资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．小思去延庆世界园艺博览会游览，如果从永宁瞻胜、万芳华台、丝路花雨、九州花境四个景点中随机选择一个进行参观，那么他选择的景点恰为丝路花雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC：CA：AB＝3：4：5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图1所示的是山西大同北都桥的照片，桥上面的部分是以抛物线为模型设计而成的，从正面观察该桥的上面部分是一条抛物线，如图2，若，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．桌面上放有6张卡片（卡片除正面的颜色不同外，其余均相同），其中卡片正面的颜色3张是绿色，2张是红色，1张是黑色．现将这6张卡片洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面颜色是绿色的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件属于随机事件的是（ ）
A．抛出的篮球会下落
B．两枚骰子向上一面的点数之和大于1
C．买彩票中奖
D．口袋中只装有10个白球，从中摸出一个黑球
6．一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
7．从 1 到 9这9个自然数中任取一个，是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．某楼盘的商品房原价12000元/，国庆期间进行促销活动，经过连续两次降价后，现价9720元/，求平均每次降价的百分率。设平均每次降价的百分率为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．下列说法，错误的是（ ）
A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法
B．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数是8
C．方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度
D．对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（ ）
A． B． C．3sinα D．3cosα
11．如图，在中，，，以为斜边向上作，.连接，若，则的长度为（ ）
A．或 B．3或4 C．或 D．2或4
12．如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=1．则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．从一批节能灯中随机抽取40只进行检查，发现次品2只，则在这批节能灯中随机抽取一只是次品的概率为_______．
14．若x1，x2是一元二次方程2x2＋x－3＝0的两个实数根，则x1＋x2＝____．
15．已知，其相似比为2：3，则他们面积的比为__________．
16．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= ．
17．计算:cos45°= ________________
18．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点为该二次函数在第一象限内的一点，连接，交于点，则的最大值为__________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知反比例函数y＝(m为常数)的图象在第一、三象限
(1)求m的取值范围；
(2)如图，若该反比例函数的图象经过平行四边形ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为(0，3)，(－2，0)．求出函数解析式.
20．（8分）如图①，是平行四边形的边上的一点，且，交于点．
（1）若，求的长；
（2）如图②，若延长和交于点，，能否求出的长？若能，求出的长；若不能，说明理由．
21．（8分）已知二次函数y＝ax²＋bx－4(a，b是常数.且a0)的图象过点(3，－1).
(1)试判断点(2，2－2a)是否也在该函数的图象上，并说明理由.
(2)若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数表达式.
(3)已知二次函数的图像过(，)和(，)两点，且当＜时，始终都有＞，求a的取值范围.
22．（10分）如图，某中学有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路（阴影部分），余下的四块矩形小场地建成草坪．
（1）请分别写出每条道路的面积（用含或的代数式表示）；
（2）若，并且四块草坪的面积之和为144平方米，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
23．（10分）先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数 （百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=1．
（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；
（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．
24．（10分）如图，一次函数分别交y轴、x 轴于A、B两点，抛物线过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
25．（12分）永农化工厂以每吨800元的价格购进一批化工原料，加工成化工产品进行销售，已知每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨，该厂预计销售化工产品不超过50吨时每吨售价为1600元，超过50吨时，每超过1吨产品，销售所有的化工产品每吨价格均会降低4元，设该化工厂生产并销售了x吨化工产品．
（1）用x的代数式表示该厂购进化工原料 吨；
（2）当x＞50时，设该厂销售完化工产品的总利润为y，求y关于x的函数关系式；
（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在什么范围？
26．解方程
（1）x2﹣6x﹣7＝0
（2）（x﹣1）（x+3）＝12
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据概率公式直接解答即可．
【详解】∵共有四个景点，分别是永宁瞻胜、万芳华台、丝路花雨、九州花境，
∴他选择的景点恰为丝路花雨的概率为；
故选：B．
【点睛】
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2、D
【分析】根据已知条件,运用勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形,再根据余弦的定义解答即可.
【详解】解:设分别为,
,
为直角三角形,
.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理和余弦,熟练掌握对应知识点是解答关键.
3、A
【分析】首先设抛物线的解析式y=ax2+bx+c，由题意可以知道A（-30,0）B（30,0）C（0,15）代入即可得到解析式.
【详解】解：设此桥上半部分所在抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵AB=60 OC=15
∴A（-30,0）B（30,0）C（0,15）
将A、B、C代入y=ax2+bx+c中
得到 y=-x2+15
故选A
【点睛】
此题主要考查了二次函数的实际应用问题，主要培养学生用数学知识解决实际问题的能力.
4、A
【详解】∵桌面上放有6张卡片，卡片正面的颜色3张是绿色，2张是红色，1张是黑色，
∴抽出的卡片正面颜色是绿色的概率是：．
故选A．
5、C
【解析】根据随机事件,必然事件,不可能事件概念解题即可.
