资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B＝25°，则∠C的大小等于( )
A．25° B．20° C．40° D．50°
2．方程x2－4＝0的解是
A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝±2 D．x＝±4
3．一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的形状图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）
A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．拔苗助长 D．水中捞月
5．如图，BA=BC，∠ABC=80°，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则∠BED为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
6．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=( )
A． B． C． D．
7．如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，以△ABC的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF，GH，DJ，如果△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．24 C．20 D．16
9．若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y=5（x﹣2）2+1 B．y=5（x+2）2+1 C．y=5（x﹣2）2﹣1 D．y=5（x+2）2﹣1
10．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
11．已知反比例函数的图象经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知=3， =5，且与的方向相反，用表示向量为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为_____．
14．如图，等边△ABO的边长为2，点B在x轴上，反比例函数图象经过点A，将△ABO绕点O顺时针旋转a（0°＜a＜360°），使点A仍落在双曲线上，则a=_____．
15．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．
16．cos30°+sin45°+tan60°＝_____．
17．一组数据：3，2，1，2，2，3，则这组数据的众数是_____．
18．反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随值增大而减小．那么的取值范围是_____________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数的图象的另一个交点为,射线与轴交于点,与轴交于点轴， 垂足为．
求反比例函数的解析式;
求的长
在轴上是否存在点，使得与相似，若存在，请求出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由．
20．（8分）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．
21．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求过B、C两点的直线的函数表达式；
（3）点P是第一象限内抛物线上的一个动点．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由；
22．（10分）关于的方程有实根．
（1）求的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为且，求的值．
23．（10分）乐至县城有两座远近闻名的南北古塔，清朝道光11年至13年（公元1831--1833年）修建，南塔名为“文运塔”，高30米；北塔名为“凌云塔”.为了测量北塔的高度AB，身高为1.65米的小明在C处用测角仪CD，（如图所示）测得塔顶A的仰角为45°，此时小明在太阳光线下的影长为1.1米，测角仪的影长为1米.随后，他再向北塔方向前进14米到达H处，又测得北塔的顶端A的仰角为60°，求北塔AB的高度．（参考数据≈1.414,≈1.732，结果保留整数）
24．（10分）已知：关于x的方程，
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，两个边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
25．（12分）如图，已知直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝x2+bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点P是x轴上方抛物线上一点，连接OP．
①若OP与线段BC交于点D，则当D为OP中点时，求出点P坐标．
②在抛物线上是否存在点P，使得∠POC＝∠ACO若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）求证：△ABC∽△DOA；
（3）若BC=2，CE=，求AD的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
【详解】如图，连接OA．
∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°．
∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝25°，∴∠AOC＝50°，∴∠C＝40°．
故选C．
【点睛】
本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
2、C
【分析】方程变形为x1=4，再把方程两边直接开方得到x=±1．
【详解】解：x1=4，
∴x=±1．
故选C．
3、D
【解析】试题分析：根据所给出的图形和数字可得：主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，
则符合题意的是D；
故选D．
考点：1．由三视图判断几何体；2．作图-三视图．
4、B
【分析】根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件依次判定即可得出答案．
【详解】解：A选项为随机事件，故不符合题意；
B选项是必然事件，故符合题意；
C选项为不可能事件，故不符合题意；
D选项为不可能事件，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．
5、A
【分析】首先根据旋转的性质，得出∠CBD=∠ABE，BD=BE；其次结合图形，由等量代换，得∠EBD=∠ABC；最后根据等腰三角形的性质，得出∠BED=∠BDE，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，
∴∠CBD=∠ABE，BD=BE，
∵∠ABC=∠CBD+∠ABD，∠EBD=∠ABE +∠ABD，∠ABC=80°，
∴∠EBD=∠ABC=80°，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠BDE=（180°-∠EBD）=（180°-80°）=50°，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理．解题的关键是根据旋转的性质得出旋转前后的对应角、对应边分别相等，利用等腰三角形的性质得出“等边对等角”，再结合三角形内角和定理，即可得解．
6、A
【解析】试题解析：是平行四边形,
故选A.
7、A
【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，即可得到答案．
【详解】∵，分别为，的中点，
∴MN是∆OBC的中位线，
∴OB=2MN=2×3=6，
∵四边形是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=6，即：AC=12，
∵AB=6，
∴AC=2AB，
∵∠ABC=90°，
∴=30°．
故选A．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等，是解题的关键．
8、B
【分析】过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，根据全等三角形的性质得到EM＝CN，于是得到S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，于是得到结论．
【详解】解：过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，
∴∠M＝∠N＝90°，∠EAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAB＝90°，
∴∠EAM=∠CAB
∵四边形ACDE、四边形ABGF是正方形，
∴AC=AE，AF＝AB，
∴∠EAM≌△CAN，
∴EM＝CN，
∵AF＝AB，
∴S△AEF＝AF•EM，S△ABC＝AB•CN＝8，
∴S△AEF＝S△ABC＝8，
同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，
∴图中阴影部分的面积＝3×8＝24，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，正确的作辅助线是解题的关键．
9、A
【解析】试题解析：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位,
得到的抛物线的解析式是
故选A.
