量组 “线性相关还是无关”也就是向量方程
=0 有没有非零解（仅有0解）,也就是以为系数矩阵的齐次线性方程组有无非零解（仅有0解）.
定理1： 向量组（线性相关（无关）的充要条件是
向量组中至少有一个（任意一个）向量可由（均不能由）其余m-1个向量线性表出。
定理2：如果向量组线性无关，而向量组
线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一。

若向量组组成的矩阵是方阵，
则方阵的行列式为0.
其中至少存在一个向量可由其余S-1个向量线性表示
，不全为0.
4、向量组的极大无关组和向量组的秩
定义1：设向量组的部分向量组满足条件：（1）线性无关（2）在向量组中任取一个向量，则向量组，线性相关，则称是向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组。
由定义1可知：（1）一个线性无关向量组的极大无关组就是它本身。
（2）向量组中任意一个向量都可由极大无关组线性表示，从而一个向量组与它的极大无关组等价。（3）任一个含有非0向量的向量组总存在极大无关组（4）当一个向量组的所有向量都是0向量时，这个向量组没有极大无关组。
定义2：向量组的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩。
定理1：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相等
定理2：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。
矩阵A的行向量组的秩称为行秩，列向量组的秩称为列秩，一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等,称此数为矩阵A的秩,记作r(A)。
定理3：任意m个n维向量组线性无关的充要条件是这个向量组的秩等于它所含向量的个数。即r()=,或者称他们构成矩阵A的秩r(A)= 。
定理4：任意m个n维向量组线性相关的充要条件是这个向量组的秩小于它所含向量的个数。即r()<，或者称他们构成矩阵A的秩r(A)< 。
推论1：当时，m个n维向量必线性相关。
推论2：任意n个n维向量组线性无关的充要条件是由他们构成的方阵A的行列式不等于0。
推论3：任意n个n维向量组线性相关的充要条件是由他们构成的方阵A的行列式等于0。
推论4：在一个向量组中，如果有一个部分向量组线性相关，则整个向量组也必定线性相关。
推论5：一个线性无关的向量组的任何非空部分的部分向量组也必定线性无关。
推论6：若m个n维向量组线性无关，则将期每个向量添加r个相应分量所组成的n＋r维向量组也线性无关。
推论7：若m个n 维向量组线性相关，则将其每个向量去掉n-r个相应分量所组成的r维向量组也线性相关。
例 题
一、向量的行列式计算
1.已知，，，均为4维列向量，若4阶行列=a，，那么4阶行列=
解：

，所以
2.均为4维列向量，已知
，则
解:
3.设均为3维列向量，记矩阵，
，如果，那么

3.已知A是3阶矩阵，，是3维线性无关的列向量，若A=，A=+，A=+(1) 求行列式
(2) 求作矩阵B，使得
解：所以
4.设A是矩阵，B是矩阵，则
A 当m>n时，必有行列式0 B 当m>n时，必有行列式=0
C 当n>m时，必有行列式0 D 当n>m时，必有行列式=0
解：当，=0
5.设A为n阶矩阵，则行列式=0的必要条件是 B
（A）A的两行元素对应成比例（B）A中必有一行（列）为其余各行(列)线性组
（C）A中有一列元素全为0 （D）A中任一列均为其余各列的线性组合
二、向量的线性相关性
1.设, 则
k = ______时，a1, a2, a3, a4线性相关。
解：考察行列式

= 13k +5 = 0。
2.a,b,c满足什么条件时向量组 =(a,0,c),a=(b,c,0),a (0,a,b)线性无关
解：
3.设向量组a1, a2, a3线性无关, 则下列向量组线性相关的是 C
(A) a1 + a2, a2 + a3, a3 + a1 (B) a1, a1 + a2, a1+ a2 + a3
(C) a1－a2, a2－a3, a3－a1 (D) a1 + a2, 2a2 + a3, 3a3 + a1
4.设 a1, a2, a3 线性无关，则下列向量组线性无关的是：C
(A) a1 + a2, a2 + a3, a3 - a1 (B) a1 + a2, a2 + a3, a1 +2a2 +a3
(C) a1 +2 a2, 2a2 + 3a3, 3a3 + a1 (D) a1+ a2 + a3 2a1-3a2 + 22a3 3a1+ 5a2 -5a3
5.设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是A
（A）若线性相关，则线性相关.
（B）若线性相关，则线性无关.
（C）若线性无关，则线性相关.
（D）若线性无关，则线性无关.