【详解】解：A. 抛出的篮球会下落,是必然事件,所以错误,
B. 两枚骰子向上一面的点数之和大于1,是不可能事件,所以错误,
C. 买彩票中奖.是随机事件,正确,
D. 口袋中只装有10个白球，从中摸出一个黑球, ,是不可能事件,所以错误,
故选C.
【点睛】
本题考查了随机事件的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
6、B
【解析】△=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，
∴原方程有两个相等的实数根．
故选B．
【点睛】
，本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
7、B
【解析】∵在1到9这9个自然数中，偶数共有4个，
∴从这9个自然数中任取一个，是偶数的概率为：.
故选B.
8、D
【分析】根据题意利用基本数量关系即商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．
【详解】解：由题意可列方程是：．
故选：D.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格．
9、A
【分析】利用抽样调查、普查的特点和试用的范围和众数、方差的意义即可做出判断.
【详解】A．灯泡数量很庞大，了解它的使用寿命不宜采用普查的方法，应该采用抽查的方法，所以A错误；
B.众数是一组数据中出现次数最多的数值，所以8，8，7，10，6，8，9的众数是8正确；C. 方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度，正确；
D. 对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差，正确；
故选A.
【点睛】
本题考查的是调查、众数、方差的意义，能够熟练掌握这些知识是解题的关键.
10、A
【解析】RtABC中，∠C=90°，∴cos= ，
∵，AC=，
∴cosα= ，
∴AB= ，
故选A.
【点睛】考查解直角三角形的知识；掌握和一个角的邻边与斜边有关的三角函数值是余弦值的知识是解决本题的关键．
11、A
【分析】利用A、B、C、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，得出，再作，设AE=DE=x，最后利用勾股定理求解即可.
【详解】解：如图所示，
∵△ABC、△ABD都是直角三角形，
∴A,B,C,D四点共圆，
∵AC=BC，
∴，
∴，
作于点E,
∴△AED是等腰直角三角形，设AE=DE=x,则，
∵CD=7,CE=7-x,
∵，
∴AC=BC=5，
在Rt△AEC中，，
∴
解得，x=3或x=4，
∴或.
故答案为：A.
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理的综合应用，解题的关键是根据题目得出四点共圆，作出合理辅助线，在圆内利用勾股定理求解.
12、A
【分析】根据勾股定理逆定理推出∠C=90°，再根据进行计算即可；
【详解】解：∵AB=25，BC=7，CA=1，
又∵，
∴，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴=；
故选A.
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】利用概率公式求解可得．
【详解】解：在这批节能灯中随机抽取一只是次品的概率为＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查概率公式，熟练掌握计算法则是解题关键.
14、
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【详解】解：根据题意得x1+x2═
故答案为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=．
15、4：1．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，从而可得答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴这两个相似三角形的面积比为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
16、．
【解析】试题分析：根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．
解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，
∵∠1=∠2=110°，
∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，
∴∠4=90°﹣70°=20°，
∴∠α=20°．
故答案为20°．
17、1
【分析】将cos45°=代入进行计算即可.
【详解】解：cos45°=
故答案为：1.
【点睛】
此题考查的是特殊角的锐角三角函数值，掌握cos45°=是解决此题的关键.
18、
【分析】由抛物线的解析式易求出点A、B、C的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q，则△PQK∽△ABK，可得，而AB易求，这样将求的最大值转化为求PQ的最大值，可设点P的横坐标为m，注意到P、Q的纵坐标相等，则可用含m的代数式表示出点Q的横坐标，于是PQ可用含m的代数式表示，然后利用二次函数的性质即可求解.
【详解】解：对二次函数，
令x=0，则y=3，令y=0，则，
解得：，
∴C(0，3)，A(－1，0)，B(4，0)，
设直线BC的解析式为：，
把B、C两点代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：，
过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q，如图，
则△PQK∽△ABK，
∴，
设P（m，），
∵P、Q的纵坐标相等，
∴当时，，
解得：，
∴，
又∵AB=5，
∴.
∴当m=2时，的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定和性质等知识，难度较大，属于填空题中的压轴题，解题的关键是利用相似三角形的判定和性质将所求的最大值转化为求PQ的最大值、熟练掌握二次函数的性质.
三、解答题（共78分）
19、（1）m＜；（2）y=
【分析】（1）根据反比例函数的图像和性质得出不等式解之即可；（2）本题根据平行四边形的性质得出点D的坐标，代入反比例函数求出解析式.
【详解】解：（1）根据题意得1-2m＞0解得m＜
（2）∵四边形ABOC为平行四边形，∴AD∥OB，AD=OB=2，而A点坐标为（0，3），∴D点坐标为（2，3），∴1-2m=2×3=6，∴反比例函数解析式为y=.