点睛：二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减.
10、D
【分析】先由题意列出第一轮传染后患流感的人数，再列出第二轮传染后患流感的人数，即可列出方程．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），
因此可列方程，1+x+x（1+x）=1．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
11、A
【分析】把代入反比例函数的解析式即可求解.
【详解】把代入得：
k=-4
故选：A
【点睛】
本题考查的是求反比例函数的解析式，掌握反比例函数的图象和性质是关键.
12、D
【分析】根据=3， =5，且与的方向相反，即可用表示向量.
【详解】=3， =5，
=,
与的方向相反,
故选D.
【点睛】
考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1：1．
【解析】试题分析：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，
∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：1．
考点：相似三角形的性质．
14、30°或180°或210°
【分析】根据等边三角形的性质，双曲线的轴对称性和中心对称性即可求解．
【详解】根据反比例函数的轴对称性，A点关于直线y=x对称，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴AO与直线y=x的夹角是15°，
∴a=2×15°=30°时点A落在双曲线上， 根据反比例函数的中心对称性，
∴点A旋转到直线OA上时，点A落在双曲线上，
∴此时a=180°，
根据反比例函数的轴对称性，继续旋转30°时，点A落在双曲线上，
∴此时a=210°；
故答案为：30°或180°或210°．
考点：(1)、反比例函数图象上点的坐标特征；(2)、等边三角形的性质；(3)、坐标与图形变化-旋转．
15、1
【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【详解】解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
16、
【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简进行计算，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后求得计算结果．
【详解】cos30°+sin45°+tan60°
=
=
=
故填：.
【点睛】
解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
17、1．
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．
【详解】在数据：3，1，1，1，1，3中，1出现3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是1，
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是求一组数据的众数，掌握众数的定义是解决此题的关键．
18、
【分析】直接利用当k＞1，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜1，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在所在象限内，y的值随x值的增大而减小，
∴k＞1．
故答案为：k＞1．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质，掌握基本性质是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）2；（3），
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）过点作于点M，求出点B的坐标，从而得，进而得，即可求解；
（3）分两种情况讨论：①当轴时，， ②当时，，分别求出点P的坐标，即可．
【详解】∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
过点作于点M，
把代入，得：，
∴，
，
，
∴；
∵AD⊥y轴，
∴AD∥x轴，
∴∠1=∠OEC=∠DAC=30°，
①当轴时，，此时：；
②当时，，
，
，
∴．
综上所述：，．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与相似三角形的综合，掌握反比例函数的性质与相似三角形的性质，是解题的关键．
20、（1）证明见解析；（2）AD=2．
【解析】（1）如图，连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；
（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB=BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．
【详解】（1）如图，连接OA，交BC于F，
则OA=OB，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A；
（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴，FB=BC，
∴AB=AC，
∵BC=2，AC=2，
∴BF=，AB=2，
在Rt△ABF中，AF==1，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，
∴OB=4，
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，AD=．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．
21、（1）y＝﹣x2+x+4；（2）y＝﹣x+4；（3）存在，（1，4）或（，）．
【分析】（1）将点A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c即可；
（2）先求出点C的坐标为（0，4），设直线BC的解析式为y＝kx+4，再将点B（4，0）代入y＝kx+4即可；
（3）先判断存在点P，求出AC，BC的长及∠OCB＝∠OBC＝45°，设点P坐标为（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），用含m的代数式表示出QM，AM的长，然后分①当AC＝AQ时，②当AC＝CQ时，③当CQ＝AQ时三种情况进行讨论，列出关于m的方程，求出m的值，即可写出点P的坐标．
【详解】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，，
解得，，
∴此抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
（2）在y＝﹣x2+x+4中，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+4，
将点B（4，0）代入y＝kx+4，
得，k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
（3）存在，理由如下：
∴A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），
∴OA＝3，OC＝OB＝4，
∴AC＝＝5，BC＝＝4，∠OCB＝∠OBC＝45°，
设点P坐标为（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），
∴QM＝﹣m+4，AM＝m+3，
①当AC＝AQ时，则AC＝AQ＝5，
（m+3）2+（﹣m+4）2＝25，
解得：m1＝1，m2＝0（舍去），
当m＝1时，﹣m2+m+4＝4，
则点P坐标为（1，4）；
②当AC＝CQ时，CQ＝AC＝5，
如图，过点Q作QD⊥y轴于点D，
则QD＝CD＝OM＝m，
则有2m2＝52，
解得m1＝，m2＝﹣（舍去）；
当m＝时，﹣m2+m+4＝，
则点P坐标为（，）；
③当CQ＝AQ时，（m+3）2+（﹣m+4）2＝2m2，
解得：m＝（舍去）；
故点P的坐标为（1，4）或（，）．
【点睛】
本题考查求二次函数解析式、求二元一次方程解析式和解二次函数，解题的关键是掌握求二次函数解析式、求二元一次方程解析式和解二次函数.
22、（1）m≤1;（2）m=.
