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八年级下学期知识点总结复习
一元一次不等式知识点复习
1、 不等式的基本性质
记住：不等式两边同乘（或同除）同一负数，不等号方向改变。比如：不等式的解集是，一定会有。
如果，那么下列结论中错误的是（ ） 【答案C】
A． B. C. 　　 D.
2、不等式解集的数轴表示
不等式的解集在数轴上表示为（　　）．【答案B】
3
2
1
0
3
2
1
0
3
2
1
0
3
2
1
0
A. B．
C． D．

记住：小于向左，大于向右，有等实心，无等空心（数轴的箭头方向别忘了）
3、一元一次不等式的解法

解：去分母,得 (不要漏乘哟！每一项都得乘）
去括号，得 （注意符号,不要漏乘!）
移 项，得 （移项要变号）
合并同类项，得 （计算要正确）
系数化为1， 得 （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）
4、不等式的特殊解：(先解除不等式，再取符合条件的值）
不等式＜的正整数解有（ ) 【答案C】
A.1个 B.2个 C.3个 D。4个
5、求不等式中字母的取值（实质仍是解不等式）
关于不等式的解集如图所示，的值是（ ）
A、0 B、2 C、－2 D、－4
说明：，因此
解：解不等式①，得
解不等式②，得
不等式组的解集为： 解集在数轴上表示为：
6、不等式组的解集
解不等式组,并将其解集在数轴上表示出来．

7、求不等式组中字母的取值
已知不等式组无解，则的取值范围是　　　　　
记住：同大取大,同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了！ 【（）别忘等号】
8、一元一次不等式（组）的应用
（1）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到5个苹果。问有多少苹果多少小朋友?
解:设有x个小朋友,则苹果为(5x+12)个，依题意,得，化简有.故，因为x取整数,所以, ,所以有6个小朋友，42个苹果.【注意：只有个小朋友够8个苹果】
（2）某工厂现有甲种原料280 kg,乙种原料190 kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品50件,已知生产一件A产品需甲种原料7kg,乙种原料3kg，可获利400元;生产一件B产品需甲种原料3kg，乙种原料5kg，可获利350元;（1)请问工厂有哪几种生产方案?（2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？

甲种 280 kg
乙种190 kg
获利
A
7
3
400
B
3（）
5(）
350（）

这种问题，列表更方便！
解：设生产A产品件,则
生产B产品（）件.
依题意，得 解得，,
因取正整数,所以取30，31,32，
故有3种方案：①A30件，B20件；②A31件，B19件；③A32件，B18件；
设生产A、B两种产品总获利为，则
因为，所以,当=32时，取得最大值，
因式分解知识点复习
1、因式分解定义：和差化积因式分解
下列各式由左边到右边的变形中,是分解因式的为（　　） 【答案：C】
　　（A） 　　 （B)
　　（C）　　(D）
2、分解因式要彻底
一次课堂练习,小敏同学做了如下4道因式分解题,你认为小敏做得不够完整的一题是（　　） 【答案：A】
（A) (B）
(C） （D）
3、平方差公式的应用:
公式要记熟: 如：

上数学课时，老师提出了一个问题:“一个奇数的平方减1，结果是怎样的数？”请你解答这个问题.
解：设这个奇数为，则

由于是相邻整数，必有一个是2的倍数，因此结果是8的倍数.
4、完全平方公式的应用
公式要记熟:； 如：

已知：x2+2（m－3）x+16是一个完全平方式，则m的值为 7或—1
5、综合应用
已知:x+y=1,求的值。
【原式=】
分解因式:_________【原式=】
若非零实数a、b满足4a2+b2=4ab，则=______【理由：4a2+b2=4ab可变为：4a2-4ab+ b2=0，即：,则，所以=2】
一正方形的面积为9x2+12xy+4y2，且x>0,y>0,则该正方形的边长为 【】
分式知识点复习
1、分式的有关概念:
例1．（1）当 时，分式有意义．【分母,本题：】
若分式的值为0,则___________ 【分子=0，但分母，本题：】
在代数式中，分式有( ）。
(A）4个 (B）3个 （C）2个 （D）1个 【分式:分母中有字母，本题：C】
2、分式的基本性质 【同乘同除同一个不等于零的数、式，分式值不变】
下列各式与相等的是（ ）
（A) (B） (C） （D）
如果把分式中的都扩大10倍，那么分式的值（ ）。
（A)扩大10倍 （B）缩小10倍 （C)扩大2倍(D）不变
3、分式的约分【实质：分解因式，约去公因式】
化简的结果是（ ）.【答案: B 原式=】
（A) （B） （C） (D)
4、分式的乘除法:【实质：分解因式及约分】
化简:【原式=】
5、分式的通分【先分解,分母化为相同】
分式、、的最简公分母为（ ）. 【答案:D】
(A） （B）
(C） （D） 【注意:】
6、分式的加减法 【实质：通分】注意：分式的运算不能去分母】
化简的结果是（ )。
（A）－ （B) (C） （D）
【原式
=】
7、分式的混合运算
化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的的值代入求值
或：
8、分式方程【一定要去分母和验根】
解方程： 【要注意符号和公分母】
解:方程两边同时乘以，得 ，解之，得，
经检验，是原方程的根。
9、分式方程的应用
在我们的日常生活中,数学知识无所不在，你瞧，小强的奶奶给小强出了一道题:奶奶说：“我上周二到超市里花20元买了几千克苹果，到周六再买时，正巧遇到超市特价酬宾活动，每千克苹果比周二便宜1元，结果我比上次多花了4元钱，却比上次多买了50％的苹果，你能算出我上周二买了多少千克苹果？”你能帮小强解答吗？

总价钱
数量
单价
周二
20

周六
24
（1+50%）

方法： 已知一个量，设出一个量，表示出第三个量,根据第三量找相等关系
同样可以列表法：
解:设上周二买了，则

解之,得
经检验,是原方程的根
答：上周二买了
某工程,甲独做恰好在规定的日期内完成，乙独做要超过规定日期3天才能完成,现由甲、乙合作两天,剩下工程由乙去做，恰好在规定的日期内完成，问规定的日期是多少天？

工作总量
时间
效率
甲
1

乙
1
+3

方法： 已知一个量，设出一个量，表示出第三个量，根据第三量找相等关系
解:设规定的日期是天，则

解之,得,=6
经检验,是原方程的根
答：规定的日期是6天
相似三角形知识要点
考点1：比例的有关性质【比例基本性质：,注意设法的运用】
已知，则= 【本题:,代入，得】
已知
【本题：】
已知a、b、c为非零实数,且满足 = = = k ,则一次函数y= kx+(1+k)的图象一定经过（ ） 本题有点难度
A. 第一、二、三象限 B.第二、四象限 C. 第一象限 D.第二象限
本题是合比性质;分两种情形：①若，图像经过第二、四象限;②若，图形经过一、二、三象限；综上，则一次函数y= kx+（1+k）的图象一定经过第二象限
考点2：比例尺
例2．（2006年徐州市)在比例尺为1︰50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是 m。【单位要统一。本题：,得】
考点3：黄金分割:较长线段长度=
若点C是线段AB的黄金分割点,且AB=2,则AC=（ ）【不知AC是较长还是较短，选D】
A、 B、 C、 D、或
考点4：相似三角形的判定【方法就三种：①两角对应相等；
②两边对应成比例，且夹角相等；③三边对应成比例】
如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应
在（ ）【根据三边对应成比例,最长边必为1：2，选C】
A．P1处 ； B．P2处; C．P3处 ； D．P4处
如图，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD
上滑动，当DM= 时,△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似
【本题根据两角对应相等,可知存在两种情形，根据相似列出比例式就可
求出DM的长。若△ABE∽△NDM,则，即，
所以；若△ABE∽△MDN，则,即， 所以；］考点5：相似三角形的性质【对应角相等，对应边成比例;对应高、对应
角平分线、对应中线、对应周长之比等于相似比，面积比等于相似比平方】
如图，用两根等长的钢条和交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作
内槽的宽度．设,且量得，则内槽的宽等于（ ）
D
C
b
A
B

A． B． C． D．
【本题根据两边对应成比例，且夹角（对顶角）相等，则两
三角形相似，则，故AB=bm】

考点5：相似三角形的应用
如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后,在地面上
形成阴影
（圆形）的示意图.已知桌面的直径为1。2m,桌面距离地面1m，若灯泡O
距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为 。
【本题利用相似三角形对应高之比等于相似比，由题意灯泡距离桌面2米，
英雌，设地面上阴影部分直径为x，则，解得，，则面积为
考点7：位似图形
如图12,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1）、（2，1)．
（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍
（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
(2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标;
（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），
写出M的对应点M′的坐标．
【（1) 图中粗线部分即为新图.(2）B′（—6，2）；
C′（-4，—2）（3） (3）M′(-2x,-2y) 】

数据的收集与整理知识要点
1、总体、个体和样本的含义
为了了解全市初三学生的体重情况,从中抽查了500名学生．在这个问题中，总体是:全市初三学生的体重（注意：不要说是全市初三学生);个体是：每名学生的体重（注意：不要说是每名学生）；样本是：被抽查的500名学生的体重(注意：不要说成500名学生),样本容量：500 (注意：不含单位）
2、极差、方差、标准差【方差公式要熟】
张明、王成两位同学初二学年10次数学单元自我检测的成绩（成绩均为整数,且个位数为０）分别如下图所示：
/分
/分
利用图中提供的信息，
解答下列问题．

（1）完成下表：

（2）如果将90分以上（含90分）的成绩视为优秀,则优秀率高的同学是______；
（3）根据图表信息，请你对这两位同学各提一条不超过20个字的学习建议
3、频率、频数、样本容量之间的关系;
　频数之和等于样本容量，频率之和等于１
证明（一）知识要点
考点一：定义和命题
指出下列命题的条件和结论.
(1）如果∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°,那么∠1=∠3。
（2)度数之和为90°的两个角互为余角
【提示：（1）条件是：“∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°”，结论是：“∠1=∠3"；
（2)条件是：“度数之和为90°的两个角"，结论是：“互为余角”。】
指出下列命题的条件和结论.并写将其改写“如果…，那么…”形式。
(1)平行于同一条直线的两直线平行;
(2)内错角相等
【提示:(1）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两直线平行；
（2）如果两个角是内错角,那么这两个角相等。】
考点二：为什么它们平行
如图，AD⊥BC，EG⊥BC，D、G是垂足，∠GEC=∠3，
求证：AD平分∠BAC
【提示：ＡD⊥BC，EG⊥BC，所以∠1=∠E，∠2=∠3，
又∠3=∠E，所以∠1=∠2，所以AD平分∠BAC】
考点三：如果两直线平行
如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80º，∠CDE＝140º，则∠BCD＝____
【提示:延长DE交BC于F，因为AB//ED,所以∠BFD=∠B=80°，
又∠BFD+∠CFD=180°，所以∠CFD=100°，又∠CDE=∠BCD+∠DFC,
∠CDE=140°，所以∠BCD=140°—100°=40°】
考点四：三角形内角和定理的应用
已知：如图AB//CD，AE平分∠CAB,CE平分∠ACD.求证：AE⊥CE。
【提示:因为AB//CD，所以∠BAC+∠ACD=180°，因为AE、CE分
别平分∠BAC、∠ACD，所以∠EAC+∠ACE=90°，
所以∠E=90°,所以AE⊥CE。 】
考点五：关注三角形的外角
如图，在ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BF平分
∠ABC交AD于E点，交AC于F点.求证:∠AEF=∠AFE
【提示：因为∠BAC=90°,所以∠BAD+∠DAC=90°,因为AD⊥BC,所以∠ADC=90°,所以∠DAC+∠ACD=90°，所以∠BAD=∠ACD, 因为∠AEF=∠ABE+∠BAE,∠AFE=∠FBA+∠ACD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)，又BF平分∠ABC,所以∠ABF=∠CBF,所以∠AEF=∠AFE】

八年级数学北师大（下)期末测试题
一、填空题（每题3分，共30分）

2．若—2x＋10的值不小于—5，则x的取值范围是_____________．
3．在数据—1，0，4，5，8中插入一数据x，使得该数据组中位数为3,则x＝_______．
4．如图1，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD∶AB＝AE∶AC＝1∶2,BC＝5，则DE＝_______．

图1

9．如图2,在△ABC中,AD是BC边上的中线,BE是AC边上的中线,BE交AD于F,那么AF∶FD＝_______．

图2
10．如图3，∠A＝40°，∠B＝30°，∠BDC＝101°，则∠C＝_______．

图3

二、选择题（每题3分，共24分）
11．下列说法中错误的是(　)
　　A．2x＜—8的解集是x＜-4 B．x＜5的正整数解有无数个
　　C．x＋7＜3的解集是x＜-4 D．x＞3的正整数解有无限个

　　A．1 B．-3 C．2 D．—2
13．下列各式中不成立的是（　）
　　A．＝— B．＝x＋y
　　C．＝ D．＝
14．两个相似多边形面积之比为1∶2，其周长差为6，则两个多边形的周长分别为(　）
　　A．6和12 B．6-6和6
　　C．2和8 D．6＋6和6＋12
15．下面的判断正确的是(　)
　　A．若|a｜＋｜b｜＝|a｜-|b|则b＝0
　　B．若a2＝b2，则a3＝b3
　　C．如果小华不能赶上7点40分的火车，那么她也不能赶上8点钟的火车
　　D．如果两个三角形面积不等，那么两个三角形的底边也不等
16．在所给出的三角形三角关系中，能判定是直角三角形的是(　）
　　A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＋∠B＝∠C
　　C．∠A＝∠B＝30° D．∠A＝∠B＝∠C

　　A．- B． C．-1 D．1
18．如果a、b、c是△ABC的三条边，则下列不等式中正确的是（　）
　　A．a2—b2—c2-2ab＞0 B．a2-b2-c2-2bc＜0
　　C．a2—b2-c2—2bc＝0 D．a2—b2—c2—2bc≥0