6. 设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是：
(A) . (B) . (C) . (D) .
方法一：令 ，则
，由于线性无关，于是有
当时，显然有，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选(B).
方法二： 由于 ，
可见，线性无关的充要条件是
7.设向量组a1, a2, a3线性无关, 问常数a, b, c满足什么条件
aa1－a2, ba2－a3, ca3－a1线性相关.
解：假设
得
因为a1, a2, a3线性无关, 得方程组
当行列式 时, 有非零解. 所以 时,
aa1－a2, ba2－a3, ca3－a1线性相关.
或者：aa1－a2, ba2－a3, ca3－a1
当行列式 ，，aa1－a2, ba2－a3, ca3－a1线性相关。
8.AB =0,， A、B是两个非零矩阵，则
(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。
(B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关。
(C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关。
(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。
分析：A,B的行列向量组是否线性相关，可从A,B是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论。
解一：设A为矩阵，B 为矩阵，则由AB=O知，
又A,B为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)<n, r(B)<n, 即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，故应选(A).
解二：由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，而B为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A的列向量组线性相关。
同理，由AB=O知，，于是有的列向量组，从而B的行向量组线性相关，故应选(A).
10.若n维向量组线性相关，判断下列向量组的线性相关性
（1） (2)
11.设向量组 (I):;
(II):, (A) (I)相关Þ(II)相关 (B) (I)无关Þ(II)无关
(C) (II)无关Þ(I)无关 (D) (I)无关Û (II)无关
推论4：在一个向量组中，如果有一个部分向量组线性相关，则整个向量组也必定线性相关。
推论5：一个线性无关的向量组的任何非空部分的部分向量组也必定线性无关。
推论6：若m个n维向量组线性无关，则将期每个向量添加r个相应分量所组成的n＋r维向量组也线性无关。
推论7：若m个n 维向量组线性相关，则将其每个向量去掉n-r个相应分量所组成的r维向量组也线性相关。
，
三、向量的线性表示
1.当k = ___时, 向量b = (1, k, 5)能由向量线性表示。
解： 考察行列式
得k =－8. 当k =－8时， 可用线性表示。
2.设b, a1, a2线性相关, b, a2, a3线性无关, 则
(A) a1, a2, a3线性相关 (B) a1, a2, a3线性无关
(C) a1可用b, a2, a3线性表示 (D) b可用a1, a2 线性表示
解：因为b, a1, a2线性相关, 所以b, a1, a2, a3线性相关. 又因为b, a2, a3线性无关, 所以a1可用b, a2, a3线性表示. (C)是答案.
3.设向量组a1, a2, a3线性相关, 向量组a2, a3, a4线性无关, 问
（1）a1能否由a2, a3线性表出? 证明你的结论;（2）a1能否由a2, a3,a4线性表出? 证明你的结论;（3） a4能否由a1, a2, a3线性表出? 证明你的结论
解：（1）a1不一定能由a2, a3线性表出. 反例: , , . 向量组a1, a2, a3线性相关, 但a1不能由a2, a3线性表出;
（2）因为a1, a2, a3 线性相关，所以a1, a2, a3, a4 线性相关，又因为a2, a3, a4线性无关， ，所以a1能由a2, a3,a4线性表出。
（3）a4不能由a1, a2, a3线性表出.，因为a1, a2, a3线性相关，
，，
4.设有三维向量, ,, 问k取何值时
（1）b可由a1, a2, a3线性表示, 且表达式唯一; （2）b可由a1, a2, a3线性表示, 但表达式不唯一;（3） b不能由a1, a2, a3线性表示.
解：
（1）时, a1, a2, a3线性无关, 四个三维向量一定线性相关, 所以b可由a1, a2, a3线性表示, 由克莱姆法则知表达式唯一。
（2）当k = 1 时
. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以所以b可由a1, a2, a3线性表示, 但表示不惟一。
（3）当时
.
系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以所以b不能由a1, a2, a3线性表示.
5.设=(1+λ，1，1)，=(1，1+λ，1)，=(1，1，1+λ)，b=(0，λ,λ2)．
① λ为何值时，可用a1, a2, a3线性表示，并且表示方式唯一？
②λ为何值时，可用a1, a2, a3线性表示，并且表示方式不唯一？
③ λ为何值时，不可a1, a2, a3用线性表示？
解：

所以当时，可用a1, a2, a3线性表示，并且表示方式唯一。
当时， 可用a1, a2, a3线性表示，并且表示方式不唯一。
当时
当时，不能用a1, a2, a3线性表示。
6. ，，，
问满足什么条件时可以用a1, a2, a3 线性表示

，
7.
问和取什么值时, 可用a1, a2, a3 线性表示，写出表示式.。

解：当时，，
，可以惟一线性表示。
当时，K取任何值都无解。
8.设=(1,2,-3)，=(3,0,1)，=(9,6,-7)，= (0,1,-1)，=(a,2,1)，=(b，1，0)。已知r(a1, a2, a3)=r(),并且可用a1, a2, a3线性表示，求a,b.
解：
又因为r(a1, a2, a3)=r()=2
，
9.已知可用,…,线性表示，但不可,…,用线性表示。证明
（1）不可用,…,线性表示；
（2）可用,…, 线性表示。
证明：（1）若可以用,…,线性表示，设

