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常用的数量关系式1、每份数X份数=总数 总数每份数=份数 总数份数=每份数2、1倍数X倍数=儿倍数 儿倍数+1倍数=倍数 儿倍数+倍数=1倍数3、速度X时间=路程 路程+速度=时间 路程时间=速度4、单价X数量=总价 总价单价=数量 总价数量=单价5、工作效率X工作时间=工作总量 工作总量+工作效率=工作时间工作总量:工作时间=工作效率6、加数十加数=和7、被减数一减数=差8、因数X因数=积9、被除数除数=商和 1个加数=另一个加数被减数一差=减数 差+减数=被减数积:一个因数=另一个因数被除数商=除数 商X除数=被除数小学数学图形计算公式1、正方形（C：周长 S：面积周长=边长X4 C-4a面积二边长X边长 S=aXa2、正方体（V:体积 a:棱长）a：边长）表面积=棱长X棱长X6 S表=义义6体积二棱长X棱长X棱长V二a X a X a3、长方形（C：周长 S：面积 a：边长）周长=（长+宽）X2 C=2（a+b）面积=长义宽 S=ab4、长方体（V:体积 s:面积 a:长 b:宽 h:高）表面积（长X宽+长X高+宽X高）X 2 S=2（ab+ah+bh）（2）体积=长义宽义高 V=abh 5、三角形（s：面积 a：底 h：高）面积=底义局42 s-ah4-2三角形高=面积X2:底 三角形底=面积X2+高6、平行四边形（s：面积 a：面积二底X ij sah7、梯形（s：面积 a：上底面积二（上底+下底）X高+2底 h：高）b：下底 h：高）s=（a+b）X h+28、圆形（S：面积 C：周长 ji d=直径 r=半径）周长二直径X Ji=2X ji X半径 C=Ji d=2 ji r（2）面积=半径X半径X ji9、圆柱体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长）（1）侧面积二底面周长X高二ch（2 ji r或ji d）（2）表面积二侧面积+底面积X 2（3）体积二底面积X高（4）体积=侧面积+2X半径10、圆锥体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径）体积=底面积X高4311、总数+总份数=平均数12、和差问题的公式（和+差）+2=大数13、和倍问题和（倍数-1）=小数14、差倍问题差+（倍数一1）=小数（和差）:2=小数小数X倍数=大数（或者和一小数=大数）小数X倍数=大数（或 小数+差=大数）15、相遇问题相遇路程=速度和X相遇时间相遇时间=相遇路程：速度和速度和=相遇路程+相遇时间16、浓度问题溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量溶质的重量+溶液的重量X 100%=浓度溶液的重量X浓度=溶质的重量溶质的重量+浓度=溶液的重量17、利润与折扣问题利润=售出价一成本利润率=利润+成本X 100%=（售出价+成本-1）X 100%涨跌金额=本金X涨跌百分比利息=本金X利率X时间税后利息=本金X利率X时间X（1 20%）常用单位换算长度单位换算1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米面积单位换算1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米体（容）积单位换算1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升重量单位换算1吨=1000千克 1千克=1000克 1千克=1公斤人民币单位换算1元=10角 1角=10分 1元=100分时间单位换算1世纪=100年1年=12月 大月（31天）有:135781012月 小月（30天）的 有:46911 月平年2月28天，闰年2月29天 平年全年365天，闰年全年366天1日=24小时1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒基本概念第一章数和数的运算一概念（一）整数1整数的意义自然数和。都是整数。2自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1,2,3叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。3计数单位一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10o这样的计数法叫做十进制计 数法。4数位计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。5数的整除整数a除以整数b（b W 0）,除得的商是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除，或者说b能整除a o如果数a能被数b（b W 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的 约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1,最大的约数是 它本身。例如：10的约数有1、2、5、10,其中最小的约数是1,最 大的约数是Wo一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数 有：3、6、9、12其中最小的倍数是3,没有最大的倍数。个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,例如：202、480、304,都能被2整除。个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整 除。一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3 整除。二个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整 除。例如：16、404、1256都能被4整除,50、325、500、1675都能被25整除。一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344 都能被 8 整除，1125、13375、5000都能被125整除。能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）,100 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、970一个数，如果除了 1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例 如4、6、8、9、12都是合数。1不是质数也不是合数，自然数除了 1外，不是质数就是合数。如果 把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1和0。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合 数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3X5,3和5叫做15的 质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如把28分解质因数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做 这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的 约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公约数,6是它们的最大公约数。公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列 几种情况：1和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两 个都互质，就说这几个数两两互质。如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做 这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18 3的倍数有3、6、9、12、15、18 其中6、12、18是2、3 的公倍数，6是它们的最小公倍数。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。（二）小数1小数的意义把整数1平均分成10份、100份、1000份 得到的十分之几、百 分之几、千分之几 可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分 之几.一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做 小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部 分，小数点右边的数叫做小数部分。在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高 分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是 10o2小数的分类纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：0.25、0.368都 是纯小数。带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。例如：3.25、5.26 都是带小数。有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如：41.7、25.3、0.23都是有限小数。无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如：4.33 3.1415926 无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。例如：n循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重 复出现，这个数叫做循环小数。例如：3.555 0.0333 12.109109 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小 数的循环节。例如：3.99的循环节是“9”，0.5454 的循环节是“54”o纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如:3.111 0.5656 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。3.1222 0.03333 写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有个数字，就只在它的上面点一个点。例如：3.777简写作 0.5302302 简写作 o（三）分数1分数的意义把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表 示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这 样的多少份。