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学业水平测试函数的零点

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2.4.1函数的零点
【预习达标】
1．如果函数y＝ｆ(x〕在实数处的值等于零,即ｆ(x)=0,那么ｘ叫做 　 　．
２.把一个函数的图像与 　 叫做这个函数的零点.
3.二次函数y＝ａ＋ｂx+c〔ａ０)，当
Δ=－４aｃ>0时,二次函数有　　　个零点;
Δ＝－4ac＝０时,二次函数有 　　个零点；
Δ=－4aｃ＜0时,二次函数有 　个零点.
4．二次函数零点的性质：
〔1〕二次函数的图像是连续的,当它通过零点时〔不是二重零点〕，
　 　　 ．
(2〕在相邻的两个零点之间所有　 　 　．
【课前达标】
１． 函数f〔ｘ)=２－mx＋３有一个零点为1.5,那么ｆ〔１〕＝( 〕
Ａ．０ B.－３　C.1０　Ｄ．由ｍ而定的其它常数
２.函数ｙ＝(x-１〕(-2x-3〕的零点〔 )
Ａ．１,2,3 B.1，-1，３ C．1,-１，－3　Ｄ．无零点
3．ｋ为何值时,函数ｆ〔ｘ〕=2－４x＋k无零点〔 )
Ａ．k=2 Ｂ．k<2 C．ｋ>２ D．ｋ2
5．函数y＝的定义域为　　 　.
6．如果函数ｙ=+mｘ+(ｍ+3〕至多有一个零点，那么的取值范围是 　　 　　 　.
【典例解析】
例1:假设函数ｆ〔ｘ〕＝+ａｘ+b的两个零点是２和-4，求ａ,ｂ的值.

例2:求证：方程５-７ｘ-1=0的一个根在(－１,0〕上,另一个根在〔1，2)上.

例3:学校请了３０名木工,要制作２0０把椅子和１００张桌子.制作一张桌子与制作一把椅子的工时数之比为１０:7,问3０名工人应当如何分组〔一组制桌子，另一组制椅子〕，能使完成全部任务最快？

