资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．将抛物线向右平移2个单位， 则所得抛物线的表达式为( )
A． B．
C． D．
2．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3． “2020年的6月21日是晴天”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．不确定事件
4．在平面直角坐标系中，把点绕原点顺时针旋转，所得到的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．电脑福利彩票中有两种方式“22选5”和“29选7”，若选中号码全部正确则获一等奖,你认为获一等奖机会大的是（ ）
A．“22选5” B．“29选7” C．一样大 D．不能确定
6．某篮球队14名队员的年龄如表：
年龄（岁）
18
19
20
21
人数
5
4
3
2
则这14名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．18，19 B．19，19 C．18，4 D．5，4
7．一件产品原来每件的成本是1000元，在市场售价不变的情况下，由于连续两次降低成本，现在利润每件增加了190元，则平均每次降低成本的（ ）
A． B． C． D．
8．若函数其几对对应值如下表，则方程（，，为常数）根的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
9．如图，在中，，D为AC上一点，连接BD，且，则DC长为（ ）
A．2 B． C． D．5
10．若点，是函数上两点，则当时，函数值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．10
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上， ， ， ，则__________．
12．点向左平移两个单位后恰好位于双曲线上，则__________．
13．若长方形的长和宽分别是关于 x 的方程的两个根，则长方形的周长是_______．
14．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为_____米．
15．使代数式有意义的实数x的取值范围为_____．
16．某10人数学小组的一次测试中，有4人的成绩都是80分，其他6人的成绩都是90分，则这个小组成绩的平均数等于_____分．
17．点A(1,-2)关于原点对称的点A1的坐标为________．
18．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧的长为 cm．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
（1）求该二次函数的表达式；
（2）该二次函数图像关于x轴对称的图像所对应的函数表达式 ；
20．（6分）如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上由点E顺时针向点C运动（点B不与点E、C重合），弦BD交CE于点F，且BD=BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．
（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求圆心O到弦CD的距离；
（2）当DF•DB=CD2时，求∠CBD的大小；
（3）若AB=2AE，且CD=12，求△BCD的面积．
21．（6分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝4，⊙O的半径为，求BC的长．
22．（8分）如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上．
（1）将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°得到△A′B′C′，请在图中画出△A′B′C′；
（2）将△ABC向上平移1个单位，再向右平移5个单位得到△A″B″C″，请在图中画出△A″B″C″；
（3）若将△ABC绕原点O旋转180°，A的对应点A1的坐标是 ．
23．（8分）如图，矩形中，，，点是边上一定点，且．
(1)当时，上存在点，使与相似，求的长度．
(2)对于每一个确定的的值上存在几个点使得与相似?
24．（8分）如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是45°,若坡角∠FAE=30°,求大树的高度(结果保留根号).
25．（10分）在一个不透明的盒子里装有三个标记为1，2，3的小球（材质、形状、大小等完全相同），甲先从中随机取出一个小球，记下数字为后放回，同样的乙也从中随机取出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标．
（1）请用列表或画树状图的方法写出点所有可能的坐标；
（2）求点在函数的图象上的概率．
26．（10分）已知关于的一元二次方程 (为实数且)．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律直接求得．
【详解】因为抛物线y=3x2−1向右平移2个单位,得：y=3(x−2)2−1，故所得抛物线的表达式为y=3(x−2)2−1.故选：D.
【点睛】
本题考查平移的规律，解题的关键是掌握抛物线平移的规律.
2、A
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项正确；
B、是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项错误；
故选A．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3、D
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
【详解】“2020年的6月21日是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
4、C
【分析】根据题意得点P点P′关于原点的对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特点即可得解.
【详解】∵P点坐标为（3，-2），
∴P点的原点对称点P′的坐标为（-3，2）．
故选C．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形变化-旋转，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
5、A
【解析】从22个号码中选1个号码能组成数的个数有22×21×20×19×18=3160080，选出的这1个号码能组成数的个数为1×4×3×2×1=120，这1个号码全部选中的概率为120÷3160080=3.8×10−1；从29个号码中选7个号码能组成数的个数为29×28×27×26×21×24×23= 7866331200，这7个号码能组成数的个数为7×6×1×4×3×2×1=1040，这7个号码全部选中的概率为1040÷7866331200=6×10−8，因为3.8×10−1＞6×10−8，所以，获一等奖机会大的是22选1．故选A．
6、A
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【详解】∵这组数据中最多的数是18，
∴这14名队员年龄的众数是18岁，
∵这组数据中间的两个数是19、19，
∴中位数是＝19（岁），
故选：A．
【点睛】
本题考查众数和中位数，将一组数据从小到大的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数称为这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数；熟练掌握定义是解题关键．
7、A
【分析】设平均每次降低成本的x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设平均每次降低成本的x，
根据题意得：1000-1000（1-x）2=190，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），
则平均每次降低成本的10%，
故选A．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
8、C
【分析】先根据表格得出二次函数的图象与x轴的交点个数，再根据二次函数与一元二次方程的关系即可得出答案．
【详解】由表格可得，二次函数的图象与x轴有2个交点
则其对应的一元二次方程根的个数为2
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象、二次函数与一元二次方程的关系，掌握理解二次函数的图象特点是解题关键．
9、C
【分析】利用等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，可判定△ABC∽△BCD，利用相似三角形对应边成比例即可求出DC的长.
