福建省莆田市七中2022-2023学年高一上数学期末统考模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知，，则
A. B.
C. D.，
2．已知函数则=（ ）
A. B.9
C. D.
3．已知,,,则的大小关系
A. B.
C. D.
4．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）

A. B.
C. D.
5．已知函数函数有四个不同的零点，，，，且，则（）
A.1 B.2
C.-1 D.
6．下列各组函数是同一函数的是（）
①与②与
③与④与
A.②④ B.③④
C.②③ D.①④
7．已知x，，且，则
A. B.
C. D.
8．设，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
9．下列说法不正确的是（）
A.奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点 B.偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和y轴相交
C.若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，则 D.若奇函数的图象与y轴相交，交点不一定是原点
10．已知集合，集合，则
A. B.
C. D.
11．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵．那么前3个儿子分到的绵的总数是（ ）
A.89斤 B.116斤
C.189斤 D.246斤
12．已知全集，，，则()=（）
A.{} B.{}
C.{} D.{}
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．若函数（，且）在上是减函数，则实数的取值范围是__________.
14．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t(单位：h)间的关系为，其中，是正的常数.如果在前5h消除了10%的污染物，那么10h后还剩百分之几的污染物________.
15．若角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则的值为___________.
16．_____
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知奇函数（a为常数）
（1）求a的值；
（2）若函数有2个零点，求实数k的取值范围；
18．函数的部分图象如图所示.

（1）求、及图中的值；
（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值
19．已知全集，函数的定义域为集合，集合
（1）若求：
（2）设；.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验.前一天观测得到该微生物的群落单位数量分别为8，14，26.根据实验数据，用y表示第天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①；②，其中且.
（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；
（2）若第4天和第5天观测得到的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500.
21．若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的-增长函数.
(1)已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由；
(2)已知函数，且是区间上的-增长函数，求正整数的最小值；
(3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围.
22．如图，边长为的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，分别为的中点.

(1)求四棱锥的体积；
(2)求证：平面；
(3)试问：在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，试指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、D
【解析】∵，，∴，，
∴．故选
2、A
【解析】根据函数的解析式求解即可.
【详解】，
所以，
故选A
3、D
【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出
【详解】∵0＜a＝0.71.3＜1，b＝30.2＞1，c＝log0.25＜0，
∴c＜a＜b
故选D
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
4、C
【解析】先求出，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出.
【详解】由题意可得：，且，
所以，
所以，
故选：C
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.
5、D
【解析】将问题转化为两个函数图象的交点问题，然后结合图象即可解答.
【详解】有四个不同的零点，，，，即方程有四个不同的解
的图象如图所示，由二次函数的对称性，可得．因为，
所以，故

故选：D
6、B
【解析】利用函数的三要素：定义域、值域、对应关系相同即可求解.
【详解】对于①，与，定义域均为，
但对应,两函数的对应关系不同，故①不是同一函数；
对于②，的定义域为，的定义域为，
故②不是同一函数；
对于③，与定义域均为，函数表达式可化简为，
故③两函数为同一函数；
对于④，根据函数的概念，与，
定义域、对应关系、值域均相同，故④为同一函数，
故选：B
【点睛】本题考查了函数的三要素，函数相同只需函数的三要素：定义域、值域、对应关系相同，属于基础题.
7、C
【解析】原不等式变形为，由函数单调递增，可得，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性逐一分析四个选项即可得答案
【详解】函数为增函数，
，即，可得，
由指数函数、对数函数、幂函数的单调性可得，B，D错误，
根据递增可得C正确，故选C
【点睛】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性，是中档题．函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值
8、B
【解析】利用“”分段法确定正确选项.
【详解】，，
所以.
故选：B
9、D
【解析】对于AB，举例判断，对于CD根据函数奇偶性和对称性的关系分析判断即可
【详解】对于A，是奇函数，其图象关于原点对称，但不过原点，所以A正确，
对于B，是偶函数，其图象关于轴对称，但与轴不相交，所以B正确，
对于C，若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，则两个交点关于轴对称，所以，所以C正确，
对于D，若奇函数与y轴有交点，则，故，所以函数必过原点，所以D错误，
故选：D
10、B
【解析】交集是两个集合的公共元素，故.
11、D
【解析】利用等差数列的前项和的公式即可求解.
【详解】用表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，
由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，
所以，解之得
所以，即前3个儿子分到的绵是246斤
故选：D
12、D
【解析】先求得，再求与集合的交集即可.
【详解】因为全集，，，
故可得，则().
故选：.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】根据分段函数的单调性，列出式子，进行求解即可.
【详解】由题可知：函数在上是减函数
所以，即
故答案为：
14、81%
【解析】根据题意，利用函数解析式，直接求解.
【详解】由题意可知,，所以.
所以10小时后污染物含量，
即10小时后还剩81%的污染物.
故答案为:81%
15、##
【解析】直接根据三角函数定义求解即可.
【详解】解：因为角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，
所以根据三角函数单位圆的定义得
故答案为：
16、
【解析】利用三角函数公式化简,即可求出结果.
【详解】，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查运用三角函数公式化简求值，倍角公式的应用，考查运算求解能力.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）
（2）
【解析】（1）由奇函数中求解即可；
（2）函数有2个零点，可转为为也即函数与的图象有两个交点，结合图象即可求解
【小问1详解】
由是上的奇函数，可得，
所以，解得，经检验满足奇函数，
所以；
【小问2详解】
函数有2个零点，
可得方程函数有2个根，即有2个零点，
也即函数与的图象有两个交点，由图象可知