【双基达标】
1.函数f(x)=x-的零点是( 〕
Ａ.０　Ｂ.1　Ｃ．2 Ｄ.无数个
２.函数ｆ〔ｘ〕=的零点是( 　)
Ａ． １,２,3　Ｂ.-1，1，2　Ｃ．０，1，2　D．－1，1，－2
3．假设函数f〔X)在[0,4]上的图像是连续的，且方程f(ｘ〕=0在〔0,4)内仅有一个实数根，那么发f(0)f〔4〕的值( )
A.大于０　B.小于０　Ｃ.等于0 D．无法判断
４.假设函数f(x〕＝m＋8ｍｘ＋２1,当f〔x)<０时－７＜x<－１,那么实数m的值为〔 )
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3　D．４
5．f(x〕=,方程ｆ(4ｘ〕=ｘ的根是〔 　 )
Ａ.-２　B.２ Ｃ．－０.５ Ｄ.０.5
６．关于ｘ的方程2k-２x－３ｋ=0的两根一个大于１,一个小于1,那么实数的取值范围　　　 　　 ．
７．假设函数ｆ(x)=-ａx－b的两个零点时2和3，那么函数ｇ〔x〕＝ｂ-aｘ－1的零点　　 　　 .
８.函数ｆ(x〕=2〔ｍ－1)－4ｍｘ+2ｍ－1
(1〕m为何值时,函数图像与ｘ轴有一个公共点.
(2〕如果函数的一个零点为２，求m的值.
９.二次函数f〔x〕＝a+bx(a，ｂ是常数且ａ０〕满足条件:ｆ〔2〕＝0．方程有等根
(１)求f(x〕的解析式;
〔２〕问:是否存在实数ｍ，ｎ使得f〔x)定义域和值域分别为[ｍ,ｎ］和[２ｍ，２ｎ]，如存在,求出ｍ,ｎ的值；如不存在,说明理由．
【能力提高】
１．函数f(x)在区间(ａ,b)上单调且ｆ(ａ)ｆ(b)＜0,那么函数ｆ(x〕在区间(ａ，b)上〔　 〕
Ａ．至少有一个零点　B．至多有一个零点　Ｃ．没有零点　Ｄ．必有唯一零点
２．ｆ〔ｘ〕＝〔x-a〕〔ｘ-b)－2并且α,β是函数f(ｘ)的两个零点,那么实数a,b，α,β的大小关系可能是〔　　〕
A．a<α<ｂ<β　Ｂ.ａ<α<β＜b C．Α<a<ｂ＜β　
Ｄ．ａ<ａ＜β<b
３．函数ｆ〔x)=，那么函数ｆ〔x〕-０．２5的零点
　 　 　 　　 ．
4．如果函数f〔x)=＋ｍｘ+〔ｍ+3〕至多有一个零点，那么ｍ的取值范围　　　　　 ．
５.对于函数f(x);假设存在R,使f〔〕=成立,那么称为f〔ｘ〕的不动点．函数f(x)=ａ+(b+１〕x+〔ｂ－1)〔a0).
(1)当a＝１，ｂ＝－2时,求函数f(ｘ〕的不动点；
〔２)假设对任意实数ｂ，函数f(ｘ〕恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.
【数学快餐】
一、选择题
1设函数)f(x)＝ 在［－1,1］上为增函数,且，那么方程f(x)在[-１,１]内
A ．可能有3个实数根 　 B .可能有２个实数根
C. 有唯一的实数根　 　 D ．没有实数根
2．设f(ｘ) ＝ ，那么在以下区间中，使函数f(x)有零点的区间是 ﻩ( 　)
A．[0，１]ﻩB．[１,2] C.[-2，-１] D．[-1，0］
3．给出以下三个函数的图象;0７徐州三练) 3．方程2x+ｘ-4=O的解所在区间为
A.(-１，０) B.〔０,1〕　 　 C.(1，２〕　 D.(2,3)
4.函数ｙ=f〔x)在定义域内是单调函数,那么方程f〔x)=c(c为常数〕的解的情况〔 )
A.有且只有一个解　 B.至少有一个解
C.至多有一个解　 　　　D.可能无解,可能有一个或多个解
二、填空题：
5.函数f(x)=x-的零点是____＿＿___＿_＿_＿
６假设函数f〔x)= 的两个零点是２和３,那么函数g(x)= 的零点是________
函数的零点
【预习达标】
1.这个函数的零点　２.x轴的公共点３.两，一,没有零点3.(１〕函数值变号 〔２〕函数值保持同号
【课前达标】
１． A ２．Ｂ　3．Ｃ　５. 6.m
【典例解析】
例1、解：函数f〔x〕=+aｘ＋ｂ的两个零点是2和-4，也就是方程＋aｘ+b=０的两个根是２和－４，由根与系数的关系可知得ａ＝2,b=－8.
评析:反常的根与函数零点的关系以及反常的根与系数的关系是本体解决关键．
例2、证明：设ｆ〔x〕=５－７ｘ－１,那么ｆ(-1)ｆ〔０)＝－1１<0，f(1〕〔2〕=-１5＜0．而二次函数ｆ〔ｘ)＝5－7ｘ－1是连续的．所以，f〔ｘ)在〔-1，0〕和(１，2〕上分别有零点.
即方程5-７x-1＝０的根一个在(－１,０)上，另一个(１，２〕在上.
评析：判断函数是否在(a,b)上存在零点，除验证f(ａ〕f〔b)<０是否成立外，还需考察函数是否在(a，ｂ)上连续.假设判断根的个数问题，还须结合函数的单调性.
例3、解：设名x工人制桌子，(3０－x〕名工人制椅子,一个工人在一个单位时间里可制７张桌子或１０把椅子,所以
制作１0０张桌子所需时间为函数ｐ〔ｘ〕=,制作２00把椅子所需时间为函数q(ｘ〕=,完成全部任务所需时间为ｙ〔x〕＝ｍaｘ｛p(x〕，ｑ〔x)}．
＝,解得x=1２.５，考虑到人数，考察ｐ〔12〕与ｑ〔１3),p〔1２〕=1．１9,q(１３〕=１．1８,即y(１2)>ｙ〔1３).所以用1３名工人制作桌子,1７名工人制作椅子完成任务最快.
评析:对于此题要用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找量与未知量之间的内在联系,然后将这些内在联系与数学知识联想建立函数关系式或列出方程,利用函数性质或方程观点来解，那么可使应用问题化生为熟,尽快得到解决.
【双基达标】
１． Ｃ ２．B 3.Ｄ ４.C　５．D ６．ｋ>0或k<－４ ７．
８．解:〔１〕由条件知;Δ=－8(m－１)(２ｍ－１)又Δ>０ 　 即ｍ＞ 所以函数与x轴有两个交点
(２〕函数一个零点在原点即x＝０为其方程的一个根，有2(m－１〕－4m+２ｍ-１=0m＝0.５
９．〔１)由f〔2〕＝０得：4a+2b=０，方程f〔x〕=ｘ即ａ+〔b－1)x＝0.
有等根Δ==０,
解方程组,得,f(x〕=－＋ｘ
(2)f(ｘ〕=-＋x=－
２ｎ　， ｎ函数f(ｘ)在[m，n]上是增函数
，解得ｍ=２,ｎ＝０
【能力提高】1．Ｄ　2．C ３．　4．
5．(１〕当ａ＝１，ｂ=－２时，ｆ〔x)=－ｘ-3,由题意可知ｘ＝-ｘ-3
解得ｘ＝-1或x=3,故当a=１，b＝-２时ｆ〔ｘ〕的两个相异的不动点为-1，３.
　(2〕f(x)=ａ+(b＋１〕x+〔ｂ-1)恒有两个相异的不动点.
ｘ＝a+〔ｂ＋1)x＋(ｂ-1)，即a＋bｘ+〔ｂ-１)＝0恒有两个相异的实数根，得Δ＝恒成立，即恒成立，于是=,解得0<a＜１．故当，ｆ(x〕恒有两个相异的不动点时,ａ取值范围为0＜a<1．
【数学快餐】
1. C 2. A 3.　C 4. C ５．±1 6.