第十一章曲线积分与曲面积分A同步测试卷.doc

第十一章 曲线积分与曲面积分同步测试A卷

题 号
一
二
三
总分
得 分

一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1．设为从点到点的直线段，则（ ）.

2．设，为围成的闭区域，则曲面积分（ ）.

3．设取正向，则（ ）.

4. 设为球面的外侧，，则必有（ ）.

5．设，则在点处的散度=（ ）.

二、填空题(每小题4分，共20分)
6. 设是以为顶点的三角形区域的周界沿方向，则 .
7. 积分 .
8. 设为半球面的上侧，则
.
9．设，从轴正向往负向看去为逆时针方向，则曲线积分= .
10．设有力场，已知质点在此力场内运动时，场力所作的功与路径的选择无关，则 .

三、解答题(共65分)
11. （8分）计算曲线积分 ，其中是圆周.
12. （8分）计算曲线积分 ，其中是圆周在第一象限的部分由点到点.
13. （8分）计算 ，其中为正常数，为从点沿曲线到点的弧段.
14. （8分）计算，其中为锥面被平面所截下的部分.
15. （8分）设，其中为球面的外侧，求.
16. （8分）设曲线积分与路径无关，且，求.
17. （8分）设为简单闭曲线，对围成的区域而言，取正向，为的外法线向量，具有二阶连续偏导数，证明

18. （9分）设为椭球面的上半部分，点，为在点处的切平面，为点到平面的距离，求.

第十一章 曲线积分与曲面积分同步测试A答案及解析

一、单项选择题

题号
1
2
3
4
5
答案
B
C
A
B
D

答案详细解析
1. 解 线段的方程为 ，因此

故选.
『方法技巧』 本题考查对弧长的曲线积分的计算.写出弧段的方程，代入积分公式即可.
2.解
故选.
『方法技巧』 本题考查对面积的曲面积分及被积函数为1时，积分值等于积分区域的面积.
『特别提醒』 曲面积分由于积分域在曲面上，因此允许将曲面方程代入被积函数中，即

而三重积分是不允许的.
3. 解 由于 ，围成的闭区域
令 ，利用格林公式，有

故选.
『方法技巧』 本题考查对面积的曲面积分的概念及格林公式的应用.
『特别提醒』 应用格林公式时，要求考虑格林公式的条件.本题中，先将
代入被积函数中，将积分变为时，才满足格林公式要求的
在内有一阶连续偏导数的条件.另外，应用格林公式时，一定注意不要将写错，前面的函数为，前面的函数为，与位置无关.
4. 解 曲面积分 满足高斯公式的条件. 设围成的区域为，应用高斯公式

又由于关于面对称，而三重积分的被积函数对是奇函数，所以

故选.
『方法技巧』 本题考查高斯公式的应用及三重积分的对称性.
『特别提醒』 在应用高斯公式时，首先要考虑是否满足使用条件.
5. 解 根据散度公式，在点处的散度为

故选.
『方法技巧』 本题考查散度的计算公式，是一个基本题型.

二、填空题
6. 7. 8. 9. 10.

答案详细解析
6. 解 设围成的区域为，如图10.1所示，的方向为顺时针方向，应用格林公式

图10.1

『方法技巧』 本题考查格林公式，由于封闭曲线取负向，故应用格林公式时，需要添加负号.
7. 解 令，则 ，因此积分与路径无关.取折线路径，有

『方法技巧』 本题考查积分与路径无关的条件及求积分的方法，一般取折线路径最简单，但也要考虑要有一阶连续偏导数.
『特别提醒』 求积分值还可以取其它路径，如

也可直接取由到的直线路径，甚至可以取曲线路径，因此路径的取法不是唯一的.
8. 解 添加辅助面 取下侧，设是由围成的区域，则在上满足高斯公式的条件，应用高斯公式，有

『方法技巧』 本题考查高斯公式的应用，由于曲面不封闭，故需要添加辅助曲面，要求辅助曲面满足：①与原曲面一起构成封闭曲面的外侧或内侧；②在辅助曲面上，计算曲面积分尽量简单.（常用方法）
『特别提醒』 这类题目在各种考试中经常遇到，近些年的研究生考试卷中几乎年年有类似的题型.
9. 解 取是以为边界，平面上的区域的上侧，即的上侧，投影到面为，应用斯托克斯公式，有

『方法技巧』本题考查斯托克斯公式的使用及对坐标的曲面积分的计算. 利用斯托克斯公式解题的关键是选取适当的曲面，要求满足：①与原曲线一起满足斯托克斯公式的条件；②在其上计算曲面积分简单.
『特别提醒』 曲面的选取不是唯一的.
10. 解 由题意知，功与路径无关，令

则
整理得 ，故 .
『方法技巧』 本题考查功的计算方法及积分与路径无关的条件.

图10.2

三、解答题
11. 解1 积分曲线如图10.2所示.
利用的极坐标方程

故

图10.3

解2 积分曲线如图10.3所示.
利用的参数方程

『方法技巧』 本题考查对弧长的曲线积分的计算.第一种解法是将曲线方程用极坐标表示，；第二种解法是将曲线方程用参数方程表示，.
『特别提醒』 两种解法参数的范围不同.
12. 解 设 ，则 ，所以积分与路径无关.
另取折线路径 ，故

『方法技巧』 本题考查对坐标的曲线积分的计算及积分与路径无关的条件.利用积分与路径无关，另取一条折线路径（常用方法），可以简化计算过程.
『特别提醒』 本题也可以直接利用曲线的参数方程计算，过程如下：
令 ，则

图10.4

13. 解 添加辅助线 ，
如图10.4所示.则

『方法技巧』 本题考查格林公式的应用，由于积分曲线不封闭，需要添加辅助线，特别注意辅助线的方向.
14. 解 由锥面方程，有

又在面上的投影区域，故

『方法技巧』 本题考查对面积的曲面积分的计算及极坐标系下计算二重积分.
15. 解 设围成的区域 ，利用高斯公式，有

故
『方法技巧』 本题考查高斯公式的应用及球面坐标系下三重积分的计算.
16. 解 设 ，由题意知
因此有 ，整理得
这是一阶线性微分方程，通解为

将代入有 ，故 .
『方法技巧』 本题考查积分与路径无关的条件及一阶线性微分方程求解.
『特别提醒』 在考试中，这类题目总是出现在大题中，这两个内容经常相互联系着出现.
17. 解 由题意知，的切向量为，则外法线向量取，且 ，因此

故
由格林公式得 证毕.
『方法技巧』 本题考查曲线的切向量、法向量、方向导数公式及格林公式的应用 .
『特别提醒』 沿曲线（正向）的方向导数定义为沿切向量（指向曲线正向一侧）的方向导数.曲线的切向量为，则外法线向量取，不能写成（内法线向量）.
18. 解 设为切平面上任意一点，则切平面的方程为

因此
又 ，则

设曲面投影到面的区域为，则，故

『方法技巧』 本题考查对面积的曲面积分的计算、曲面的切平面方程及点到平面的距离公式.
『特别提醒』 椭球面的切平面方程，可简单记忆为：

此处为切平面上任意一点，只要将原曲面方程中的分别用替换即可.另外，求点到平面的距离时，一点要将平面方程写成一般式，再代入公式.
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