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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（）
A.（0，1） B.（-2，1）
C.（0，） D.（0，2）
2．若函数为上的奇函数，则实数的值为（）
A. B.
C.1 D.2
3．已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
4．函数的一个零点是（ ）
A. B.
C. D.
5．定义在上的函数满足，且当时，.若关于的方程在上至少有两个实数解，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
6．已知函数那么“a=0”是“函数是增函数”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7．若，，，则的大小关系为（）
A. B.
C. D.
8．函数的单调递减区间为
A. B.
C. D.
9．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
A. B.
C. D.
10．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（）
A. B.
C.2 D.4
11．已知函数是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数
A. B.2
C.3 D.2或
12．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的侧面积为（）
A.48 B.42
C.36 D.30
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．函数(且)的图象恒过定点_________
14．函数的定义域为______
15．写出一个值域为，在区间上单调递增的函数______
16．已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费.这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分钟后的病毒所占内存为yKB.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果病毒占据内存不超过1GB（，）时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长.
18．求下列各式的值
（1）
（2）
（3）
（4）
19．如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，.
（1）用，表示，，
（2）求与夹角的余弦值.
20．国际上常用恩格尔系数r来衡量一个国家或地区的人民生活水平．根据恩格尔系数的大小，可将各个国家或地区的生活水平依次划分为：贫困，温饱，小康，富裕，最富裕等五个级别，其划分标准如下表：
级别
贫困
温饱
小康
富裕
最富裕
标准
r＞60%
50%＜r≤60%
40%＜r＝50%
30%＜r≤40%
r≤30%
某地区每年底计算一次恩格尔系数，已知该地区2000年底的恩格尔系数为60%．统计资料表明：该地区食物支出金额年平均增长4%，总支出金额年平均增长．根据上述材料，回答以下问题.
（1）该地区在2010年底是否已经达到小康水平，说明理由；
（2）最快到哪一年底，该地区达到富裕水平？
参考数据：，，，
21．记函数=的定义域为A，g（x）=（a<1）的定义域为B.
（1）求A；
（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
22．已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调区间；
（2）求函数在上的值域.
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、A
【解析】根据函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为在定义域上是减函数，
所以由，
故选：A
2、A
【解析】根据奇函数的性质，当定义域中能取到零时，有，可求得答案.
【详解】函数为上的奇函数,
故，得，
当时，满足，
即此时为奇函数，
故，
故选：A
3、B
【解析】直接利用交集运算法则得到答案.
【详解】，，则
故选：
【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.
4、B
【解析】根据正弦型函数的性质，函数的零点，即时的值，解三角方程，即可求出满足条件的的值
【详解】解：令函数，
则，
则，
当时，.
故选：B
5、C
【解析】原问题等价于函数与的图象至少有两个交点
【详解】解：关于的方程在上至少有两个实数解，等价于函数与的图象至少有两个交点，
因为函数满足，且当时，，
所以当时，，时，，时，，
所以的大致图象如图所示：
因为表示恒过定点，斜率为的直线，
所以要使两个函数图象至少有两个交点，由图可知只需，即，
故选：C
6、A
【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当时，，函数是增函数，故充分；
当函数是增函数时，则，故不必要；
故选：A
7、A
【解析】由指数函数的单调性可知,由对数函数的单调性可知,化简,进而比较大小即可
【详解】因为在上是增函数,所以；
在上是增函数,所以；
,
所以,
故选:A
【点睛】本题考查指数、对数比较大小问题,考查指数函数、对数函数的单调性的应用
8、C
【解析】由幂函数的性质知，函数的图像以原点为对称中心，在均是减函数
故答案为C
9、A
【解析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可
【详解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确
y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故选A
考点：三角函数的性质.
10、D
【解析】根据图象求得正确答案.
【详解】由图象可知.
