电路(第五版).-邱关源原著-电路教案-第4章..doc

(完整word)电路(第五版). 邱关源原著 电路教案,第4章.

第4章 电路定理

l 本章重点
1、叠加定理的应用及注意事项；
2、替代定理的含义；
3、应用戴维南、诺顿定理分析电路；
4、最大功率传输定理Maximum power transfer theorem的内容。

l 本章难点
1、含有受控源电路应用叠加定理；
2、求解含有受控源电路的戴维南、诺顿等效电路。

l 教学方法
本章讲述了电路理论的一些重要定理，共用6课时。采用讲授为主，自学为辅的教学方法。为使学生能理解定理内容,并应用定理来分析问题和解决问题。在课堂上讲述了大量例题,课下布置一定的作业，使学生能学会学懂,由于课时量偏紧，对于定理的证明要求自学。

l 授课内容

4.1 叠加定理
线性函数：
-可加性Additivity
—齐次性Homogeneity
—叠加性Superposition
（、为任意常数Arbitrary Constant)

一、定理
对于任一线性网络，若同时受到多个独立电源的作用，则这些共同作用的电源在某条支路上所产生的电压或电流等于每个独立电源各自单独作用时，在该支路上所产生的电压或电流分量的代数和.

例1：试用叠加定理计算图4—1（a)电路中3Ω电阻支路的电流I。
_
2Ω
6Ω
3Ω
4V
6V
+
_
+
I

图4—1（a）

_
2Ω
6Ω
3Ω
4V
+

6V
+

2Ω
3Ω
6Ω
_
5/6A

二、注意事项
（1）只适用于线性电路中求电压、电流，不适用于求功率；也不适用非线性电路；
(2)某个独立电源单独作用时，其余独立电源全为零值,电压源用“短路"替代，电流源用“断路”替代；
（3)受控源不可以单独作用，当每个独立源作用时均予以保留；
（4）“代数和"指分量参考方向与原方向一致取正，不一致取负。
U
2Ix
Ix
_
10V
+
2Ω
1Ω
+
_
3A
+
_
例2:电路如图4—2(a）,试用叠加法求和。
图4—2（a）
10V
2Ω
+
_

1Ω

+
_
+
_

解：第一步10V电压源单独作用时如图4—2（b).
图4-2（b）
（受控源须跟控制量作相应改变）

_

2Ω
1Ω
+
3A
+
_
第二步3A电流源单独作用时如图4—2(c)。
图4-2(c)
（受控源须跟控制量作相应改变)
第三步 10V电压源和3A电流源共同作用时如图4-2（a）。

例3：电路如图4-4（a)，已知，当3A电流源移去时,2A电流源所产生的功率为28W，＝8V，当2A电流源移去时，3A电流源产生的功率为54W，＝12V，求当两个电流源共同作用时各自产生的功率。
2A
U2
+
_
线 性 电 阻 网 络
3A
U3
+
_

图4—4（a)
解：由问题出发，若要求出各电源发出的功率The power to give out时，最关键的是要求得两个电流源共同作用时，电流源各自的端电压。如何求得端电压？显然,所给的电路与以前涉及的电路存在明显差别，它不再有具体结构，也即无法列写明确的电路方程组进行求解。而电路定理此时便提供了分析途径。利用叠加定理Superposition theorem和所提供的已知条件可以得知：
2A
U2
+
_
线 性 电 阻 网 络
＋
U‘3
－
‘
当2A电流源单独作用时，电路如图4—4（b）。
图4—4（b)
，
当3A电流源单独作用时，电路如图4—4(c)。
3A
线 性 电 阻 网 络
＋
U“2
－
＋
U“3
－
图4—4（c）
，
当两个电流源共同作用时，,
则,

例4：电路如图4—5所示。(1）中仅含线性电阻Linear resistor,若,时，；若，时，。当时，
N
Ux
+
_
IS2
•
•
IS1
（2)若中含一个独立源,时，;（1）中数

据仍有效，求当时,
图4—5

解：(1）由题意可知Ux应该是Is1和Is2共同作用所引起的响应，所以Ux可以表示为：

其中：aIs1可看作为是Is1单独作用时引起的分量Ux´(注:不变）；而bIs2可看作是Is2单独作用引起的分量Ux´´.根据已知条件即可得到一个二元一次方程组Binary linear equation group

当Is1=Is2=20A时，Ux=520+2。520=150V
(2）由于此时N中含有一个电源，则根据叠加定理Superposition theorem有
当时,

