第二十四章华师版初中教材.doc

个人收集整理 勿做商业用途
第24章 图形的相似 2
§24。1 相似的图形 3
§24。2 相似图形的性质 5
1．成比例线段 5
2．相似图形的性质 6
阅读材料 10
第24章 图形的相似

你瞧，那些大大小小的图形是多么地相像!日常生活中，我们经常会看到这种相似的图形，那么它们有什么主要特征与关系呢?

§24。1 相似的图形
观察图24.1.1，你会发现右边的照片是由左边的照片放大得来的．尽管它们大小不同，但形状相同．

图24．1．2是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形缩小得来的．由于不同的需要,对某一地区，经常会制成各种大小的地图,但其形状（包括地图中所描绘的各个部分）肯定是相同的．

日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上,我们把具有相同形状的图形称为相似图形（similar　figures）．
同一底片扩印出来的不同尺寸的照片也是相似图形．放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像，都是彼此相似的．
图24．1．3所示的是一些相似的图形．

观察图24．1．4中的三组图形，看起来每组中的两个图形都具有一些相像的成分，其实形状是不相同的，这样的图形就不是相似图形．

试一试
如图24．1．5，左边格点图中有一个四边形,请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．和你的伙伴交流一下，看看谁的方法又快又好．

练习
1．观察你周围的事物，举出几个相似图形的例子．
2．你看到过哈哈镜吗?哈哈镜中的形象与你本人相似吗?

习题24．1
1．试着用本书最后所附的格点图把下面的图形放大．

2．观察下面的图形（a)~（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的?

§24.2 相似图形的性质
1.成比例线段
试一试
由下面的格点图可知,＝_________，＝________,这样与之间有关系_______________．

概括
像这样，对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如（或a∶b＝c∶d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段(proportional　segments）．此时也称这四条线段成比例．

例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：　
（1）a＝4,b＝6，c＝5，d＝10；
（2）a＝2，b＝，c＝,d＝．
解 (1)　∵　，，
∴　，
∴　线段a、b、c、d不是成比例线段．
（2）　∵　,，
∴　，
∴　线段a、b、c、d是成比例线段．
对于成比例线段我们有下面的结论：　
如果，那么ad＝bc．
如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么．
以上结论称为比例的基本性质．

例2 证明：(1）如果，那么；
（2)　如果,那么．
证明（1）∵,
在等式两边同加上1，
∴　，
∴　．
（2)　∵ ，
∴　ad＝bc，
在等式两边同加上ac，
∴　ad＋ac＝bc＋ac，
∴　ac－ad＝ac－bc，
∴　a（c－d）＝（a－b）c，
两边同除以（a－b)（c－d），
∴　．

练习
1．判断下列线段是否是成比例线段：　
（1）a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m;
（2)a＝0．8，b＝3,c＝1，d＝2．4．
2．已知：　线段a、b、c满足关系式，且b＝4，那么ac＝______．
3．已知，那么、各等于多少？
2．相似图形的性质
两个相似的平面图形之间有什么关系呢?为什么有些图形是相似的,而有些不是呢？相似图形有什么主要性质呢?

做一做
图24．2．2是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形．设在大地图中有A、B、C三地,在小地图中的相应三地记为A′、B′、C′,试用刻度尺量一量两张地图中A（A′）与B（B′）两地之间的图上距离、B（B′）与C(C′）两地之间的图上距离．

AB＝______cm， BC＝______cm；
A′B′＝______cm， B′C′＝______cm．
显然两张地图中AB和A′B′、BC和B′C′的长度都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到线段A′B′、B′C′与AB、BC的长度相比都“同样程度”地缩小了．
计算可得
＝________，＝________．
我们能发现＝．
上面地图中AB、A′B′、BC、B′C′这四条线段是成比例线段．实际上，上面两张相似的地图中的对应线段都是成比例的．
这样的结论对一般的相似多边形是否成立呢?
图24．2．3中两个四边形是相似形,仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否有以上的关系呢？对应角之间又有什么关系?

再看看图24．2．4中两个相似的五边形,是否与你观察图24．2．3所得到的结果一样？

概括
由此可以得到两个相似多边形的性质：　
对应边成比例，对应角相等．
实际上这也是我们判定两个多边形是否相似的方法，即如果_________________________,那么这两个多边形相似．

例 在图24．2．5所示的相似四边形中，求未知边x的长度和角度α的大小．

分析
利用相似多边形的性质和多边形的内角和公式就可以得到所需结果，但利用相似多边形的性质时，必须分清对应边和对应角．
解 ∵　两个四边形相似，
∴　，
∴　x＝27．
∴　α＝360°－（77°＋83°＋117°）
＝83°．

思考
两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？

练习
1．（1）根据图示求线段比：，，；

（2）试指出图中成比例的线段．
2．等腰三角形两腰的比是多少？直角三角形斜边上的中线和斜边的比是多少？
3．下图是两个等边三角形，找出图形中的成比例线段，并用比例式表示．

4．根据下图所示，这两个多边形相似吗?说说你的理由．

5．如图，正方形的边长a＝10，菱形的边长b＝5，它们相似吗？请说明理由．

习题24．2
1．所有的矩形都相似吗?所有的正方形呢？
2．在比例尺为1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25厘米，则两地的实际距离是多少？
3．判断下列各组线段是否是成比例线段：
（1)　2厘米，3厘米，4厘米，1厘米；
(2）　1．5厘米,2．5厘米,4．5厘米，6．5厘米；
（3）　1．1厘米,2．2厘米，3．3厘米，4．4厘米;
（4)　1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．
4．两地的实际距离为200米，地图上的距离为2厘米,这张地图的比例尺为多少？
5．如图所示的两个矩形是否相似?

6．在本书最后所附的格点图中画出两个相似的三角形、四边形、五边形．
7．已知：，求的值．
8．已知（b±d≠0）,求证：．

阅读材料
黄金分割
两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus,约公元前408—前355年）发现：　将一条线段(AB）分割成大小两条线段（AP、PB），若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB、AB的比例中项）,则可得出这一比值等于0．618…．这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．

为什么人们会关注黄金分割呢？那是因为人们认为这个分割点是分割线段时最优美的、最令人赏心悦目的点．
自古希腊以来,黄金分割就被视为最美丽的几何学比率,并广泛地用于建造神殿和雕刻中．但在比古希腊还早2000多年所建的金字塔中，它就已被采用了．文明古国埃及的金字塔，形似方锥,大小各异．但这些金字塔的高与底面的边长的比都接近于0．618．不仅在建筑和艺术中，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上,台下的观众看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比也接近黄金比．就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0．618．还有黄金矩形、黄金三角形(顶角为36°的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割．
去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧!