极值点偏移问题专题.doc

极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移）
例1已知函数，若正实数，满足，
求证:。
证明：注意到，

，，则（1,2）是图像的拐点，若拐点（1,2）也是的对称中心，则有，证明则说明拐点发生了偏移，作图如下

想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理．
不妨设，要证

，，则

，
得在上单增，有，得证。
2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路
1、 极值点偏移（）

二次函数
2、拐点偏移

极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路）
例1（2010天津） 已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）已知函数的图像与的图像关于直线对称，证明：当时，；
（3）如果，且，证明：．点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观展示如下：
例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数，已知，，证明．
再次审视解题过程，发现以下三个关键点：
（1），的范围；
（2）不等式；
（3）将代入（2）中不等式，结合的单调性获证结论．
把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题．
例2（2016新课标Ⅰ卷）已知函数有两个零点．
（1）求的取值范围；
（2）设，是的两个零点，证明：．
解：（1），过程略；
（2）由（1）知在上，在上，由，可设．
构造辅助函数

当时，，，则，得在上，又，故，即．
将代入上述不等式中得，又，，在上，故，．
通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解．
但极值点偏移问题的结论不一定总是，也可以是，借鉴前面的解题经验，我们就可给出类似的过程．
例3 已知函数的图像与直线交于不同的两点，，求证：．
证明：（i），得在上，在上；当时，；；当时，；当时，（洛必达法则）；当时，，于是的图像如下，得．
小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步：
step1：求导，获得的单调性，极值情况，作出的图像，由得，的取值范围（数形结合）；
step2：构造辅助函数（对结论，构造；对结论，构造），求导，限定范围（或的范围），判定符号，获得不等式；
step3：代入（或），利用及的单调性证明最终结论．
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