由已知可得：

不可用,…,线性表示，同已知相矛盾，所以不可用,…,线性表示；
（2）由已知可得：
若，则可以用,…,线性表示。

所以可用,…, 线性表示。
10． 已知是线性方程组的一个基础解系，若
，，，，讨论实数t满足什么关系时，也是的一个基础解系。
解：

11. ，，其中为实常数，试问满足什么关系时，也是的一个基础解系。
解：

当时，线性无关。
当S为偶数时，，当S为奇数时，
12.

解：设有一组数使得
，是线性方程组的非零解向量，故有

，从而

四、两个向量组的相互线性表示
定义：设有两个n维向量组（）和（）
若向量组（）中每个向量都可由向量组（）线性表示，则称向量组（）可由向量组（）线性表示，若向量组（）与（）可以互相线性表示，则称向量组（）与（）等价。
向量组的等价关系具有下列性质：（1）自反性（2）对称性（3）传递性，即如果向量组可以用线性表示，而可以用线性表示，则可以用线性表示。
向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）
A=（），B=()
定理1：矩阵方程有解的充要条件是
定理2：向量组（）能由向量组（）线性表示的充要条件是矩阵的秩等于矩阵
的秩，
=
推论1：向量组（）和（）等价的充要条件是==
推论2：向量组可由向量组线性表示,且=,则两向量组等价。
推论3：向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.
推论4：若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
推论5：任一向量组和它的极大无关组等价.
推论6：等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。
定理3：设向量组（）的秩为S,向量组（）的秩为r，若向量组（）可由向量组（）线性表示，则
证明：如果可以用 线性表示
Û ==S
. 即。
推论1：设有两个n维向量组（）和（）
若向量组（）线性无关，且可由向量组（）线性表示，则。
推论2：若向量组可由向量组线性表示，且，则向量组线性相关。即如果多数向量能由少数向量线性表出，多数向量一定线性相关。
例题:设向量组I: α1, α2,…, αr可由向量组II：β1,β2,…,βs线性表示，则
(A) 当r<s时，向量组II必线性相关. (B) 当r>s时，向量组II必线性相关.
(C) 当r<s时，向量组I必线性相关. (D) 当r>s时，向量组I必线性相关.
以上重要知识点可简写为：
向量组能由向量组线性表示 有解；

向量组能由向量组线性表示，则；
向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无
关，则；
能由向量组等价
1. 已知向量组及向量组.若可由线性表示，判断这两个向量组是否等价？并说明理由。
解：以向量，为列构成矩阵A，对A作初等行变换，得

可由线性表出，∴即。
当时，继续对A初等行变换，得
∴
即向量组可由线性表出，但不能由线性表出。这是因为秩线性无关，
而秩线性相关，因此这两个向量组与不可能等价。不能由线性表出。
2.求常数a,使得向量组=(1,1,a),a=(1,a,1),a =(a,1,1)可由向量
=(1,1,a), =(-2,a,4), =(-2,a,a)线性表示,但是不可用
a1, a2, a3线性表示.
解：
当时，，，不满足已知条件。
当时，，，不满足已知条件。
当时，，，，
满足已知条件。

3.给定向量组(）=(1,0,2)，=(1,1,3)，=(1,-1,a+2)和(Ⅱ) =(1,2, a+3)，=( 2,1 ,a+6)，=(2,1,a+4)．当a为何值时(Ⅰ)和(Ⅱ)等价? a为何值时(Ⅰ)和(Ⅱ)不等价?

当时，，，
(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示，(Ⅱ)不能用(Ⅰ)线性表示。
时，，，(Ⅰ)和(Ⅱ)可以相互线性表示，因此(Ⅰ)和(Ⅱ)等价。
4.已知n维向量线性无关，若可用线性表出，设
（）=（）C，证明线性无关的充分必要条件是
解：因为，若已知线性无关，
，，，所以。
若，，，所以线性无关。
5.已知n维向量组a,…,线性无关，则n维向量组…, 也线性无
关的充分必要条件为
（A) ,…,可用…, 线性表示
(B) b…, 可用,…,线性表示
(C) ,…,与b…, 等价
(D) ) 矩阵（,…,）和（…, ）等价
解：,…,可用…, 线性表示，可以推出，
（…, ）=(…, ,…,),
已知,…,线性无关，（,…,），
（,…,）(…, ,…,)（…, ）=s
是充分条件，不是必要条件。
B （,…,）=(…, ,…,)
（…, ）(…, ,…,)
非充分，非必要条件。
C （,…,）=(…, ,…,)= （…, ）
是充分条件，不是必要条件。
D 矩阵等价可以用初等变换相互交换，而且秩相同。
总结向量组等价和矩阵等价知识点：
向量组等价 和可以相互线性表示. 记作：
矩阵等价 经过有限次初等变换化为. 记作：
① 矩阵与等价，且同型。
两个矩阵与等价存在m阶满秩矩阵P及n阶满秩矩阵Q，
使得
矩阵与作为向量组等价