20、（1）；（2）能，
【分析】（1）由DE∥BC，可得 ，由此即可解决问题；
（2）由PB∥DC，可得，可得PA的长．
【详解】（1）∵为平行四边形
∴，，
又∵
∴
又∵
∴，
∴．
（2）能
∵为平行四边形，
∴，，
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21、（1）不在；（2）；；（3）
【解析】（1）将点代入函数解析式，求出a和b的等式，将函数解析式改写成只含有a的形式，再将点代入验证即可；
（2）令，得到一个一元二次方程，由题意此方程只有一个实数根，由根的判别式即可求出a的值，从而可得函数表达式；
（3）根据函数解析式求出其对称轴，再根据函数图象的增减性判断即可.
【详解】（1）二次函数图像过点
代入得，
，代入得
将代入得，得，不成立，所以点不在该函数图像上；
（2）由（1）知，
与x轴只有一个交点
只有一个实数根
，或
当时，，所以表达式为：
当时，，所以表达式为：；
（3）
对称轴为
当时，函数图象如下：
若要满足时，恒大于，则、均在对称轴左侧
，
当时，函数图象如下：
，此时，必小于
综上，所求的a的取值范围是：.
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质（与x的交点问题、对称轴、增减性），熟记性质是解题关键.
22、（1）这两条道路的面积分别是平方米和平方米；（2）原来矩形的长为20米，宽为10米．
【分析】（1）由题意矩形场地的长为米，宽为米以及道路宽为2米即可得出每条道路的面积；
（2）根据题意四块草坪的面积之和为144平方米这一等量关系建立方程进行分析计算即可.
【详解】解：（1）由题意可知这两条道路的面积分别是平方米和平方米.
（2），
∴，
根据题意得：
解得：，（舍去），
∴（米）
答：原来矩形的长为20米，宽为10米.
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意并根据题意列方程求解是解题的关键.
23、（1）详见解析；（2）99或2．
【解析】（1）首先由题意可得a+c=b，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数”能被99整除，所以将展开式中100a拆成99a+a，这样展开式中出现了a+c，将a+c用b替代，整理出最终结果即可；
（2）首先设出两个欢喜数m、n，表示出F（m）、F（n）代入F（m）﹣F（n）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.
【详解】（1）证明：∵为欢喜数，
∴a+c=b．
∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，
∴11b能被99整除，99a能被99整除，
∴“欢喜数”能被99整除；
（2）设m=，n=（且a1＞a2），
∵F（m）﹣F（n）=a1•c1﹣a2•c2=a1•（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均为整数，
∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．
∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），
∴m﹣n=99或m﹣n=2．
∴若F（m）﹣F（n）=3，则m﹣n的值为99或2．
【点睛】
做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.
24、（1）； （2） 当t=2时，MN的最大值是4.
【分析】（1）首先求出一次函数与坐标轴交点坐标，进而代入二次函数解析式得出b，c的值即可；
（2）根据作垂直x轴的直线x=t，得出M，N的坐标，进而根据坐标性质得出即可．
【详解】解：（1）（1）∵一次函数分别交y轴、x 轴于A、B两点，
∴x=0时，y=2，y=0时，x=4，
∴A（0，2），B（4，0），
将x=0,y=2代入代入y=-x2+bx+c得c=2
将x=4,y=0 代入代入y=-x2+bx+c，
（2））∵作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，
由题意易得
从而得到
当时，MN有最大值为：
【点睛】
在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键．
25、（1）x；（2）y＝﹣4x2+800x；（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在100吨～150吨范围内．
【分析】（1）根据“每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨”，即可求出；
（2）根据总利润＝总售价－总成本即可求出y关于x的函数关系式；
（3）先求出y=38400元时，x的值，然后根据二次函数图象的开口方向和增减性即可求出x的取值范围.
【详解】（1）x÷0.8＝x吨，
故答案为：x；
故答案为：x；
（2）根据题意得，y＝x[1600﹣4（x﹣50）]﹣x•800＝﹣4x2+800x，
则y关于x的函数关系式为：y＝﹣4x2+800x；
（3）当y＝38400时，﹣4x2+800x＝38400，
x2﹣200x+9600＝0，
（x﹣120）（x﹣80）＝0，
x＝120或80，
∵﹣4＜0，
∴当y≥38400时，80≤x≤120，
∴100≤x≤150，
∴如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在100吨～150吨范围内．
【点睛】
此题考查的是二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和二次函数的增减性是解决此题的关键.
26、（1）x＝7或x＝﹣1（2）x＝﹣5或x＝3
【分析】（1）方程两边同时加16，根据完全平方公式求解方程即可．
（2）开括号，再移项合并同类项，根据十字相乘法求解方程即可．
【详解】（1）∵x2﹣6x﹣7＝0，
∴x2﹣6x+9＝16，
∴（x﹣3）2＝16，
∴x﹣3＝±4，
∴x＝7或x＝﹣1；
（2）原方程化为：x2+2x﹣15＝0，
∴（x+5）（x﹣3）＝0，
∴x＝﹣5或x＝3；
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的问题，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
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