资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，点A，B，C，D都在上，OA⊥BC，∠AOB=40°，则∠CDA的度数为( )
A．40° B．30° C．20° D．15°
2．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． ，在格点上，现将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段，连接，．若四边形是正方形，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．三角形的一条中位线将这个三角形分成的一个小三角形与原三角形的面积之比等于（ ）
A．1： B．1：2 C．1：4 D．1：1.6
4．连接对角线相等的任意四边形各边中点得到的新四边形的形状是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
5．如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝40°，则∠ACO＝（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
6．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．下列物体的光线所形成的投影是平行投影的是（ ）
A．台灯 B．手电筒 C．太阳 D．路灯
8．已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2
9．在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，中，，顶点，分别在反比例函数（）与（）的图象上.则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系中，二次函数的图像向右平移2个单位后的函数为( )
A． B．
C． D．
12．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK= ．
14．如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点在上，轴于点交于点轴于点交于点，则四边形的面积为_______________________．
15．x台拖拉机，每天工作x小时，x天耕地x亩，则y台拖拉机，每天工作y小时，y天耕____亩．
16．若最简二次根式与是同类根式，则________.
17．已知：在⊙O中，直径AB＝4，点P、Q均在⊙O上，且∠BAP＝60°，∠BAQ＝30°，则弦PQ的长为_____．
18．抛物线y=﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线________ ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）学校为了解九年级学生对“八礼四仪”的掌握情况，对该年级的500名同学进行问卷测试，并随机抽取了10名同学的问卷，统计成绩如下：
得分
10
9
8
7
6
人数
3
3
2
1
1
（1）计算这10名同学这次测试的平均得分；
（2）如果得分不少于9分的定义为“优秀”，估计这 500名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数；
（3）小明所在班级共有40人，他们全部参加了这次测试，平均分为7.8分．小明的测试成绩是8分，小明说，我的测试成绩在班级中等偏上，你同意他的观点吗？为什么？
20．（8分）如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作的垂线交的延长线于点，过点作的切线，交于点．
（1）求证：；
（2）填空：
①当的度数为 时，四边形为正方形；
②若，，则四边形的最大面积是 ．
21．（8分）如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣4，﹣1）．
（1）画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AB2C2，画出△AB2C2并求线段AB扫过的面积．
22．（10分）已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D，
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（10分）小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏与底板所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图如图2. 使用时为了散热，她在底板下垫入散热架后，电脑转到位置（如图3），侧面示意图为图4. 已知，于点，.
（1）求的度数.
（2）显示屏的顶部比原来的顶部升高了多少？
（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏应绕点'按顺时针方向旋转多少度？并说明理由.
24．（10分）先化简，再求值：,其中a=2.
25．（12分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB＋cosB的值．
26．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度，（结果精确到0.01（sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】先根据垂径定理由OA⊥BC得到，然后根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵OA⊥BC，
∴，
∴∠ADC=∠AOB=×40°=20°．
故选：C.
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
2、A
【分析】根据线段的平移规律可以看出，线段AB向下平移了1个单位，向左平移了2个单位，相加即可得出．
【详解】解：根据线段的平移规律可以看出，线段AB向下平移了1个单位，向左平移了2个单位，得到A＇B＇，则m+n=1．
故选：A
【点睛】
本题考查的是线段的平移问题，观察图形时要考虑其中一点就行.
3、C
【分析】中位线将这个三角形分成的一个小三角形与原三角形相似，根据中位线定理，可得两三角形的相似比，进而求得面积比．
【详解】根据三角形中位线性质可得，小三角形与原三角形相似比为1：2，则其面积比为：1：4，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形中位线的性质，比较简单，关键是知道面积比等于相似比的平方．
4、B
【分析】先根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理证得此四边形为平行四边形，再判断一组邻边相等，所以根据菱形的定义可知该中点四边形是菱形．
【详解】如图所示，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴HG、EF分别为△ACD与△ABC的中位线，
∴HG∥AC∥EF，，
∴四边形EFGH是平行四边形；
同理可得，，
∵AC=BD，
∴EH=GH，
∴四边形EFGH是菱形；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半．解答此题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合思想解答．
5、D
【分析】根据圆周角的性质可得∠ABC=∠D,再根据直径所对圆周角是直角,即可得出∠ACO的度数．
【详解】∵∠D＝40°，
∴∠AOC＝2∠D＝80°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝(180°﹣∠AOC)＝50°，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆周角的性质,关键在于熟练掌握圆周角的性质,特别是直径所对的圆周角是直角．
6、D
【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．
【详解】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
．
故选D．
【点睛】
考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
7、C
【解析】太阳相对地球较远且大，其发出的光线可认为是平行光线.
【详解】台灯、手电筒、路灯发出的光线是由点光源发出的光线，所形成的投影是中心投影；太阳相对地球较远且大，其发出的光线可认为是平行光线.
故选C
【点睛】
本题主要考查了中心投影、平行投影的概念.