时,

4。2 替代定理Substitution Theorem
一 、定理
在任意的线性或非线性网络Linear or nonlinear network中，若已知第K条支路的电压和电流为UK和IK，则不论该支路是什么元件组成的，总可以用下列的任何一个元件去替代。即：
1）电压值为UK的理想电压源；2）电流值为IK的理想电流源；
3)电阻值为UK/IK的线性电阻元件RK。
替代后电路中全部电压和电流都将保持原值不变。
替代定理如图4—2-1(a)所示电路说明。
UK
+
_
IK
N
N
IK
UK
+
_

图4-7(a) 图4-7（b)
IK
IK
N
UK
+
_
IK
IK
N
UK
+
_

图4-7(c) 图4—7（d）

例：如图4—8(a）所示电路中，；
若将图（a）换以电阻,在图（b）中求时，
线 性 电
阻 网 络
I3
(b)
IS
I1
8Ω
(a)
US
+
_
I3
IS
I1
线 性 电
阻 网 络

I1
线 性 电
阻 网 络
I3
(c)
IS
-8I1
+
_

图4—8

解：图（a）中,根据叠加定理得

图（b）中将8Ω电阻用电压源（—8I1）替代如图(c）则

4.3戴维南定理和诺顿定理Thevenin’s theorem and Norton's theorem
一 、定理
对于任一含源线性二端网络，就其两个端钮而言，都可以用一条最简单支路对外部等效.
1． 以一条实际电压源支路对外部等效，其中电压源的电压值等于该含源线性二端网络端钮处开路时的开路电压，其串联电阻值等于该含源线性二端网络中所有独立源令为零时，由端钮处看进去的等效电阻,此即戴维南定理。
2． 以一条实际电流源支路对外部进行等效，其中电流源的电流值等于该含源线性二端网络端钮处短接时的短路电流，其并联电阻的确定同1,此即诺顿定理。
这里。上述定理可用图4—9和图4-10说明。
N
Uk
+
_
Req
Ik
Uk
+
_
UOC
+
_
Req
ISC
Uk
+
_
Ik
•
•
I=0
UOC
+
_
N
ISC
I=0
N
Req
N0

图4—9

US=UOC
RS=Req
+
_
U
＋
－
I
I
U
＋
－
N

戴 维 南 等 效 电 路

•
•
RS=Req
I

IS=ISC

诺 顿 等 效 电 路

图4-10

例1：求图4—11（a）所示电路的戴维南等效电路。
解:在图4-11（a）所示电路中求a、b两点的开路电压Uoc时，可以用前面介绍的支路法、网孔法、节点法、叠加法等方法进行，何种方法较为简便需考虑。显见若用叠加法进行时，仅涉及到常用的分压、分流关系即可，无需列写电路方程组解方程。
当1V电压源单独作用，如图4-11（b)利用分压公式。
1/2V
2/3V
•
•
1Ω
1Ω
1Ω
2Ω
a
b
1Ω
1V
+
_
•
•
•
•
－
＋
－
＋
＋
－

1V
a
b
1A
1Ω
1Ω
1Ω
2Ω
1Ω
+
_
•
•
•
•
•
•

（a） （b）
当1A电流源单独作用,如图4-11（c）利用分流公式。
当1V电压源和1A电流源共同作用，如图4—11（a），由叠加法得
。

a
b
1A
1Ω
1Ω
1Ω
2Ω
1Ω
1A

＋
_
1/3A
2/3A
1/2A
•
•
•
•
•
•

（c)
在图（a）所示电路中令独立源为零时,便成为图（d）的无源电阻网络。1Ω
a
b
1Ω
1Ω
2Ω
1Ω

•
•
•
•
•
•

（d）
∴图（a）的戴维南等效电路应为图（e）。7/6Ω
4/3V
+
_
a
b

（e）
图4—11
结论：与理想电流源串联的元件对外部电路不起作用，可以短接.

例2：求图4-12（a）所示电路的戴维南等效电路。
1Ω
1Ω
2Ω
1Ω
1Ω
2Ω
0.8Ω
1A
1/5V
+
_
a
b
•
•
c
d
•
•
•
•
•
•
•
•

•

图4-12（a）

解:本题可以将原电路分成左右两部分，先求出左面部分电路的戴维南等效电路，然后求出整个电路的戴维南等效电路。

1Ω
1Ω
2Ω
1Ω
1A
c
d
2/5
3/5
•
•
•
•
＋
－
左面部分电路的戴维南等效电路如图图4-12（b)

图4-12（b）
则原电路可等效图4-12（c）
2Ω
2Ω
1/5V
+
_
1/5V
+
_
a
b
•
•
c
d
1Ω
1/5V
+
_
a
b
•
•
、（d）.

