一-直线倾斜角与斜率、直线方程.doc

第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α．
(2)点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝．
3．直线方程的五种形式

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”错误的打“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　)
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)
(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　)
A．30°　　　　　　　　B．60°
C．150° D．120°
解析：直线的斜率为k＝tan α＝，
又因为0°≤α＜180°，
所以α＝60°
答案：B
3．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：(1)设P(x，1)，Q(7，y)，则＝1，＝－1，
∴x＝－5，y＝－3，即P(－5，1)，Q(7，－3)，
故直线l的斜率k＝＝－.
答案：B
4．(2014·福建卷)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
解析：圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
答案：D
5．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________．
解析：令x＝0，则l在y轴上的截距为2＋a；
令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋.
依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.
答案：1或－2

一条规律
斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率．由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．
两种方法
求直线方程的两种常见方法
1．直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．
2．待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)．求出待定系数，从而求出直线方程．
三点注意
1．应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．
2．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.
3．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时，易忽视判定B是否为0.当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－.

一、选择题
1．直线xsin ＋ycos ＝0的倾斜角α是(　　)
A．－　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析：∵tan α＝－＝－tan ＝tan π，
∵α∈[0，π]，∴α＝π.
答案：D
2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足(　　)
A．a＋b＝1 B．a－b＝1
C．a＋b＝0 D．a－b＝0
解析：由sin α＋cos α＝0，得＝－1，即tan α＝－1.
又因为tan α＝－，所以－＝－1，则a＝b.
答案：D

4．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是(　　)
A.
B.∪
C.
D.∪
解析：直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，
因为kMA＝＝－，
kMB＝＝，
由图可知：

－a>－且－a<，
所以a∈.
答案：A
5．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为(　　)
A．2x＋y－7＝0 B．x＋y－5＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x－y－1＝0
解析：由条件得点A的坐标为(－1，0)，点P的坐标为(2，3)，因为|PA|＝|PB|，根据对称性可知，点B的坐标为(5，0)，从而直线PB的方程为＝，整理得x＋y－5＝0.故选B.
答案：B
二、填空题
6．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ中点是(1，－1)，则l的斜率是________．
解析：设P(m，1)，则Q(2－m，－3)，
∴(2－m)＋3－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2，1)，
∴k＝＝－.
答案：－
7．过点A(2，3)，且将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线方程为________．
解析：圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心C(1，2)，依题意知，点A(2，3)，C(1，2)在所求直线上，
由两点式得＝，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
8．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是________．
解析：∵直线l恒过定点(0，－)．
作出两直线的图象，如图所示，

从图中看出，直线l的倾斜角的取值范围应为.
答案：
三、解答题
9．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，则当a为何值时，四边形的面积最小？
解：直线l1与l2交于点A(2，2)，
易知|OB|＝a2＋2，|OC|＝2－a，

则S四边形OBAC＝S△AOB＋S△AOC
＝×2(a2＋2)＋×2(2－a)
＝a2－a＋4＝(a－)2＋，a∈(0，2)．
∴当a＝时，四边形OBAC的面积最小．
10．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零．
∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，
∴＝a－2，即a＋1＝1，
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
因此直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴或∴a≤－1.
综上可知a的取值范围是a≤－1.