把单位“1，平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2分数的分类真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假 分数大于或等于1。带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。3约分和通分把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。（四）百分数1表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用“”来表示。百分号是表示百分数的符号。二方法（一）数的读法和写法1.整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先 按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末 尾的0都不读出来，其它数位连续有几个。都只读一个零。2.整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单 位也没有，就在那个数位上写0。3.小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点 读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。4.小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数 点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。5.分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子 和分母按照整数的读法来读。6.分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写 法来写。7.百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按昭壑数的读法来读。8.百分数访写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面 加上百分号“”来表示。（二）数的改写一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写 成近似数。1.准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改 写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把 1254300000改写成以万做单位的数是125430万；改写成以亿做单 位的数12.543亿。2.近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位 后面的尾数，用一个近似数来表示。例如：1302490015省略亿后面 的尾数是13亿。3.四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小，就把 尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略345900万后面的尾数约是35万。省略4725097420亿后面的尾数约是47亿。4.大小比较1.比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数 相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相 同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。2.比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就 大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数 也相同的，百分位上的数大的那个数就大3.比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同 的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再 比较两个数的大小。（三）数的互化1.小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。2.分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的 不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。3.一个最简分数，如果分母中除了 2和5以外，不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。4.小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百 分号。5.百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把 小数点向左移动两位。6.分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三 位小数），再把小数化成百分数。7.百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分 数。（四）数的整除1.把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质 数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。2.求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去 除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求 积，这个积就是这几个数的的最大公约数。3.求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除 数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。4.成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质；相邻的两个自然 数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两 个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。（五）约分和通分约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通 常要除到得出最简分数为止。通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分 数化成用这个最小公倍数作分母的分数。三性质和规律（一）商不变的规律商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同 的倍，商不变。（二）小数的性质小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化1.小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两 位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大 1000 倍.2.小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两 位，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小 1000 倍.3.小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0”补足位。（四）分数的基本性质分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除 外），分数的大小不变。（五）分数与除法的关系1.被除数除数=被除数/除数2.因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。3.被除数 相当于分子，除数相当于分母。四运算的意义（一）整数四则运算1整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和 是总数。加数十加数二和 一个加数二和一另一个加数2整数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数 叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。加法和减法互为逆运算。3整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和 叫做积。在乘法里，0和任何数相乘都得0.1和任何数相乘都的任何数。一个因数X 一个因数二积 一个因数二积另一个因数4整数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的 因数叫做商。乘法和除法互为逆运算。在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个 数除以0,均得不到一个确定的商。被除数除数二商 除数二被除数商 被除数二商X除数（二）小数四则运算1.小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的 运算。2.小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的 一个加数，求另一个加数的运算.3.小数乘法：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的 简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几是多少。4.小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其 中一个因数，求另一个因数的运算。5.乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如3 X 3=32(三)分数四则运算1.分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的 运算。2 分数减法.分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的 一个加数，求另一个加数的运算。3.分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简 便运算。4.乘积是1的两个数叫做互为倒数。5.分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其 中一个因数，求另一个因数的运算。