图4-12（c） 图4-12(d）
［注意两点]
①与理想电压源并联的电阻对外部电路不起作用，可以断开.
②当两条相同的实际电压源支路并联时,其戴维南等效电路的准确求取。
二 、 定理证明:
现设一个线性含源二端网络与一负载相联如图4-13(a）。当流过负载的电流为I时，则根据替代定理，可以用一个理想电流源替代该负载如图（b）。可见,此时,整个网络就成为一个线性网络。由此,可以利用叠加定理求a、b两点间的电压U。
将上述网络中的独立源分成两组，即线性含源二端网络中的所有独立源为一组,电流源I为一组。
当线性含源二端网络中的独立源共同作用时，电流源I断开，如图（c），此时求得的电压分量，即为a、b支路断开时的开路电压UOC，得.
当电流源I单独作用时，原线性含源二端网络中的所有独立源令为零值，如图（d），此时从a、b两点向左看即为等效电阻，则（注意参考方向).
可见，由叠加定理即可得到a、b两点间的电压为：
由a、b两点间的伏安关系出发,可以构筑一个简单的等效电路，如图（e）。最后将理想电流源用负载替代如图（f)。
线性电路
N
U
+
_
IS=I
线性或非线性
含源或无源
线性
含源
负载
N
•
•
I
U
+
_

替代定理

图（a） 图（b)
Req
_
+
N0
U”
N

＋
－

+

叠加定理

IS=I

图（c） 图（d)
负载
UOC
+
_
U
+
_
I
Req

UOC
U
Req
+
_
I
+
_

替代定理

图（e） 图（f）
图4-13

在等效前后，a、b两点左端的网络对负载的影响总是不变的.而此时被等效的网络内部，其电压、电流的关系一般都是不等效的.
关于诺顿定理的证明可以采用相似的方法进行。

三 、求等效电阻的一般方法:
N0
U
+
_
I
N0
U
+
_
I
１．外加激励法

注意：U与I的方向内部关联

图4-14
2。 开路短路法:
N
UOC
+
_
N
ISC

图4—15
，与的方向在断路与短路支路上关联
说明：求等效电阻时，若电路为纯电阻网络，可以用串、并联化简时，直接用串、并联化简的方法求，无法用串并联化简时，则用一般方法求。当电路中含受控源时，则一定要用一般方法求其戴维南等效电阻.
四、利用戴维南定理分析含受控源的电路
原则：1. 被等效电路内部与负载内部不应有任何联系（控制量为端口U或I除外）
2。 求要用一般方法
例3:电路如图4—16（a）所示,用戴维南定理求电压U。
3Ω
4V
+
_
2Ω
Uoc/4
UOC
+
_
•
•
2Ω
3Ω
6Ω
U/4
4V
+
_
U
+
_
•
•

_
U=0
4V
3Ω
2Ω
+
U/4
+
_
ISC
•
•
U/4
I
•
•
2Ω
3Ω
（a） (b)

+

U

－

(c） （d）

10Ω
6Ω
8V
+
_
+
_
U

(e)
图4—16

解:1. 求，如图（b）所示。
∴
2。 求,如图（c)所示。
则
或如图（d）所示,，
3．求电压U作出戴维南等效电路如图（e）所示。

例4:试求如图4-17(a）所示电路的等效电路.
解：对于较简单的含受控源的电路，若要求出它的戴维南等效电路,可以先直接写出电路端口上电压﹑电流的伏安关系，再由伏安关系去作等效电路.
+
_
2V
2Ω
2Ω
2I
2V
_
+
I
U
+
_
8Ω
I
U
+
_
•
•

（a) 图4-17 (b)

由端口的伏安关系可以求得出 Req=8 ， Uoc=0
一步法 （利用U－I关系）
则得等效电路如图4-17（b)所示.
五、最大功率传输
我们知道一个含源线性二端网络，总可以用一条戴维南等效电路对外部等效。当这个含源线性二端网络外接一个负载电阻时,如图4—18（a）所示,其中等效电源发出的功率将由等效电阻与负载电阻共同所吸收,如图4—18(b)所示。在电子技术中，总希望负载电阻上所获得的功率越大越好。那么，在什么条件下,负载电阻方可获得最大功率？负载电阻的最大功率值Pmax=？
Req
UOC
+
_
RL
I
N
I
RL

（a） （b）

图4—18
我们知道: 而

利用数学中求极值的方法：

令，得
即：当负载电阻RL与戴维南等效电阻Req相等时,负载电阻可从含源线性二端网络获得最大功率。此时最大功率为：

而戴维南等效电路中电源Uoc的效率

可见此时等效电源Uoc的效率只达50％，而Uoc所产生的功率有一半白白地损耗在等效电阻Req上,这在电力系统中是决不允许的，故电力系统中通常取RL>〉Req.负载电阻吸收的功率和电源Uoc的效率随负载电阻变化的曲线如图4-19所示。

