高等代数2学期06-07B[1].doc

北 京 交 通 大 学
2006-2007学年第二学期高等代数（II）期末考试（B卷）
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请考生注意:本试卷共有六道大题,如有不对之处,
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题 号
一
二
三
四
五
六
总分
得 分

阅卷人

一、填空题(每题3分,共30分)
1、设W1和W2是Rn´n的两个子空间，其中W1是由全体n阶实反对称矩阵构成，W2是由全体n阶实下三角矩阵构成, 则 (W1+W2)的维数等于 ．
2. 设e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1), h1 = (0,0,2), h2 = (0,3,0), h3 = (4,0,0) 是线性空间P3的两组基, 则从基h1, h2, h3

到基e1, e2, e3的过渡矩阵是
3、线性空间中，矩阵在基，，，下的坐标为 　　　．
.4、设P3的线性变换T为：T(x1, x2, x3) = (x1, x2, x1 + x2)，取P3的一组基：e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)，则T在该基下的矩阵

是 　　　．
.5、设欧氏空间R3[x]的内积为

则一组基1, x, x2的度量矩阵为 ．
6、已知三阶矩阵A满足，则
　　　．
7、单位矩阵E的最小多项式为 　　　．
8、欧氏空间中两个向量满足，则与的夹角是 ．
9、3维欧氏空间R3 (取标准内积)中的向量(2, 3,－1), (1, 1, 0),
(0, 1,－1)生成的子空间的正交补空间的维数是 ．
10、设是数域上的3维线性空间的一组基，是上的一个线性函数。若，则= ．

二、（15分）设线性空间P3´3 中的两组基如下：
(I)： E11 =, E12 =, E21 =, E22 =，
(II)： A1 =, A2 =, A3 =, A4 =．
(1) 求由基 (I) 到 (II) 的过渡矩阵；
(2) 求矩阵A =在基(II)下的坐标．

三、定义P3的变换A为
A (x1, x2, x3) = (2x1－x2，x2 + x3，x1)
(1) 证明A是一个线性变换；
(2) 求A在自然基e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)下的矩阵。

四、（15分）已知

求可逆矩阵T, 使T-1AT成对角形.

五、（15分）设是欧氏空间的一组基，已知的度量矩阵为
，
令
（1） 求的一组标准正交基；
（2） 求，并求的维数和一组标准正交基。

六、证明题（三题任选做两题）（每小题5分，共10分）
1.设是维欧氏空间，是其子空间且。证明中有非零向量与正交。
2．设阶方阵满足，证明相似于对角阵.
3. 设A是数域P上一个n阶方阵，
A =
定义A的迹为
Tr(A)=a11 + a22 + … + ann
证明Tr是线性空间Pn´n上的线性函数．