【分析】（1）根据一元二次方程方程有实根的条件是列出不等式求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得，再根据，求出的值，最后求出m的值即可．
【详解】解：根据题意得
（2）由根与系数的关系可得
【点睛】
本题考查了一元二次方程有根的条件及根与系数的关系，根据题意列出等式或不等式是解题的关键．
23、北塔的高度AB约为35米．
【分析】设AE=x，根据在同一时间，物体高度与影子长度成正比例关系可得CD的长，在Rt△ADE中，由∠ADE=45°可得AE=DE=x，可得EF=(x-14)米，在Rt△AFE中，利用∠AFE的正切列方程可求出x的值，根据AB=AE+BE即可得答案.
【详解】设AE=x，
∵小明身高为1.65米，在太阳光线下的影长为1.1米，测角仪CD的影长为1米，
∴
∴CD=1.5（米）
∴BE=CD=1.5（米），
∵在Rt△ADE中，∠ADE=45°，
∴DE=AE=x，
∵DF=14米，
∴EF=DE－DF=(x－14)米，
在Rt△AFE中，∠AFE=60°，
∴tan60°==，
解得：x=()（米），
故AB=AE+BE=+1.5≈35米．
答：北塔的高度AB约为35米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握各三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键.
24、（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为1．
【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；
（2）分a为底边和a为腰两种情况，当a为底边时，b=c，可得方程的判别式△=0，可求出k值，解方程可求出b、c的值；当a为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k值，解方程可求出b、c的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．
【详解】（1）∵判别式△=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k-2)²≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．
（2）当a=1为底边时，则b=c，
∴△=(k-2)²=0，
解得：k=2，
∴方程为x2-4x+4=0，
解得：x1=x2=2，即b=c=2，
∵1、2、2可以构成三角形，
∴△ABC的周长为：1+2+2=1．
当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，
∴1-（k+2）+2k=0，
解得：k=1，
∴方程为x2-3x+2=0，
解得：x1=1，x2=2，
∵1+1=2，
∴1、1、2不能构成三角形，
综上所述：△ABC的周长为1．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键．
25、（2）y＝﹣x2+x+2；（2）①点P坐标为（2，3）；②存在点P（，﹣2）或（，﹣7）使得∠POC＝∠ACO
【分析】（2）与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，2），由题意可得即可求解；
（2）①过点P作PE∥OC，交BC于点E．根据题意得出△OCD≌△PED，从而得出PE＝OC＝2，再根据 即可求解；
②当点P在y轴右侧，PO∥AC时，∠POC=∠ACO．抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，则点A坐标为（-2，0）．则直线AC的解析式为y=2x+2．直线OP的解析式为y=2x，即可求解；当点P在y轴右侧，设OP与直线AC交于点G，当CG=OG时，∠POC=∠ACO，根据等腰三角形三线合一，则CF=OF=2，可得：点G坐标为即可求解．
【详解】（2）∵y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，2）．
由题意可得，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①如图，过点P作PE∥OC，交BC于点E．
∵点D为OP的中点，
∴△OCD≌△PED（AAS），
∴PE＝OC＝2，
设点P坐标为（m，﹣m2+m+2），点E坐标为（m，﹣m+2），
则PE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝2，
解得m2＝m2＝2．
∴点P坐标为（2，3）；
②存在点P，使得∠POC＝∠ACO．
理由：分两种情况讨论．
如上图，当点P在y轴右侧，
PO∥AC时，∠POC＝∠ACO．
∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，
∴点A坐标为（﹣2，0）．
∴直线AC的解析式为y＝2x+2．
∴直线OP的解析式为y＝2x，
解方程组，解得：x＝（舍去负值）
∴点P坐标为（，﹣2）．
如图，当点P在y轴右侧，
设OP与直线AC交于点G，当CG＝OG时∠POC＝∠ACO，
过点G作GF⊥OC，垂足为F．
根据等腰三角形三线合一，则CF＝OF＝2．
∴可得点G坐标为（﹣，2）
∴直线OG的解析式为y＝﹣2x；
把y＝﹣2x代入抛物线表达式并解得x＝（不合题意值已舍去）．
∴点P坐标为（，﹣7）．
综上所述，存在点P（，﹣2）或（，﹣7）使得∠POC＝∠ACO．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等、解直角三角形、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．
26、（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）要证AD是半圆O的切线只要证明∠DAO=90°即可；
（2）根据两组角对应相等的两个三角形相似即可得证；
（3）先求出AC、AB、AO的长，由第（2）问的结论△ABC∽△DOA，根据相似三角形的性质：对应边成比例可得到AD的长．
【详解】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴∠AOD+∠BAC=90°，
又∵∠D=∠BAC，
∴∠AOD+∠D=90°，
∴∠OAD=90°，
∴AD⊥OA，
∴AD是半圆O的切线；
（2）证明：由（1）得∠ACB=∠OAD=90°，
又∵∠D=∠BAC，
∴△ABC∽△DOA；
（3）解：∵O为AB中点，OD∥BC，
∴OE是△ABC的中位线，则E为AC中点，
∴AC=2CE，
∵BC=2，CE=，
∴AC=
∴AB=，
∴OA=AB=，
由（2）得：△ABC∽△DOA，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．同时考查了相似三角形的判定与性质，难度适中．
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