所以实数得取值范围是
18、（1），，；（2），.
【解析】（1）由可得出，结合可求得的值，由结合可求得的值，可得出函数的解析式，再由以及可求得的值；
（2）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，由可求得的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得函数在区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）由题图得，，，，
又，，得，，
又，得，.
又，且，，
，得，
综上所述: ，，；
（2），
，，
所以当时，；当时，
【点睛】本题考查利用图象求正弦型函数解析式中的参数，同时也考查了正弦型函数在区间上最值的计算，考查计算能力，属于中等题.
19、（1）；（2）或.
【解析】（1）分别求解集合，再求补集和交集即可；
（2）由，根据条件得是的真子集，进而得或.
【详解】（1）由得，解得，所以，
当时，，
所以.
（2），
因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
所以或，
解得或
20、（1）函数模型①，函数模型②
（2）函数模型②更合适，从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500
【解析】（1）可通过已知条件给到的数据，分别带入函数模型①和函数模型②，列出方程组求解出参数即可完成求解；
（2）将第4天和第5天得到的数据与第（1）问计算出的函数模型①和函数模型②的表达式计算出的第4天和第5天的模拟数据对比，即可做出判断并计算.
【小问1详解】
对于函数模型①：把及相应y值代入得
解得，所以.
对于函数模型②：把及相应y值代入得
解得，所以.
【小问2详解】
对于模型①，当时，，当时，，故模型①不符合观测数据；
对于模型②，当时，，当时，，符合观测数据，
所以函数模型②更合适
要使，则，
即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500.
21、 (1)是，不是，理由见解析；(2)；(3).
【解析】(1)利用给定定义推理判断或者反例判断而得；
(2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；
(3)根据题设条件，写出函数f(x)的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求.
【详解】(1)g(x)定义域R，，g(x)是，
取x=-1，，h(x)不是，
函数是区间上的增长函数，函数不是；
(2)依题意，，
而n>0，关于x的一次函数是增函数，x=-4时，
所以n2-8n>0得n>8，从而正整数n的最小值为9；
(3)依题意，，而，
f(x)在区间[-a2,a2]上是递减的，则x，x+4不能同在区间[-a2,a2]上，4>a2-(-a2)=2a2，
又x∈[-2a2，0]时，f(x)≥0，x∈[0，2a2]时，f(x)≤0，
若2a2<4≤4a2，当x=-2a2时，x+4∈[0，2a2]，f(x+4)≤f(x)不符合要求，
所以4a2<4，即-1<a<1.
因为：当4a2<4时，①x+4≤-a2，f(x+4)>f(x)显然成立；
②-a2<x+4<a2时，x<a2-4<-3a2，f(x+4)=-(x+4)>-a2，f(x)=x+2a2<-a2，f(x+4)>f(x)；
③x+4>a2时，f(x+4)=(x+4)-2a2>x+2a2≥f(x)，
综上知，当-1<a<1时，为上的增长函数，
所以实数a的取值范围是(-1，1).
【点睛】(1)以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决；
(2)分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论.
22、（1）；（2）证明见解析；（3）存在，为中点，证明见解析.
【解析】（1）由等腰三角形三线合一性质和面面垂直性质定理可证得平面，由棱锥体积公式可求得结果；
（2）连结交于点，由三角形中位线性质可证得，由线面平行判定定理可得到结论；
（3）当为中点时，由正方形的性质、线面垂直的性质，结合线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定定理可证得结论.
【详解】（1）为中点，为正三角形，.
平面平面，平面平面，平面，
平面.
,,.
（2）证明：连结交于点，连结.
由四边形为正方形知点为的中点，又为的中点，，
平面，平面，平面.
（3）存在点，当为中点时，平面平面.
证明如下：因为四边形是正方形，为的中点，
，
由(1)知：平面，平面，，
又，平面.
平面，平面平面.

【点睛】关键点点睛：本题第三问考查了与面面垂直有关的存在性问题的处理，解题关键是能够根据平面确定只要在上，必有，由此只需找到与面中的另一条与相交的直线垂直即可，进而锁定的位置.