8、D
【分析】把函数解析式整理成顶点式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【详解】解：∵y＝x2−4x＋2＝（x−2）2−2，
∴在−1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值−2，
当x＝−1时，有最大值为y＝9−2＝1．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键．
9、B
【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论；当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，
观察只有B选项符合，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，熟练掌握它们的性质才能灵活解题．
10、C
【解析】 【分析】过A作AF垂直x轴，过 B点作BE垂直与x轴，垂足分别为F， E，得出 ，可得出，再根据反比例函数的性质得出两个三角形的面积，继而得出两个三角形的相似比，再逐项判断即可．
【详解】解：过A作AF垂直x轴，过 B点作BE垂直与x轴，垂足分别为F， E，
由题意可得出 ，
继而可得出
顶点，分别在反比例函数 （）与 （）的图象上
∴
∴
∴
∴
A. ，此选项错误，
B. ，此选项错误；
C. ，此选项正确；
D. ，此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的性质以及解直角三角形，解此题的关键是利用反比例函数的性质求出两个三角形的相似比．
11、B
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律，求出平移后的函数表达式即可；
【详解】解：根据“左加右减，上加下减”得，
二次函数的图像向右平移2个单位为：；
故选B.
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何变换，掌握二次函数与几何变换是解题的关键.
12、B
【解析】根据左视图的定义: 由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线),判断即可.
【详解】解:根据左视图的定义可知: 该几何体的左视图为:
故选:B.
【点睛】
此题考查的是判断一个几何体的左视图,掌握左视图的定义: 由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线),是解决此题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、．
【详解】连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，
由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，
∴∠ABE=60°，
在Rt△ABH和Rt△EBH中，
∵BH=BH，AB=EB，
∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），
∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，
∴AH=AB•tan∠ABH==1，
∴EH=1，
∴FH=，
在Rt△FKH中，∠FKH=30°，
∴KH=2FH=，
∴AK=KH﹣AH==；
故答案为．
考点：旋转的性质．
14、
【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=，S矩形PCOD=3，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积．
【详解】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S△AOC=S△BOD=×=，S矩形PCOD=3，
∴四边形PAOB的面积=3－－=1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了反比函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15、
【分析】先求出一台拖拉机1小时的工作效率，然后求y台拖拉机在y天，每天工作y小时的工作量．
【详解】一台拖拉机1小时的工作效率为：
∴y台拖拉机，y天，每天y小时的工作量=
故答案为：
【点睛】
本题考查工程问题，解题关键是求解出一台拖拉机1小时的工作效率．
16、1
【分析】根据同类二次根式的定义可得a+2=5a-2，即可求出a值.
【详解】∵最简二次根式与是同类根式，
∴a+2=5a-2，
解得：a=1.
故答案为：1
【点睛】
本题考查了同类二次根式：把各二次根式化为最简二次根式后若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式；熟记定义是解题关键.
17、2或1
【分析】当点P和Q在AB的同侧，如图1，连接OP、OQ、PQ，先计算出∠PAQ＝30°，根据圆周角定理得到∠POQ＝60°，则可判断△OPQ为等边三角形，从而得到PQ＝OP＝2；当点P和Q在AB的同侧，如图1，连接PQ，先计算出∠PAQ＝90°，根据圆周角定理得到PQ为直径，从而得到PQ＝1．
【详解】解：当点P和Q在AB的同侧，如图1，连接OP、OQ、PQ，
∵∠BAP＝60°，∠BAQ＝30°，
∴∠PAQ＝30°，
∴∠POQ＝2∠PAQ＝2×30°＝60°，
∴△OPQ为等边三角形，
∴PQ＝OP＝2；
当点P和Q在AB的同侧，如图1，连接PQ，
∵∠BAP＝60°，∠BAQ＝30°，
∴∠PAQ＝90°，
∴PQ为直径，
∴PQ＝1，
综上所述，PQ的长为2或1．
故答案为2或1．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
18、x=1
【解析】根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=即可求解．
【详解】抛物线y=−2x2+4x−1的对称轴是直线x=.
故答案为：x=1.
【点睛】
本题考查了二次函数的对称轴. 熟记二次函数y=ax2+bx+c的对称轴：x=是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）8.6；（2）300；（3）不同意，理由见解析.
【分析】（1）根据加权平均数的计算公式求平均数；（2）根据表中数据求出这10名同学中优秀所占的比例，然后再求500名学生中对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数；（3）根据平均数和中位数的意义进行分析说明即可.
【详解】解：（1）
∴这10名同学这次测试的平均得分为8.6分；
（2）（人）
∴这 500名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数为300人；
（3）不同意
平均数容易受极端值的影响，所以小明的测试成绩为8分，并不一定代表他的成绩在班级中等偏上，要想知道自己的成绩是否处于中等偏上，需要了解班内学生成绩的中位数.
【点睛】
本题考查加权平均数的计算，用样本估计总体以及平均数及中位数的意义，了解相关概念准确计算是本题的解题关键.