故选：D
11、A
【解析】根据幂函数的定义，求出m的值，代入判断即可
【详解】函数是幂函数，
，解得：或，
时，，其图象与两坐标轴有交点不合题意，
时，，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，
故，
故选A
【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查常见函数的性质，是一道常规题
12、C
【解析】由三视图可知该“堑堵”的高为，其底面是直角边为，斜边为的三角形，从而可求出其侧面积.
【详解】解：由三视图易得该“堑堵”的高为，其底面是直角边为，斜边为的三角形，
故其侧面积为.
故选：C.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】令对数的真数为，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；
【详解】解：因为函数(且)，
令，解得，所以，即函数恒过点；
故答案为：
14、
【解析】由对数的真数大于零、二次根式的被开方数非负，分式的分母不为零，列不等式组可求得答案
【详解】由题意得
，解得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
15、
【解析】综合考虑值域与单调性即可写出满足题意的函数解析式.
【详解】，
理由如下：
为上的减函数，且，
为上的增函数，且，
，
故答案为：
16、
【解析】根据题意求出函数和图像，画出图像根据图像解题即可.
【详解】因为满足，即；
又由，可得，因为当时，
所以当时，，所以，即；
所以当时，，所以，即；
根据解析式画出函数部分图像如下所示；因为对任意，恒成立，
根据图像当时，函数与图像交于点，
即的横坐标即为的最大值才能符合题意，所以，解得，
所以实数的取值范围是：.
故答案为：.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）（）
（2）57分钟
【解析】（1）根据题意可得，y关于x的函数解析式；
（2）先根据题意，换算病毒占据的最大内存,根据（1）中的解析式，列出不等式，可得答案.
【小问1详解】
因为这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍.
所以x分钟后的病毒所占内存为，得（）
【小问2详解】
因为病毒占据内存不超过1GB时，计算机能够正常使用，
故有，解得.
所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟.
18、（1）0；（2）；
（3）；
（4）.
【解析】（1）（2）利用和角的余弦公式，差角的正弦结合诱导公式分别计算作答.
（3）（4）逆用二倍角的正弦、余弦公式求解作答.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
.
【小问4详解】
.
19、（1），；（2）.
【解析】（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定，与，的关系；
（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值.
【详解】解法一：
（1）由图可知.
因为E是CD的中点，所以.
（2）因为，为等边三角形，所以，，
所以，
所以，
.
设与的夹角为，则，
所以在与夹角的余弦值为.
解法二：（1）同解法一.
（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，.
因为E是CD的中点，所以，
所以，，
所以，
.
设与的夹角为，则，
所以与夹角的余弦值为.
【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用
20、（1）已经达到，理由见解析
（2）2022年
【解析】（1）根据该地区食物支出金额年平均增长4%，总支出金额年平均增长的比例列式求解，判断十年后是否达到即可.
（2）假设经过n年，该地区达到富裕水平，列式，利用指对数互化解不等式即可.
【小问1详解】
该地区2000年底的恩格尔系数为%，
则2010年底的思格尔系数为
因为
所以1，
则
所以
所以该地区在2010年底已经达到小康水平
【小问2详解】
从2000年底算起，设经过n年，该地区达到富裕水平
则，
故，即
化为
因为，则In，所以
因为
所以
所以，最快到2022年底，该地区达到富裕水平
21、（1）
（2）
【解析】（1）第一步要使有意义，第二步由按分式不等式的解法求求A；
（2）第一步使有意义求集合B，第二步真数大于零求解然后按照BÜA，求解.
【小问1详解】
由得：，解得或，
即；
【小问2详解】
由得：由得
BÜA或
即或，而或
故当BÜA时，实数的取值范围是.
22、⑴，递增区间，递减区间
⑵
【解析】整理函数的解析式可得：.
（1）由最小正周期公式和函数的解析式求解最小正周期和单调区间即可.
⑵结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域为.
详解】
.
（1），
递增区间满足：，
据此可得，单调递增区间为，
递减区间满足：，
据此可得，单调递减区间为.
（2），，，
，
的值域为.
【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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