第十一章曲线积分与曲面积分A同步测试卷.doc

第十一章 曲线积分与曲面积分同步测试A卷题 号一二三总分得 分一、单项选择题(每小题3分，共15分)1设为从点到点的直线段，则（ ）.2设，为围成的闭区域，则曲面积分（ ）.3设取正向，则（ ）.4. 设为球面的外侧，则必有（ ）. 5设，则在点处的散度=（ ）.二、填空题(每小题4分，共20分)6. 设是以为顶点的三角形区域的周界沿方向，则 . 7. 积分 .8. 设为半球面的上侧，则 .9设，从轴正向往负向看去为逆时针方向，则曲线积分= .10设有力场，已知质点在此力场内运动时，场力所作的功与路径的选择无关，则 . 三、解答题(共65分)11. （8分）计算曲线积分 ，其中是圆周.12. （8分）计算曲线积分 ，其中是圆周在第一象限的部分由点到点.13. （8分）计算 ，其中为正常数，为从点沿曲线到点的弧段.14. （8分）计算，其中为锥面被平面所截下的部分.15. （8分）设，其中为球面的外侧，求.16. （8分）设曲线积分与路径无关，且，求.17. （8分）设为简单闭曲线，对围成的区域而言，取正向，为的外法线向量，具有二阶连续偏导数，证明18. （9分）设为椭球面的上半部分，点，为在点处的切平面，为点到平面的距离，求.第十一章 曲线积分与曲面积分同步测试A答案及解析一、单项选择题题号12345答案BCABD答案详细解析1. 解 线段的方程为 ，因此故选.方法技巧 本题考查对弧长的曲线积分的计算.写出弧段的方程，代入积分公式即可.2.解 故选.方法技巧 本题考查对面积的曲面积分及被积函数为1时，积分值等于积分区域的面积.特别提醒 曲面积分由于积分域在曲面上，因此允许将曲面方程代入被积函数中，即而三重积分是不允许的.3. 解 由于 ，围成的闭区域 令 ，利用格林公式，有故选.方法技巧 本题考查对面积的曲面积分的概念及格林公式的应用.特别提醒 应用格林公式时，要求考虑格林公式的条件.本题中，先将代入被积函数中，将积分变为时，才满足格林公式要求的在内有一阶连续偏导数的条件.另外，应用格林公式时，一定注意不要将写错，前面的函数为，前面的函数为，与位置无关.4. 解 曲面积分 满足高斯公式的条件. 设围成的区域为，应用高斯公式又由于关于面对称，而三重积分的被积函数对是奇函数，所以故选.方法技巧 本题考查高斯公式的应用及三重积分的对称性.特别提醒 在应用高斯公式时，首先要考虑是否满足使用条件.5. 解 根据散度公式，在点处的散度为故选.方法技巧 本题考查散度的计算公式，是一个基本题型.二、填空题6. 7. 8. 9. 10. 答案详细解析6. 解 设围成的区域为，如图10.1所示，的方向为顺时针方向，应用格林公式图10.1方法技巧 本题考查格林公式，由于封闭曲线取负向，故应用格林公式时，需要添加负号.7. 解 令，则 ，因此积分与路径无关.取折线路径，有方法技巧 本题考查积分与路径无关的条件及求积分的方法，一般取折线路径最简单，但也要考虑要有一阶连续偏导数.特别提醒 求积分值还可以取其它路径，如也可直接取由到的直线路径，甚至可以取曲线路径，因此路径的取法不是唯一的.8. 解 添加辅助面 取下侧，设是由围成的区域，则在上满足高斯公式的条件，应用高斯公式，有方法技巧 本题考查高斯公式的应用，由于曲面不封闭，故需要添加辅助曲面，要求辅助曲面满足：与原曲面一起构成封闭曲面的外侧或内侧；在辅助曲面上，计算曲面积分尽量简单.（常用方法）特别提醒 这类题目在各种考试中经常遇到，近些年的研究生考试卷中几乎年年有类似的题型.9. 解 取是以为边界，平面上的区域的上侧，即的上侧，投影到面为，应用斯托克斯公式，有方法技巧本题考查斯托克斯公式的使用及对坐标的曲面积分的计算. 利用斯托克斯公式解题的关键是选取适当的曲面，要求满足：与原曲线一起满足斯托克斯公式的条件；在其上计算曲面积分简单.特别提醒 曲面的选取不是唯一的.10. 解 由题意知，功与路径无关，令则 整理得 ，故 .方法技巧 本题考查功的计算方法及积分与路径无关的条件.图10.2 三、解答题11. 解1 积分曲线如图10.2所示.利用的极坐标方程故 图10.3解2 积分曲线如图10.3所示.利用的参数方程方法技巧 本题考查对弧长的曲线积分的计算.第一种解法是将曲线方程用极坐标表示，；第二种解法是将曲线方程用参数方程表示，.特别提醒 两种解法参数的范围不同.12. 解 设 ，则 ，所以积分与路径无关.另取折线路径 ，故方法技巧 本题考查对坐标的曲线积分的计算及积分与路径无关的条件.利用积分与路径无关，另取一条折线路径（常用方法），可以简化计算过程.特别提醒 本题也可以直接利用曲线的参数方程计算，过程如下：令 ，则图10.413. 解 添加辅助线 ，如图10.4所示.则方法技巧 本题考查格林公式的应用，由于积分曲线不封闭，需要添加辅助线，特别注意辅助线的方向.14. 解 由锥面方程，有又在面上的投影区域，故方法技巧 本题考查对面积的曲面积分的计算及极坐标系下计算二重积分.15. 解 设围成的区域 ，利用高斯公式，有故 方法技巧 本题考查高斯公式的应用及球面坐标系下三重积分的计算.16. 解 设 ，由题意知 因此有 ，整理得 这是一阶线性微分方程，通解为将代入有 ，故 .方法技巧 本题考查积分与路径无关的条件及一阶线性微分方程求解.特别提醒 在考试中，这类题目总是出现在大题中，这两个内容经常相互联系着出现.17. 解 由题意知，的切向量为，则外法线向量取，且 ，因此故 由格林公式得 证毕.方法技巧 本题考查曲线的切向量、法向量、方向导数公式及格林公式的应用 .特别提醒 沿曲线（正向）的方向导数定义为沿切向量（指向曲线正向一侧）的方向导数.曲线的切向量为，则外法线向量取，不能写成（内法线向量）.18. 解 设为切平面上任意一点，则切平面的方程为因此 又 ，则 设曲面投影到面的区域为，则，故方法技巧 本题考查对面积的曲面积分的计算、曲面的切平面方程及点到平面的距离公式.特别提醒 椭球面的切平面方程，可简单记忆为：此处为切平面上任意一点，只要将原曲面方程中的分别用替换即可.另外，求点到平面的距离时，一点要将平面方程写成一般式，再代入公式.11