三、解答题（共54分）
19．（10分）证明题
　　如图4，在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，过D作DE∥BC交AB于E,交AC于F．求证：EF＝BE-CF．

图4

20．（10分）将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图5所示的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，回答下列问题:

图5
　　(1）图中共有多少个三角形？把它们一一写出来．

　　(2）图中有相似（不包括全等）三角形吗?如果有，就把它们一一写出来．

21．（12分）一次科技知识竞赛，两组学生成绩如下：
分数
50
60
70
80
90
100
甲组人数
2
5
10
13
14
6
乙组人数
4
4
16
2
12
12
　　已经算得两个组人均分都是80分，请根据你所学过的统计知识进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次,并说明理由．

22．(10分）请你先化简，再任取一个使原式有意义而你又喜爱的数代入求值．
　　（＋）÷

23、（12分)
　　一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用,已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次,a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时,甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时,乙车共运了270吨．问:
　　(1）乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍？

　　（2）现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1吨付运费20元计算）

四、综合探索题(12分）
24.（12分）　阅读下面短文：
　　如图6所示，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB(如图7）

　　解答下列问题
　　(1)设图7中矩形ACBD和矩形AEFB的面积为S1，S2,则S1_______S2（填“＞”“＝”或“＜”
　　（2）如图8所示,△ABC是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_______个．

图8
　　利用图8把它画出来．
　　（3）如图9所示，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_______个．利用图9把它画出来．

图9
　　（4)在（3）中所画的矩形中,哪一个周长最小,为什么？

参考答案
　　一、1．-3＜x＜4　 2．x≤　 3．2　 4．　 5．b
　　6．1∶2　 7．(x-y＋1)(x-y—1)　 8．8　 9．2　 10．31°
　　二、11．B　 12．D　 13．B　 14．D　 15．A　 16．B 17．D　 18．B

三、19．证明：
　　∵　ED∥BC
　　∴　∠EDB＝∠DBC
　　又∵　BD平分∠ABC
　　∴　∠ABD＝∠CBD
　　∴　∠ABD＝∠EDB
　　∴　ED＝EB
　　同理：FD＝FC．
　　而EF＝ED—FD
　　∴　EF＝BE-CF
　　20．解：（1)共有七个三角形,它们是：△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC、△AFG．
　　（2)有相似三角形，它们是：
　　△ADE∽△BAE，△BAE∽△CDA，△ADE∽△CDA(或△ADE∽△BAE∽△CDA）
21．(1)计算两组方差得:S甲2＝172，S乙2＝256．因此甲组成绩比乙组波动要小．
　　（2)甲组众数为90，乙组众数为70，故甲组成绩好．
　　（3）以60分为及格成绩线，甲组及格率为96%，乙组及格率为92%，因此甲组成绩好．
　　(4）若规定100分为一等奖，90分为二等奖，80分为三等奖,则甲组获奖率为66%，乙组为52％．
　　(5）仍以上述规定一等奖，则乙组获奖人数为12人,甲组为6人,因此乙组好．
　　(6）如果以90分为分数线选拔科技骨干，那么乙组有24人入选，甲组有20人入选，故乙组好.
　　22．解：原式＝［＋］·
　　＝（＋)·
　　＝·
　　＝
　　取a＝代入原式
原式＝2-
　23、设这批货物共有T吨,甲车每次运t甲吨，乙车每次运t乙吨．
　　(1）∵　2a·t甲＝T,a·t乙＝T，
　　∴　t甲∶t乙＝1∶2
　　故乙车每次运货量是甲车的2倍．
　　（2)设甲车每次运货量是丙车每次运货量的n倍，则乙车每次运货量是丙车每次运货量的2n倍，则有180＋＝270＋,解得n＝
　　∴　这批货物总量为：180＋180×2＝540(吨）
　　∴　甲车运180吨，丙车运540—180＝360（吨)
　　∴　丙车每次运货量也是甲车的2倍．
∴　甲车车主应得运费540××20＝2160(元）
乙、丙两车车主各得运费540××20＝4320（元)．
　　24、(1）＝　 (2)1(图略) (3)3，如图

　　（4)以AB为边的矩形周长最小．
　　设矩形BCED、ABMN、ACHG的周长为L1，L2，L3，AB＝a，AC＝b，BC＝c
　　易知这三个矩形的面积相等，令其面积为S，
　　∴　L1＝＋2a，L2＝＋2c,
　　L3＝＋2b．
　　∵　L1—L2＝2(a—c)
　　∵　ac＞S，a＞c
　　∴　L1＞L2　 同理L3＞L2
　　∴　L1＞L3＞L2，以AB为边长的矩形周长最短．