第一章热力学的基本规律课后作业及答案.doc

第一章 热力学的基本规律11 试求理想气体的体胀系数a，压强系数b和等温压缩系数kT。解：已知理想气体的物态方程为由此得到 体胀系数，压强系数等温压缩系数1.2试证明任何一种具有两个独立参量的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数，根据下述积分求得： 如果，试求物态方程。解 以为自变量，物质的物态方程为其全微分为 (1)全式除以，有根据体胀系数和等温压缩系数的定义，可将上式改写为 (2)有 (3)若，式(3)可表示为 (4)积分 (5)1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为和，和可近似看作常量，今使铜块加热至。问（1压强要增加多少才能使铜块体积不变？（2若压强增加，铜块的体积改多少解：（1）有知，当时，有故 即 分别设为，由定义得： 所以，1.4 理想气体，在的恒温下发生膨胀，其压强由准静态地降到，求气体所做的功和所吸取的热量。解 将气体的膨胀过程近似看作准静态过程。根据式(1.4.2)，在准静态等温过程中气体体积由膨胀到，外界对气体所做的功为气体所做的功是上式的负值，将题给数据代入，得在等温过程中理想气体的内能不变，即根据热力学第一定律(式(1.5.3)，气体在过程中吸收的热量为1.5在下，压强在0至之间，测得水的体积为如果保持温度不变，将的水从加压至，求外界所做的功。 解 将题中给出的体积与压强关系记为 (1)由此易得 (2)保持温度不变，将的水由加压至，外界所做的功为 在上述计算中我们已将过程近似看作准静态过程。1.6在和下，空气的密度为。空气的定压比热容，。今有的空气，试计算：(a)若维持体积不变，将空气由加热至所需的热量。 (b)若维持压强不变，将空气由加热至所需的热量。 (c)若容器有裂缝，外界压强为，使空气由缓慢地加热至所需的热量。 解 (a)由题给空气密度可以算得空气的质量为定容比热容可由所给定压比热容算出 维持体积不变，将空气由加热至所需热量为(b)维持压强不变，将空气由加热至所需热量为 (c)若容器有裂缝，在加热过程中气体将从裂缝漏出，使容器内空气质量发生变化根据理想气体的物态方程为空气的平均摩尔质量，在压强和体积不变的情形下，容器内气体的质量与温度成反比。以、表示气体在初态的质量和温度，表示温度为时气体的质量，有所以在过程(c)中所需的热量为将所给数据代入，得1.7抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能与原来在大气中的内能之差为，其中是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。解 将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能与其原来在大气中的内能由式(1.5.3) (1)确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，。过程中外界对系统所做的功可以分为和两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强可以认为没有变化，即过程是等压的(但不是准静态的)。过程中大气对系统所做的功为 另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功变换，则因此式(1)可表为 (2)如果气体是理想气体，根据式(1.3.11)和(1.7.10)，有 (3) ， (4)式中是系统所含物质的量。代入式(2)即有 (5)活门是在系统的压强达到时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作，其物态方程为 (6)与式(3)比较，知 (7)1.8满足PVn=C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明，理想气体在多方过程中的热容量为解法一： 理想气体多方过程 P V = RT P V n = C 有 所以 另一方面，理想气体 所以得 ， 证毕解法二：根据热力学第一定律，有利用理想气体的物态方程，可将可化为 (1)将上式微分，得 (2)将(2)代入(1)式，得，由于，即得1.10 假设理想气体的Cp和CV之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。该关系试中要用到一个函数F(T)，其表达式为：解：准静态绝热过程中： （1）对于理想气体，由焦耳定律知内能的全微分为 (2)物态方程 （3）（2），（3）代入（1）得： （其中） 关系式为T的函数 为T的函数。 1.11利用上题的结果证明，当是温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为。解 在是温度的函数的情形下，1.9就理想气体卡诺循环得到的式(1.6.18)(1.6.21)仍然成立，即仍有 (1)， (2) (3)对于状态1、4和2、3有下面的关系： (4) (5) 从这两个方程消去和，得 (6)故 (7)所以在是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为 (8)1.13热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为。试根据克劳修斯不等式证明，热机的效率不超过。解 根据克劳修斯不等式(1.9.4)，有 (1) 式中是热机从温度为的热源吸取的热量(吸热为正，放热为负)。将热量重新定义，可以将式(1)改写为 (2)式中是热机从热源吸取的热量，是热机在热源放出的热量，恒正。将式(2)改写为 (3)假设热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为，必有 故由式(3)得 (4)定义为热机在过程中吸取的总热量，为热机放出的总热量，则式(4)可表为 (5)或 (6)根据热力学第一定律，热机在循环过程中所做的功为热机的效率为 (7)1.14 理想气体分别经过等压过程和等容过程，温度由升至。假设是常数，试证明前者的熵增加值为后者的倍。 解 根据式(1.10.5)，理想气体的熵函数可表达为 (1)在等压过程中温度由，升到时，熵增加值为 (2)根据式(1.10.2)，理想气体的熵函数也可表达为 (3)在等容过程中温度由，升到时，熵增加值为 (4)所以 (5)1.15温度为的水与温度为的恒温热源接触后，水温达到。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何使水温从升至?已知水的比热容为。解 的水与温度为的恒温热源接触后水温升为，这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在与之间。令水依次从这些热源吸热，使水温由升至。在这可逆过程中，水的熵变为 (1)水从升温至所吸收的总热量为 为求热源的熵变，可令热源向温度为的另一热源放出热量。在这可逆过程中，热源的熵变为 (2)由于热源的变化相同，式(2)给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为 (3) 为使水温从升至而参与过程的整个系统的熵保持不变，应令水与温度分布在与之间的一系列热源吸热。水的熵变仍由式(2)给出。这一系列热源的熵变之和为 (4)参与过程的整个系统的总熵变为 (5)1.16的电流通过一个的电阻器，历时。 (a)若电阻器保持为室温，试求电阻器的熵增加值。 (b)若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为，电阻器的质量为，比热容为，问电阻器的熵增加值为多少? 解 (a)以，为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度也保持为室温不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。 (b)如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热将全部被电阻器吸收而使其温度由升为，所以有，故1.17均匀杆的温度一端为，另一端为。试计算达到均匀温度后的熵增加值。解 以表示杆的长度。杆的初始状态是端温度为，端温度为，温度梯度为，(设)。这是一个非平衡状态。通过均匀杆中的热传导过程，最终达到具有均匀温度的平衡状态。为求这一过程的熵变，我们将杆分为长度为的许多小段。位于到的小段，初温为 (1)这小段由初温变到终温后的熵增加值为 (2)其中是均匀杆单位长度的定压热容量。 根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为式中是杆的定压热容量。10