《复数》知识点总结.doc

复数知识点总结1、复数的概念形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足，叫做复数的实部，叫做复数的虚部.(1)纯虚数：对于复数，当时，叫做纯虚数.(2)两个复数相等：相等的充要条件是.(3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴.(4)复数的模：复数可以用复平面内的点表示，向量的模叫做复数的模，表示为：（5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.2、复数的四则运算 （1）加减运算：； （2）乘法运算：； （3）除法运算：； （4）的幂运算：，. （5）3、 规律方法总结 （1）对于复数必须强调均为实数，方可得出实部为，虚部为 （2）复数是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法对于一个复数，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识 （3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分. （4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等 1、基本概念计算类例1若且为纯虚数，则实数a的值为_解：因为，又为纯虚数，所以，3a80，且64a0。2、复数方程问题例2证明：在复数范围内，方程（i为虚数单位）无解证明：原方程化简为设zxyi(x、y)，代入上述方程得 整理得方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。3、综合类例3设z是虚数，是实数，且12（1） 求|z|的值及z的实部的取值范围；（2） 设，求证：M为纯虚数；（3） 求的最小值。解：（1）设zabi（a，b） 因为，是实数，所以，即|z|1， 因为2a，10， 所以2231，当a1，即a0时上式取等号， 所以，的最小值是1。4、创新类例4对于任意两个复数)定义运算“”为，设非零复数在复平面内对应的点分别为,点O为坐标原点，若0，则在中，的大小为_.解法一：（解析法）设，故得点，且0，即从而有 故,也即解法二：（用复数的模）同法一的假设，知2（）20由勾股定理的逆定理知解法三：（用向量数量积的知识）同法一的假设，知，则有 故第3页