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《复数》知识点总结
1、复数的概念
形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足，叫做复数的实部，叫做复数的虚部.
(1)纯虚数：对于复数，当时，叫做纯虚数.
(2)两个复数相等：相等的充要条件是.
(3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴.
(4)复数的模：复数可以用复平面内的点表示，向量的模叫做复数的模，表示为：
（5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.
2、复数的四则运算
（1）加减运算：；
（2）乘法运算：；
（3）除法运算：；
（4）的幂运算：，，，.
（5）
3、 规律方法总结
（1）对于复数必须强调均为实数，方可得出实部为，虚部为
（2）复数是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识
（3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分.
（4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等

1、基本概念计算类
例1．若且为纯虚数，则实数a的值为_________
解：因为，＝，
又为纯虚数，所以，3a－8＝0，且6＋4a0。
2、复数方程问题
例2．证明：在复数范围内，方程（i为虚数单位）无解
证明：原方程化简为设z＝x＋yi(x、y)，代入上述方程得 整理得
方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。
3、综合类
例3．设z是虚数，是实数，且－1<<2
（1） 求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2） 设，求证：M为纯虚数；
（3） 求的最小值。
解：（1）设z＝a＋bi（a，b）
因为，是实数，
所以，，即|z|＝1， 因为＝2a，－1<<2，
所以，z的实部的取值范围（－）
（2）＝（这里利用了（1）中）。 因为a（－），，所以M为纯虚数
（3）

因为，a（－），所以，a＋1>0， 所以2×2－3＝1，
当a＋1＝，即a＝0时上式取等号， 所以，的最小值是1。
4、创新类
例4．对于任意两个复数)定义运算“⊙”为
⊙＝，设非零复数在复平面内对应的点分别为,点O为坐标原点，若⊙＝0，则在中，的大小为_________.
解法一：（解析法）设，故得点，，且＝0，即
从而有＝ 故,也即
解法二：（用复数的模）同法一的假设，知

＝＋－2（）＝＋－2×0
＝＋＝＋
由勾股定理的逆定理知
解法三：（用向量数量积的知识）同法一的假设，知，则有
故

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