(四)运算定律1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置,它们的和不变，即a+b=b+a o2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个 数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即(a+b)+c=a+(b+c)。3.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即aXb二bXa。4.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个 数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(aXb)Xc二aX(bXc)。5.乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两 个积相加，即(a+b)X c=a X c+b X c。6.减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差 不变，即 a-b-c=a-(b+c)。(五)运算法则1.整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进O2.整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位 退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。3.整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用 因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次 乘得的数加起来。4.整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果 不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1,要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。5.小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从 积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。6.除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。7.除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位(位数不够的补0”)，然后按照除数是整数的除法法则进行计算。8.同分母分数加减法计算方法：同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。9.异分母分数加减法计算方法：先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。10.带分数加减法的计算方法：整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。11.分数乘法的计算法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数 乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。12.分数除法的计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。（六）运算顺序1.小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。2.分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。3.没有括号的混合运算：同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。4.有括号的混合运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。5.第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。6.第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。五应用（一）整数和小数的应用1简单应用题（1）简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的 应用题，通常叫做简单应用题。（2）解题步骤：a审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读 题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以 复述条件和问题，帮助理解题意。b选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉 什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的 含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。C检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过 程是否正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。2复合应用题（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运 算解答的应用题，通常叫做复合应用题。（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。求比两个数的和多（少）几个数的应用题。比较两数差与倍数关系的应用题。（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或 差)。已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少(或倍数关系)。(4)解答连乘连除应用题。(5)解答三步计算的应用题。(6)解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的 应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相 同，只是在已知数或未知数中间含有小数。d答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。(3)解答加法应用题：a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是 多少。b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少,求乙数是多少。(4)解答减法应用题：a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。-b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数 比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，乙数比甲数少多 少，求乙数是多少。(5)解答乘法应用题：a求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是 它的几倍，求另一个数是多少。(6)解答除法应用题：a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把 这个数平均分成几份的，求每一份是多少。b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少,求可以分成几份。C求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。(7)常见的数量关系：总价二单价X数量路程二速度X时间工作总量二工作时间X工效总产量二单产量X数量3典型应用题 具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典 型应用题。（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均 每份是多少。数量关系式：数量之和小数量的个数二算术平均数。加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。数量关系式（部分平均数X权数）的总和小（权数的和）=加权平均 数。差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分,求的是标准数与各数相差之和的平均数。数量关系式：（大数一小数）92=小数应得数 最大数与各数之差的 和-总份数=最大数应给数 最大数与个数之差的和小总份数二最小数应得数。例：一辆汽车以每小时100千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小 时60千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地 的路程设为“1”，则汽车行驶的总路程为“2”，从甲地到乙地的 速度为100,所用的时间为，汽车从乙地到甲地速度为60千米，所用的时间是，汽车共行的时间为+=,汽车的平均速度为2 4-=75（千米）（2）归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种 量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正 归一问题，反归一问题。一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单 归一。”两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双 归一。”正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的 归一问题。反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的 归一问题。解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一 量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。数量关系式：单一量X份数=总数量（正归一）总数量单一量二份数（反归一）例一个织布工人，在七月份织布4774米，照这样计算，织布6930 米，需要多少天？分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。693 0（477 4 31）=45（天）（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的 单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或 单位数量）。特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不 过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。