第四章-平行四边形培优训练试卷整理及答案.doc

第四章 平行四边形培优训练
一． 选择题
1.七边形外角和为（　　）
A. 180° B.360° C.900° D.1260°
2.四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A.OA=OC，OB=OD B.AD∥BC，AB∥DC
C.AB=DC，AD=BC D.AB∥DC，AD=BC
3.如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A.13 B. 14 C.15 D.16
4.下列选项中的四边形只有一个为平行四边形，根据图中所给的边长长度及角度，判断为平行四边形的是(　　)

5.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A.平行四边形 B.矩形 C.正三角形 D.等腰梯形
6.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（　　）
　 A． B．
C． D．
7.如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使 △ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（　　）
A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D. ∠1=∠2

8..已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（　　）
A．100° B．160° C．80° D． 60°
9.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
10.在□中，延长AB到E，使BE＝AB，连接DE交BC于F，则下列结论不一定成立的是( )
A． B． C． D．
A
B
C
D
E
F
第16题

11.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　）
A. 7 B. 10 C. 11 D. 12
12.若以A(－0.5,0)，B(2,0)，C(0,1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

13．如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；③BD=BF；④S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
14．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有【 】个．
第5题

A．2 B．3 C．4 D．5
15．下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是 （ ）.
(A)AB∥CD ，AD=BC (B)AB=AD，CB=CD
(C)AB=CD，AD=BC (D)∠B=∠C，∠A=∠D
16．已知,如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线与AD相交于点P,下列说法中正确的是（ ）
①△APB是等腰三角形 ②∠ABP+∠BPD=180°③PD+CD=BC ④
A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④
17．已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC的方向平移到△A/B /C /的位置，使B / 和C重合，连结AC / 交A/C于D，则△C /DC的面积为 （　　）

A. 6　 B. 9　 C. 12　 D. 18
二． 填空题
1.将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为

2.在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=，则▱ABCD的周长等于　
3.在下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是___________
①线段，②角，③等边三角形，④圆，⑤平行四边形，⑥矩形．
4.如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为___
5.如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_
6.如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是

7.如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，－3），则D点的坐标是
8..如图，▱ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC=30°，AE=3，则AC的长等于　　
9.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是　 　 （填序号）
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．

10.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CA是的平分线，且则AC=__________

11. 如图，在 ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E， 且AE=3，则AB=_____
12．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD
其中正确结论的为　 　（请将所有正确的序号都填上）．

13．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=70°，∠C=40°，DE//AB交BC于点E．若AD=3cm，BC=10cm，则CD的长是 cm.

14．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ，连接EF、GH得到四边形EFGH，设S四边形ABCD=S1，S四边形EFGH=S2，S四边形MNPQ=S3，若S1+S2+S3=20，则S2= .
15．如图,△ABC是等边三角形,P是△ABC内一点,PE∥AC交AB于点E,PF∥AB交BC于点F,PD∥BC交AC于点D.已知△ABC的周长是12 cm,则PD+PE+PF=______________ cm.

三．解答题
1.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．（1）求证：BE=DF； （2）求证：AF∥CE．

2.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G．
求证：（1）∠1=∠2；（2）DG=B′G．

3.如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD．
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）求证：BD=MN．

4.如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．

5.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．

6.在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.
(1)求证：△AEM≌△CFN；
(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．

7．(1)如图(1)，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F.求证：AE＝CF.
(2)如图(2)，将▱ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I.求证：EI＝FG.

（1）　 （2）
8.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF ．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

9．如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边B D延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC.

（1）求证：△BAD≌△AEC；
（2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积.

10．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，

（1）的值为　 　；
（2）求证：AE=EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

11．已知，如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，点E是边AD上一点，

（1）若∠CAD=∠EBC，AC=BE，AB=6，求CE的长。
（2）若AE+AB=BC,求证：∠BEC=∠ABE+∠BAD.
12．如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG。
求证：四边形GEHF是平行四边形。

13．如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD＝4cm，AB＝6cm，DC＝10cm.若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动.当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动.设点P、Q同时出发，并运动了t秒，

（1）直角梯形ABCD的面积为 cm2.
（2）当t＝　　　　　秒时，四边形PQCD成为平行四边形？
（3）当t＝　　　　　秒时，AQ=DC；
（4）是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此时t的值，若不存在，说明理由.