【详解】∵AB=AC=6
∴∠ABC=∠C
∵BD=BC=4
∴∠C=∠BDC
∴∠ABC=∠BCD，∠ACB=∠BDC
∴△ABC∽△BCD
∴
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到两组对应角相等判定相似三角形.
10、B
【分析】根据点A(x1，5)，B(x2，5)是函数y=x2﹣2x+1上两对称点，可求得x=x1+x2=2，把x=2代入函数关系式即可求解．
【详解】∵点A(x1，5)，B(x2，5)是函数y=x2﹣2x+1上两对称点，对称轴为直线x=1，
∴x1+x2=2×1=2，
∴x=2，
∴把x=2代入函数关系式得y=22﹣2×2+1=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，以及二次函数的性质．求出x1+x2的值是解答本题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】由，，即可求得的长，又由，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案．
【详解】解：，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定和性质，此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．
12、
【分析】首先求出点P平移后的坐标，然后代入双曲线即可得解.
【详解】点向左平移两个单位后的坐标为，代入双曲线，得
∴
故答案为-1.
【点睛】
此题主要考查坐标的平移以及双曲线的性质，熟练掌握，即可解题.
13、6
【分析】设长方形的长为a，宽为b，根据根与系数的关系得a+b=3，即可得到结论．
【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，
根据题意得，a+b=3，
所以长方形的周长是2×（a+b）=6.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=.
14、13.5
【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴△EBA∽△ECD，
∴，即，
∴AB＝13.5（米）．
故答案为：13.5
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质.
15、
【分析】根据二次根式有意义的条件得出即可求解.
【详解】若代数式有意义，
则，
解得：，
即实数x的取值范围为.
故填：
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义即根号内的式子要大于等于零是关键.
16、1．
【分析】根据平均数的定义解决问题即可．
【详解】平均成绩＝（4×80+6×90）＝1（分），
故答案为1．
【点睛】
本题考查平均数的定义，解题的关键是掌握平均数的定义.
17、（-1,2）
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：∵点A（1，-2）与点A1（-1，2）关于原点对称，
∴A1（-1，2）．
故答案为：（-1，2）．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
18、．
【解析】根据切线的性质可得出OB⊥AB，从而求出∠BOA的度数，利用弦BC∥AO，及OB=OC可得出∠BOC的度数，代入弧长公式即可得出答案：
∵直线AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB（切线的性质）．
又∵∠A=30°，∴∠BOA=60°（直角三角形两锐角互余）．
∵弦BC∥AO，∴∠CBO=∠BOA=60°（两直线平行，内错角相等）．
又∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形（等边三角形的判定）．
∴∠BOC=60°（等边三角形的每个内角等于60°）．
又∵⊙O的半径为6cm，∴劣弧的长=（cm）．
三、解答题(共66分)
19、（1）y＝(x－1)2－1或y＝x2－2x－3；（2）y＝－(x－1)2＋1
【分析】（1）由表格中的数据，得出顶点坐标，设出函数的顶点式，将（0，－3）代入顶点式即可；
（2）由（1）得顶点坐标和顶点式，再根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出抛物线的顶点坐标，然后根据新抛物线与原抛物线形状相同，开口方向向下写出解析式即可．
【详解】（1）根据题意，二次函数图像的顶点坐标为（1，－1），设二次函数的表达式为
y＝a(x－1)2－1
把（0，－3）代入y＝a(x－1)2－1得，a＝1
∴y＝(x－1)2－1或y＝x2－2x－3
（2）解：∵y= y＝(x－1)2－1，
∴原函数图象的顶点坐标为（1，－1），
∵描出的抛物线与抛物线y＝x2－2x－3关于x轴对称，
∴新抛物线顶点坐标为（1，1），
∴这条抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋1，
故答案为：y＝－(x－1)2＋1．
【点睛】
本题考查了本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质以及二次函数图象与几何变换，根据顶点的变化确定函数的变化，根据关于x轴对称的点的坐标特征求出描出的抛物线的顶点坐标是解题的关键．
20、（1）；（2）45°；（3）1．
【解析】（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理求出点O到H的距离即可；
（2）根据相似三角形的判定与性质，先证明△CDF∽△BDC，再根据相似三角形的性质可求解；
（3）连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，利用相似三角形的性质判定，求得BH的长，然后根据三角形的面积求解即可.