数量关系式：单位数量X单位个数另一个单位数量=另一个单位数 量 单位数量X单位个数另一个单位数量二另一个单位数量。例 修一条水渠，原计划每天修800米，6天修完。实际4天修完,每天修了多少米？分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也 把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。80 0 X 6 4=1200（米）（4）和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数 各是多少的应用题叫做和差问题。解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的 和），然后再求另一个数。解题规律：（和+差）+2=大数 大数一差二小数（和一差）2二小数 和一小数二大数例某加工厂甲班和乙班共有工人94人，因工作需要临时从乙班调 46人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少12人，求原来甲班和乙班 各有多少人？分析：从乙班调46人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化 成2个乙班，即94 12,由此得到现在的乙班是（94 12）+2=41（人），乙班在调出46人之前应该为41+46=87（人），甲 班为94-87=7（人）（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数 各是多少的应用题，叫做和倍问题。解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几 倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多 少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求 另一个数（或几个数）的数量。解题规律：和小倍数和二标准数 标准数X倍数二另一个数例:汽车运输场有大小货车115辆，大货车比小货车的5倍多7辆,运输场有大货车和小汽车各有多少辆？分析：大货车比小货车的5倍还多7辆，这7辆也在总数115辆 内，为了使总数与（5+1）倍对应，总车辆数应（115-7）辆。列式为（115-7）+（5+1）=18（辆），18 X 5+7=97（辆）（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各 是多少的应用题。解题规律：两个数的差个（倍数一1）=标准数 标准数X倍数二另一 个数。例甲乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米，两根绳剪去同样 的长度，结果甲所剩的长度是乙绳长的3倍，甲乙两绳所剩长度各 多少米？各减去多少米？分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙 绳的3倍，实比乙绳多（3-1）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（63-29）（3-1）=17（米）乙绳剩下的长度，17 X 3=51（米）甲绳剩下的长度，29-17=12（米）剪去的长度。（7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类 问题的规律解答。解题关键及规律：同时同地相背而行：路程二速度和X时间。同时相向而行：相遇时间二速度和X时间同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间二路程速度差。同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程二速度差X时间。例甲在乙的后面28千米，两人同时同向而行，甲每小时行16千 米，乙每小时行9千米，甲几小时追上乙？分析：甲每小时比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小时可以追近 乙（16-9）千米，这是速度差。已知甲在乙的后面28千米（追击路程），28千米 里包含着几个（16-9）千米，也就是追击所需要的时间。列式28+（16-9）=4（小时）（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问 题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考 虑水速在逆行和顺行中的不同作用。船速：船在静水中航行的速度。水速：水流动的速度。顺水速度：船顺流航行的速度。逆水速度：船逆流航行的速度。顺速=船速+水速逆速二船速一水速解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速 的差，所以流水问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索。解题规律：船行速度二（顺水速度+逆流速度）+2流水速度=（顺流速度逆流速度）+2路程二顺流速度X顺流航行所需时间路程二逆流速度X逆流航行所需时间例一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行28千米，到乙地 后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行2小时，已知水速每 小时4千米。求甲乙两地相距多少千米？分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速 度和逆水的时间。已知顺水速度和水流 速度，因此不难算出逆水的速 度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水 少用2小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用 的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为284 X 2=20（千米）20 X 2=40（千米）40（4 X 2）=5（小时）28 X 5=140（千米）。（9）还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果,求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。解题规律：从最后结果出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方 法，逐步推导出原数。根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导 出原数。解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除 法时别忘记写括号。例某小学三年级四个班共有学生168人，如果四班调3人到三班，三班调6人到二班，二班调6人到一班，一班调2人到四班，则四 个班的人数相等，四个班原有学生多少人？分析：当四个班人数相等时，应为1684,以四班为例，它调给 三班3人，又从一班调入2人，所以四班原有的人数减去3再加上 2等于平均数。四班原有人数列式为168 4-2+3=43（人）一班原有人数列式为1684-6+2=38（人）；二班原有人数列式为 168 4-4-6+6=42（人）三班原有人数列式为168+4-3+6=45（人）。（10）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而 确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。解题规律：沿线段植树棵树二段数+1 棵树二总路程小株距+1株距二总路程小（棵树-1）总路程二株距X（棵树-1）沿周长植树棵树二总路程株距株距二总路程棵树总路程二株距X棵树例 沿公路一旁埋电线杆301根，每相邻的两根的间距是50米。后 来全部改装，只埋了 201根。求改装后每相邻两根的间距。分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为50 X（301-1）（201-1）=75（米）（11）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是 把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次 有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足 的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物 品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前 一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。解题规律：总差额每人差额二人数总差额的求法可以分为以下四种情况：第一次多余，第二次不足，总差额=多余+不足第一次正好，第二次多余或不足，总差额二多余或不足第一次多余，第二次也多余，总差额二大多余-小多余第一次不足，第二次也不足，总差额=大不足-小不足例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组10 人，则多25支，如果小组有12人，色笔多余5支。求每人分得 几支？共有多少支色铅笔？分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有12人，比10人 多2人，而色笔多出了（25-5）=20支，2个人多出20支，一个人分得10支。列式为（25-5）（12-10）=10（支）10 X 12+5=125（支）。（12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种 应用题被称为“年龄问题”。解题关键：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着 时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不 变的特点。例 父亲48岁，儿子21岁。问几年前父亲的年龄是儿子的4倍？分析：父子的年龄差为48-21=27（岁）。由于几年前父亲年龄是儿子 的4倍，可知父子年龄的倍数差是（4-1）倍。这样可以算出几年 前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的4倍。列式 为：21（48-21）（4-1）=12（年）（13）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题 解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全 是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头 数。解题规律：（总腿数一鸡腿数X总头数）一只鸡兔腿数的差二兔子只 数兔子只数二（总腿数-2X总头数）如果假设全是兔子，可以有下面的式子：鸡的只数二（4X总头数-总腿数）+2兔的头数二总头数-鸡的只数例 鸡兔同笼共