第04讲(n维向量、向量组的线性相关性).ppt

练习二答案练习二答案1、2、3、4、4、一般地一般地,n 维维向量向量第第 二二 章章 4 4学时学时一、一、n向量的概念、向量的概念、向量组的线性相关性向量组的线性相关性二、线性相关性的判定、二、线性相关性的判定、向量组的秩向量组的秩2.1 n 维向量维向量&一一一一.n n维向量的概念维向量的概念维向量的概念维向量的概念&二二二二.n n维向量的表示方法维向量的表示方法维向量的表示方法维向量的表示方法&三三三三.向量的线性运算向量的线性运算向量的线性运算向量的线性运算分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，一、一、n 维向量的概念维向量的概念定义定义1 1 由由n个数个数 组成的组成的n元有序元有序数组数组 称为称为n维向量，其中维向量，其中 称为向量的第称为向量的第i个分量个分量(或坐标或坐标)例如例如n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个个分量分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量二、二、n 维向量的表示方法维向量的表示方法 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，（也称为行，（也称为行矩阵）矩阵）通常用等表示，如：通常用等表示，如：维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，（也称为列（也称为列矩阵）矩阵）通常用等表示，如：通常用等表示，如：注意：注意：1行向量和列向量总被看作行向量和列向量总被看作是是两个不同的向量两个不同的向量；2当没有明确说明是行向量当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作还是列向量时，都当作列向量列向量.三、向量的线性运算三、向量的线性运算1、什么叫零向量，负向量，相等向量。、什么叫零向量，负向量，相等向量。0=（0，0，0）；）；两向量相等，即对应分量相等。两向量相等，即对应分量相等。则则 称为称为 的负向量的负向量记作：记作：2、向量的加法、向量的加法设设则定义：则定义：注：注：行向量不能加列向量，不同行向量不能加列向量，不同维数的向量不能相加（减）。维数的向量不能相加（减）。3：数乘向量：数乘向量设设 为一个数，为一个数，则定义则定义向量的加法、减法及数乘向向量的加法、减法及数乘向量统称为量统称为向量的线性运算向量的线性运算。向量线性运算的规律向量线性运算的规律1、交换律：、交换律：2、结合律：、结合律：3、4、5、6、7、8、其中其中 是是n维向量，维向量，是数。是数。线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示2.2 向量组的向量组的线性相关性线性相关性&一一一一.向量组向量组向量组向量组&二二二二.向量组的线性相关向量组的线性相关向量组的线性相关向量组的线性相关性性性性 若干个同维数的列向量（或同维数的若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做行向量）所组成的集合叫做向量组向量组例如例如一、向量组一、向量组称为称为n维单位向量维单位向量。向量组向量组称为称为n维单位向量组维单位向量组二、向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性1 1、线性组合、线性组合则称向量则称向量 是向量组是向量组 的线性组合，的线性组合，或称向量或称向量 能由向量组能由向量组 线性表示。线性表示。即线性方程组即线性方程组例例1 任意一个任意一个n维向量维向量线性表示线性表示.证：证：都可由向量组都可由向量组例例2 已知已知问问 是否可由是否可由 线性表示？线性表示？解：设存在解：设存在 使得使得根据向量的运算法则，得，根据向量的运算法则，得，所以所以 是可由是可由 线性表示，且线性表示，且若线性方程组有解，若线性方程组有解，则则 可由可由 线性表示线性表示 若线性方程组无解，若线性方程组无解，则则 不能由不能由 线性表示线性表示注：注：已知向量组已知向量组和向量和向量判断向量判断向量能否由向量组能否由向量组线性表示线性表示即：找一组数即：找一组数 使得使得根据向量的运算，把上式转化为方程组，根据向量的运算，把上式转化为方程组，定义定义:2、线性相关性与线性无关、线性相关性与线性无关如果上式仅当如果上式仅当k1=k2=km=0时才成立，则称时才成立，则称向量组向量组A线性无关线性无关则称则称向量组向量组A是是线性相关线性相关的；的；定义的注解定义的注解（1）线性相关只要求存在不全为零的数，）线性相关只要求存在不全为零的数，也就是说至少有一个非零。也就是说至少有一个非零。（2）线性无关要求）线性无关要求仅当仅当，也就是说有且只有数零使得等式成立。也就是说有且只有数零使得等式成立。（3）一个向量组不是线性相关就是线性无关。）一个向量组不是线性相关就是线性无关。（4 4）向量组只包含一个向量）向量组只包含一个向量时时,若若=0,=0,则则线性相关线性相关;若若0,0,则则线性无关。线性无关。（5 5）两个向量线性相关的充分必要条件）两个向量线性相关的充分必要条件 是它们的各对应分量成比例是它们的各对应分量成比例.解解令：则只有所以，线性无关。例例3即：讨论讨论n维单位向量组的线性相关性，维单位向量组的线性相关性，解解:令令例例4讨论的线性相关性。即即亦即亦即为三元线性方程组为三元线性方程组.其系数行列式为：其系数行列式为：所以线性方程组所以线性方程组有非有非零解零解,线性相关线性相关.即即3.n个个n维向量所组成的向量组维向量所组成的向量组且且则则:(1)向量组向量组 线性相关的线性相关的充分必要条件为充分必要条件为D=0；(2)向量组向量组 线性无关线性无关的充分必要条件为的充分必要条件为D0.例例5 判断向量组判断向量组是否线性相关是否线性相关.解：解：所以所以线性无关。线性无关。证证令令例例7 已知已知（2）当）当c取何值时？取何值时？线性无关线性无关（1）当）当c取何值时？取何值时？线性无关线性无关解解所以（所以（1）当）当 时，时，线性无关线性无关（2）当）当 时，时，线性相关线性相关例例8 试证任意一四维向量试证任意一四维向量 都可由都可由向量组向量组 线性表示，并且表示法只有一种，线性表示，并且表示法只有一种，写出这种表示法。写出这种表示法。解：解：令令有唯一解有唯一解