50%
Pmax

0
RL
η～RL
P~RL
RL=Req

图4-19
注意：此时是指可调负载RL可获最大功率的条件为RL=Req
4。4 特勒根定理
定理1(又名功率守恒定理）:对于网络N共有n个结点，b条支路,其支路电压、支路电流向量分别为,，且各支路电压与电流参考方向相关联。则或.即 .
证明：已知支路电压与节点电压之间的关系为：U=ATUn
则
同理可证 。
定理2（又名似功率守恒定理）：对于网络和，可以由不同的元件构成，但它们具有相同的结构，即，其中各网络的支路电压、支路电流向量分别为,, ，且各网络中支路上的电压与电流参考方向关联，则，或，即;
，或,即 。
证明：
同理可证 ， ， .
例1:已知图4—20中N为线性电阻无源网络,由图（a）中测得，,，当图(b）中，时,求

+
N
i2
i1
uS1
_
u1
+
_
u2
+
_

_
+
+

_

N
3Ω

（a) （b）
图4—20

∵

则：

由该例可见，若网络N为线性电阻无源网络时,仅需对其端口的两条外支路直接使用特勒根定理即可。在使用定理的过程中，一定要注意对应支路的电压、电流的参考方向要关联。
4。5 互易定理
互易定理适用的条件: 1。 线性电阻网络; 2。 仅有一个独立源作用。
对于单一激励的不含受控源的线性电阻电路，存在三种互易性质。
定理1：在图4—21（a)与（b）所示电路中，N为仅由电阻组成的线性电阻电路，有
_
1’
N
uS1
+
•
1
2
2’
i2
•
•
•
1
2’
2
•
1’
•
•
•
N
_
+
i1
uS2

（a） （b）
_

1’
u1
+
_
N
uS1
+
_
+
•
1
2
2’
i2
•
•
•
1
2’
2
•
_
+

1’
•
•
•

N

+
_
_
+

(c) （d)
图4-21 互易定理1
互易定理1表明：对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励(电压源）与响应(电流）的位置，其响应与激励的比值仍然保持不变。当激励us1=us2时，则i2 = i1.
证明：将图4—21(a）、(b)中各电路变量标出，如图4—21(c)、(d）所示，使用特勒根定理2,有：

∴
当us1=us2时,则i2 = i1 证毕。
定理2：在图4—22(a)与（b）所示电路中,N为仅由电阻组成的线性电阻电路,有

2
1
＋
u1
－
N
iS1
iS2
•
•
2
1
•
•

＋
u2
－
N

•
1’
•
2'
•
2’
•
1'

（a） 图4—22 (b)
互易定理2表明：对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励(电流源)与响 应（电压)的位置，其响应与激励的比值仍然保持不变。当激励is1=is2时，则u2 =u1。
互易定理3：在图4-23(a）与(b)所示电路中，N为仅由电阻组成的线性电阻电路，有

1
1´
iS2
2
2´
1
1´
2
2´
+
_
u2
N
+
_
uS1
N
i1

（a） （b）
图4-23
互易定理3表明:对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励与响应的位置，且把原电压激励改换为电流激励，把原电压响应改换为电流响应，则互易位置前后响应与激励的比值仍然保持不变.如果在数值上us1=is2时，则u2 =i1.
例1：电路如图4—24（a）所示，试求电流I.
a
b
c
d
4Ω
1Ω
2Ω
2Ω
2Ω
+
_
I
8V
a
b
d
2Ω
+
_
8V
4Ω
1Ω
2Ω
2Ω
I2
I1
I
I3
c

(a） 图4-24 （b)
解:原电路为一不平衡桥式电路,但为仅有一个独立源单独作用的线性电阻电路，可使用互易定理进行分析。互易后的电路如右图所示。此时应注意互易前后对应支路上的电压电流的参考方向必须同时关联或非关联。在图4-5—4(b）中可以求得：

根据分流公式：

由KCL可得: ∴原电路中所求电流
注:此例也可用戴维南定理求解。

例2:在图4-25中已知为线性电阻无源网络，图（a）中，时，，问在图(b)中＝12V时,I3＝？
_
+

I3
N0
6Ω
诺顿定理
I2
US
_
N0
+
I1

（a) (b)
Isc
_
12V
N0
+
Req
N0

(c) (d)
图4-25
解：对图4—25(b）采用诺顿定理求流过R的电流。
当将6Ω支路短路求短路电流Isc时，如图（c)所示，由互易定理和齐性原理有：
∴Isc=3A
6Ω
I3
Isc
Req
•
•
当求R两端向右看的诺顿等效电阻[图(d）]时,可利用图（a）电路，则 Req= Us/ I1=24/8=3Ω
则诺顿等效电路如下图所示,I3=1A。