【详解】解：（1）如图，过O作OH⊥CD于H，
∵点D为弧EC的中点，
∴弧ED=弧CD，
∴∠OCH=45°，
∴OH=CH，
∵圆O的半径为2，即OC=2，
∴OH=；
（2）∵当DF•DB=CD2时，，
又∵∠CDF=∠BDC，
∴△CDF∽△BDC，
∴∠DCF=∠DBC，
∵∠DCF=45°，
∴∠DBC=45°；
（3）如图，连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，
∵BD=BC，OD=OC，
∴BH垂直平分CD，
又∵AB∥CD，
∴∠ABO=90°=∠EBC，
∴∠ABE=∠OBC=∠OCB，
又∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACB，
∴，即AB2=AE×AC，
∴，
设AE=x，则AB=2x，
∴AC=4x，EC=3x，
∴OE=OB=OC=，
∵CD=12，
∴CH=6，
∵AB∥CH，
∴△AOB∽△COH，
∴，即，
解得x=5，OH=4.5，OB=7.5，
∴BH=BO+OH=12，
∴△BCD的面积=×12×12=1．
21、（1）证明见解析；（2）BC=1；
【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC＝90°，得出∠C＋∠BAC＝90°，再由OA＝OB，得出∠BAC＝∠OBA，证出∠PBA＋∠OBA＝90°，即可得出结论；
（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
【详解】（1）连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBO+∠OBA＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠C+∠OBA＝90°，
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA+∠OBA＝90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为，
∴OB＝，AC＝2，
∵OP∥BC，
∴∠C＝∠CBO＝∠BOP，
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴，
即，
∴BC＝1．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．
22、（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（2，﹣3）．
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用关于原点对称点的性质直接得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；
（2）如图所示：△A″B″C″，即为所求；
（3）将△ABC绕原点O旋转180°，A的对应点A1的坐标是（2，﹣3）．
【点睛】
考点：1.-旋转变换；2.-平移变换．
23、 (1)或1；(2)当且时，有1个；当时，有2个；当时，有2个；当时，有1个．
【分析】（1）分△AEF∽△BFC和△AEF∽△BCF两种情形，分别构建方程即可解决问题；
（2）根据题意画出图形，交点个数分类讨论即可解决问题；
【详解】解：（1）当∠AEF=∠BFC时，
要使△AEF∽△BFC，需，即，
解得AF=1或1；
当∠AEF=∠BCF时，
要使△AEF∽△BCF，需，即，
解得AF=1；
综上所述AF=1或1．
（2）如图，延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连结CE′，交AB于点F1；
连结CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F1．
当m=4时，由已知条件可得DE=1，则CE=5，
即图中圆的直径为5，
可得此时图中所作圆的圆心到AB的距离为2.5，等于所作圆的半径，F2和F1重合，
即当m=4时，符合条件的F有2个，
当m＞4时，图中所作圆和AB相离，此时F2和F1不存在，即此时符合条件的F只有1个，
当1＜m＜4且m≠1时，由所作图形可知，符合条件的F有1个，
综上所述：
当1＜m＜4且m≠1时，有1个；
当m=1时，有2个；
当m=4时，有2个；
当m＞4时，有1个．
【点睛】
本题考查作图-相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24、大树的高度为(9+3)米
【分析】根据矩形性质得出，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可．
【详解】解:如图,过点D作DG⊥BC于G,DH⊥CE于H,
则四边形DHCG为矩形.
故DG=CH,CG=DH,在中,∵∠DAH=30°,AD=6米,
∴DH=3米,AH=3米,
∴CG=3米,
设BC米,
在中，∠BAC=45°,∴AC米,
∴DG=(3+)米,BG=()米,
在中,
∵BG=DG·tan 30°,
∴(3)×,
解得:9+3,
∴BC=(9+3)米.
答:大树的高度为(9+3)米.
【点睛】
本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键.
25、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据列表分与树形图法即可写出结果；
（2）把所有P点坐标代入函数解析式中即可求解．
【详解】(1) 树状图如下：
由树状图得，点P所有可能的坐标为：
（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）；
(2)把代入函数解析式，得，
把代入函数解析式，得，
把代入函数解析式，得，
9个点中有（1，2）、（2，1）、（3，2）共3个点在该函数的图象上，
所以．
所以点在函数的图象上的概率为．
【点睛】
本题考查了表格法与树形图法求概率、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是正确列出表格或画出树形图．
26、 (1)证明见解析；(2)或．
【解析】（1）求出△的值，再判断出其符号即可；
（2）先求出x的值，再由方程的两个实数根都是整数，且m是正整数求出m的值即可．
【详解】(1)依题意，得
，
，
．
∵，
∴方程总有两个实数根．
(2)∵，
∴，．
∵方程的两个实数根都是整数，且是正整数，
∴或．
∴或．
【点睛】
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关系是解答此题的关键．
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