作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.
如果两个向量组等价且向量组个数与维数都相等矩阵等价
五、求向量的秩与极大线性无关组
1.已知矩阵A = a·b, 则秩(A) = ______.
解：A = a·b =
或者：
2.已知向量, 且
秩(a1, a2, a3, a4) = 2, 则t = ______.
解：A = (a1, a2, a3, a4)
所以当t = 7时, r (A) = 2.
3.设=(1+a,1,1)，=(1,1+b,1)，=(1,1,1-b)，问a=__,b=__ r(a1, a2, a3)=2
解：因为r(a1, a2, a3)=2，，
，，同理，b取任何数时秩为2.
4.已r(a1, a2, a3)=r(a1, a2, a3, a4)=3,r(a1, a2, a3, a4a5)=4，求r (a1, a2, a3, a4-a5)
解：因为r((a1, a2, a3)=r(a1, a2, a3, a4)=3，所以可以用线性表示，
r(a1, a2, a3, a4a5)=4， r((a1, a2, a3, a5)=4
r (a1, a2, a3, a4-a5)= r (a1, a2, a3, -a5)=4
5.
求它们的一个极大无关组，共有几个?
5题答案： 因为，所以极大无关组一定包含3个向量，且必包含，个。
6.求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余用极大线性无关组线性表示.
.
解：
所以 是极大线性无关组. 由 得方程组
解得 ,
所以
7. 设4维向量组，，
，问a为何值时线性相关，当线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出
，当时

当时

8.设b为4维非零列向量，A = ()，已知方程组Ax = b的通解是，其中k为任意实数(1) 问b能否由线性表示？(2) 求向量组b的一个极大无关组。
解：因为齐次方程组的基础解系为，所以的秩为3.
设b可以由线性表示，即存在，使得：，即是方程组的解，又因为
也是方程组的解，所以两解之差也是方程组的解，但与是线性无关的，出现矛盾，所以b不能由线性表示。
（2）因为有解，所以
又因为是的解，所以，所以向量可由线性表示，即可由线性表示，是方程组的解，即可由线性表示，所以与等价， ，即向量组线性无关，所以是向量组
b的一个极大无关组。
六、向量组的正交规范化
定义1：设有n维向量=(),称数值为向量的长度，记为，即=
若=1，则称为单位向量，，¼¼¼，
，都是n维单位向量，也称它们为n维基本单位向量。
对于任意实数K，可得===，由此可得，当0时，有==1，即为一单位向量，通常以乘以称为向量的单位化或标准化。
定义2：如果向量与的内积为0，即=0，则称与正交。
显然零向量与任何向量都正交。
定义3：如果m个n维非零向量两两正交，即满足=0，，则称向量组为n维正交向量组，简称正交组，如果一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则这个正交向量组称为单位正交向量组或标准正交向量组。
定理1：设是n维正交向量组，则线性无关。
推论：互相正交的n维向量的个数不会超过n。
定理2：矩阵A=为正交矩阵的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组。
补充：若AAT=ATA=E，则称矩阵A是正交矩阵。 （1）A是正交矩阵AT=A-1 （2）A是正交矩阵=1 (3) A是正交矩阵，则AT，A-1也都是正交矩阵，
若 A，B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵。（可用定义证明）
定义4：施密特正交规范化：若是正交向量组，则一定是线性无关向量组，反之则不然，但是从线性无关 出发，可以得到一个与之等价的正交向量组，再将单位化，即可得到与等价的标准正交向量组，这一过程称为向量组的正交规范化。
设是线性无关的向量组，令
， -

….………………………………………

，………………..
容易验证两两正交，再将标准化为，则为标准正交向量组且与向量组等价。
1.（1） 已知矩阵A

求：（1）a,b,c,满足什么条件时，矩阵A的秩为3。
（2）a,b,c,取何值时，A是对称矩阵。（3）取一组a,b,c,使得A为正交矩阵。
解：（1）
（2）
（3），，
，
2.设是实正交矩阵，且，线性方程组的解
解：可逆，正交矩阵的向量组都是单位正交向量组。
3.将向量组，， 单位正交化。
，，
4.将向量组，，单位正交化。

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