参考答案
一． 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
B
D
D
B
C
C
D

三． 解答题
21．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD.∴∠EAM＝∠FCN.
又∵AD∥BC，∴∠E＝∠F.
又∵AE＝CF，
∴△AEM≌△CFN(ASA)．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
又由(1)，得AM＝CN，∴BM＝DN.
又∵BM∥DN∴四边形BMDN是平行四边形．

22．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC.∴∠1＝∠2.
又∵∠3＝∠4，
∴△AOE≌△COF(ASA)．∴AE＝CF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.
由(1)，得AE＝CF.
由折叠的性质，得AE＝A1E，∠A1＝∠A，∠B1＝∠B，
∴A1E＝CF，∠A1＝∠C，∠B1＝∠D.
又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.
∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6.
在△A1IE与△CGF中，

∴△A1IE≌△CGF(AAS)．∴EI＝FG.

23.解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；
证明：（2）①∵△ABC≌△DBE，

∴BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形；
②∵△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED；
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．

24.证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，

∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．

25.解：（1）延长PE交CD的延长线于F，
设AP=x，△CPE的面积为y，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=DC=6，AD=BC=8，
∵Rt△APE，∠A=60°，∴∠PEA=30°，∴AE=2x，PE=x，
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD﹣AE=8﹣2x，
∴DF=DE=4﹣x，
∵AB∥CD，PF⊥AB， ∴PF⊥CD，∴S△CPE=PE•CF，
即y=×（10﹣x）=+，
配方得： 当x=5时，y有最大值
即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是
（2）当△CPE≌△CPB时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，
∴∠CED=180°﹣∠AEP﹣∠PEC=30°，
∵∠ADC=120°，∴∠ECD=∠CED=180°﹣120°﹣30°=30°，
∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，
过D作DM⊥CE于M，则CM=CE，

参考答案
一． 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
B
B
B
D
A
A
A
附第7题解析：解：A选项延长AC、BE交于S，∵∠CAE=∠EDB=45°，∴AS∥ED，则SC∥DE．同理SE∥CD，∴四边形SCDE是平行四边形，∴SE=CD，DE=CS，
即乙走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；
B选项延长AF、BH交于S1，作FK∥GH，
∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，∴△SAB≌△S1AB，
∴AS=AS1，BS=BS1，∵∠FGH=67°=∠GHB，∴FG∥KH，
∵FK∥GH，∴四边形FGHK是平行四边形，∴FK=GH，FG=KH，
∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，∵FS1+S1K＞FK，
∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，
同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB，又∵AS+BS＜AS2+BS2，故选D．

三．解答题
21.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠5=∠3，
∵∠1=∠2， ∴∠AEB=∠4，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF；
（2）由（1）得△ABE≌△CDF， ∴AE=CF，
∵∠1=∠2， ∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF∥CE．

22．证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，
∴∠2=∠FEC，
由折叠得：∠1=∠FEC， ∴∠1=∠2；
（2）∵∠1=∠2，∴EG=GF，
∵AB∥DC，∴∠DEG=∠EGF，
由折叠得：EC′∥B′F，∴∠B′FG=∠EGF，
∵DE=BF=B′F， ∴DE=B′F，
∴△DEG≌△B′FG， ∴DG=B′G．
23.证明：（1）∵ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴MD=NC，MD∥NC，
∴MNCD是平行四边形；
（2）如图：连接ND，
∵MNCD是平行四边形，∴MN=DC．
∵N是BC的中点，∴BN=CN，
∵BC=2CD，∠C=60°，∴△NVD是等边三角形．∴ND=NC，∠DNC=60°．
∵∠DNC是△BND的外角，∴∠NBD+∠NDB=∠DNC，
∵DN=NC=NB，∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°，∴∠BDC=90°．
∴DB=DC=MN．
24.（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE， ∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE， ∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE， ∴BE=AF；
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，

∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°， ∴DG=BD=×6=3，
∵BE=DE， ∴BH=DH=BD=3，
∴DE=BE=2，
∴四边形ADEF的面积为：DE•DG=6．
25.（1）证明：∵DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，

∵O为AC的中点，即OA=OC，AE=CF，
∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
，∴△BOE≌△DOF（AAS）；

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