20、（1）证明见解析；（2）①；②1．
【分析】(1)根据已知条件得到CE是的切线．根据切线的性质得到DF=CF,由圆周角定理得到∠ADC=10°，于是得到结论;
(2)①连接OD,根据圆周角定理和正方形的判定定理即可得到结论;
②根据圆周角定理得到∠ADC=∠ABC=10°，根据勾股定理得到 根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵是的直径，，
∴是的切线．
又∵是的切线，且交于点，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
(2)解:①当∠ACD的度数为45°时，四边形ODFC为正方形;
理由:连接OD,
∵AC为的直径,
∴∠ADC=10°,
∵∠ACD=45° ,
∴∠DAC=45°,
∴∠DOC=10° ,
∴∠DOC=∠ODF=∠OCF=10°, ．
∵OD=OC,
∴四边形ODFC为正方形;
故答案为：45°
②四边形ABCD的最大面积是1 ,
理由: ∵AC为的直径,
∴∠ADC=∠ABC=10°,
∵AD=4，DC=2 ,
∴,
∴要使四边形ABCD的面积最大，则△ABC的面积最大,
∴当△ABC是等腰直角三角形时，△ABC的面积最大，
∴四边形ABCD的最大面积：
故答案为：1
【点睛】
本题以圆为载体，考查了圆的切线的性质、平行线的判定、平行四边形的性质、直角三角形全等的判定和45°角的直角三角形的性质，涉及的知识点多，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21、（1）见解析；（2）
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出B，C的对应点B2，C2即可，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△AB2C2即为所求．线段AB扫过的面积＝＝
【点睛】
本题考查作图旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22、（2）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．（2）证明见解析；（2）点P坐标为（，）或（2，2）．
【解析】试题分析：（2）将A（﹣2，0）、C（0，2），代入二次函数y=ax2+bx﹣2a，求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
试题解析：（2）∵二次函数y=ax2+bx﹣2a经过点A（﹣2，0）、C（0，2），∴将A（﹣2，0）、C（0，2），代入，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2；（2）如图，连接DC、BC、DB，由y=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣2）2+4得，D点坐标为（2，4），∴CD==，BC==2，BD==2，∵CD2+BC2=（）2+（2）2=20，BD2=（2）2=20，∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；（2）y=﹣x2+2x+2对称轴为直线x=2．假设存在这样的点P,①以CD为底边，则P2D=P2C，设P2点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P2C2=x2+（2﹣y）2，P2D2=（x﹣2）2+（4﹣y）2，因此x2+（2﹣y）2=（x﹣2）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P2点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x2+2x+2，即x2﹣2x+2=0，解得x2=，x2=＜2，(不满足在对称轴右侧应舍去），∴x=，∴y=4﹣x=，即点P2坐标为（，）．②以CD为一腰，∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x=2对称，此时点P2坐标为（2，2）．∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，2）．
考点：2.二次函数图象性质；2.等腰三角形性质；2.直角三角形的判定.
23、（1）；（2）；（3）30°，理由见解析
【分析】（1）先求出该角的正弦值，根据特殊函数值求出角的度数，即可得出答案；
（2）先求出BD的长度，再证明和互补，即三点在同一条直线上，故与BD的差即为所求；
（3）先根据求出的度数，再根据求出的度数即可得出答案.
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴.
（2）如图，过点作交的延长线于点.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴显示屏的顶部比原来顶部升高了.
（3）显示屏应绕点按顺时针方向旋转30°. 理由如下：
设电脑显示屏绕点按顺时针方向旋转角至处，.
∵显示屏与水平线的夹角仍保持120°，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，即，
∴显示屏应绕点按顺时针方向旋转30°.
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的应用，难度系数较高，解题关键是将生活中的实际问题转化为数学模型进行求解.
24、，2
【分析】先根据分式的运算顺序和运算法则化简原式，再将a=2代入计算即可；
【详解】解：原式=
；
当a=2时，原式值=；
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的运算顺序和运算法则是解题的关键.
25、.
【分析】试题分析：先在Rt△ACD中，由正切函数的定义得tanA=，求出AD=4，则BD=AB﹣AD=1，再解Rt△BCD，由勾股定理得BC==10，sinB=，cosB=，由此求出sinB+cosB=．
【详解】解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴tanA=，
∴AD=4，
∴BD=AB﹣AD=12﹣4=1．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=1，CD=6，
∴BC==10，
∴sinB=，cosB=，
∴sinB+cosB==．
故答案为
考点：解直角三角形；勾股定理．
26、32.05米
【分析】先在Rt△ABD中，用三角函数求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函数即可得出结论．
【详解】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，
∴AD＝ABsin∠ABD＝10×sin30°＝5（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝9°，sin9°＝，
∴AC＝＝≈32.05（m），
答：改造后的斜坡AC的长度为32.05米．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用锐角三角函数关系得出是解题关键．
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