第十二章无穷级数A同步测试卷.doc

第十二章 无穷级数同步测试A卷

题 号
一
二
三
总分
得 分

一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1．下列级数中，收敛的是（ ）

2．设为数项级数，下列结论中正确的是（ ）
，级数绝对收敛.
，级数发散.
，级数绝对收敛.
，级数条件收敛.
3．已知幂级数的收敛半径，则对幂级数而言，下列的值不能确定收敛或发散的是（ ）

4. 设常数，则级数（ ）.
发散. 条件收敛. 绝对收敛. 收敛性与有关.
5. 周期为的函数，在一个周期上的表达式为，设它的傅里叶级数的和函数是，则（ ）.

二、填空题(每小题4分，共20分)
6. 级数的和为 .
7. 幂级数的收敛半径为 .
8. 已知级数，则级数 .
9．将展开为的幂级数时，其收敛域为 .
10．将展开为余弦级数时， .

三、解答题(共65分)
11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在.
因为，因此取得.
12. （8分）讨论级数的敛散性.
13. （8分）求级数的和函数.
14. （8分）将展开为的幂级数.
15. （8分）求极限.
16. （8分）利用对展开式逐项积分，求在内的傅里叶级数.
17. （8分）已知，求.
18. （9分）设有级数，验证此级数的和函数满足微分方程
，并求幂级数的和函数.

第九章 多元函数微分法及其应用同步测试A答案及解析

一、单项选择题

题号
1
2
3
4
5
答案
B
C
D
B
A

答案详细解析
1. 解 利用级数的性质.
由于是常数，发散，因此发散.
由于是常数，收敛，因此收敛.
由于

这是一个发散级数与一个收敛级数的和，因此发散.同理，发散.
故选.
『方法技巧』 本题考查无穷级数的性质.
『特别提醒』 增加或去掉有限项，不影响级数的敛散性；一个收敛级数与一个发散级数的和发散.
2. 解 比值审敛法只适用于正项级数，所以不正确.事实上，令
，，但级数发散.
令，，但级数收敛，所以不正确.
若，则级数收敛，因此绝对收敛.
故不正确，选.
『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及绝对收敛和条件收敛的概念.
『特别提醒』 比值审敛法只限于正项级数使用.
3. 解 由于的收敛半径，则幂级数在，即内绝对收敛，在或处发散，在不能确定，故选.
『方法技巧』 本题考查幂级数的阿贝尔定理.
『特别提醒』 阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.
4. 解 由于
由比较审敛法 ，得绝对收敛；而条件收敛，则级数 条件收敛，故选.
『方法技巧』 本题考查正项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念.
5. 解 是函数的间断点，则由狄利克雷收敛定理知，傅里叶级数收敛于

故选.
『方法技巧』 本题考查傅里叶级数的狄利克雷收敛定理.在函数的连续点，级数收敛到；在函数的间断点，级数收敛到.
『特别提醒』 首先要判断所求点是函数的间断点还是连续点（可以画出函数的图形），再应用狄利克雷收敛定理.

二、填空题
6. 7. 8. 9. 10.
答案详细解析
6. 解 由于级数均为等比级数，且公比，因此两级数均收敛.又由收敛级数的和仍收敛，故

『方法技巧』 本题考查等比（几何）级数求和及级数的性质.
『特别提醒』 等比级数的和为，一定记住分子为第一项.
7. 解

由比值审敛法知：当，即时，级数收敛；当，即时，级数发散，因此级数的收敛半径为.
『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及其特殊性.由比值审敛法判断级数收敛时，原级数绝对收敛；而级数发散时，原级数也发散.这是由于比值审敛法判断级数发散是使用的必要条件，即，此时，故级数也发散.
『特别提醒』 观察本题时，发现级数缺少偶数幂项，因此求收敛半径不可以直接应用公式，应使用比值审敛法或变量代换法（令）.
8. 解 由题设

『方法技巧』 本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.
『特别提醒』 一些同学不熟悉符号，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.
9. 解 由于，则当 ，即时，函数可以展开为的幂级数，故收敛域为.
『方法技巧』 本题考查形如的函数展开式及收敛域.若函数不是标准形式，需先化为标准形式.
10. 解 由傅里叶系数公式

『方法技巧』 本题考查余弦级数的傅里叶展开式及系数公式：

则 （在连续点）

三、解答题
11. 解 运算过程是错误的.
函数的幂级数展开式并不是在整个数轴上均为，而是在区间上，，故运算错误.
『方法技巧』 本题考查函数的幂级数展开式及幂级数的收敛域.
12. 解 当时，，又 ，由夹逼准则知
，故级数发散.
『方法技巧』 本题考查级数收敛的必要条件： 收敛.即若，则发散.
『特别提醒』 解题过程中用到了结论，证明如下：
由于
故
一些数列的极限如果能够记住，会很方便，如；等.
13. 解

『方法技巧』 本题考查函数的展开式：.
展开式 中，三处的要相同.
『特别提醒』 若对符号不熟悉，可以将每一项直接写出. 在中，从0开始取，但在中，从1开始取.
14. 解
（即）
（）
故 （）
『方法技巧』 本题考查形如的函数展开式及收敛域.首先利用分式的性质，将化为标准形式.
15. 解 所求极限实际上是级数的和，所以考虑幂级数.
令 （）
故
『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.
16. 解 由于当时，有，而在内连续，对展开式逐项积分得

故

由傅里叶系数公式知 ，因此

『方法技巧』 本题考查利用间接方法（对已知函数展开式逐项积分）将函数展开为傅里叶级数.省去了求傅里叶系数的过程（傅里叶系数中的计算比较复杂）.
17. 解

『方法技巧』 本题题型比较特殊，在被积函数中，需要将其中一个展开为的幂级数，逐项积分再求和.
『特别提醒』

18. 解 当时，记，则
，
且，则 ，故满足微分方程.
由于幂级数的和函数为，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程的满足条件的特解. 其特征方程为，特征根为，对应的齐次方程的通解为，观察知是方程的一个特解，故其通解为，将代入得，即，即幂级数
『方法技巧』 本题考查幂级数逐项求导及二阶常系数非齐次线性微分方程求通解和通解.
『特别提醒』 求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解时，也可用一般方法，设特解形式为（不是特征根），代入原方程中，求出特解.
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