概率统计练习册习题解答.doc

苏州科技学院概率论与数理统计活页练习册习题解答信息与计算科学系概率论与数理统计教材编写组2013年12月 习题1-1样本空间与随机事件1选择题（1）设为三个事件，则“中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ）（A） （B） （C） （D）（2）设三个元件的寿命分别为，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过”可表示为（ D ）A B C D 2用集合的形式表示下列随机试验的样本空间与随机事件A：对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A表示“射击次数不超过5次”。 解：；。3设某工人连续生产了4个零件，表示他生产的第个零件是正品（），试用表示下列各事件：（1）只有一个是次品； （2）至多有三个不是次品； 。习题1-2随机事件的概率及计算1填空题（1）已知，则0.6，0.4，0 ，0.4。（2）设事件与互不相容，则=0.3，=0.6。2选择题（1）如果，则（ C ）(A) 与互不相容 (B) 与互不相容(C) (D) (2) 两个事件与是对立事件的充要条件是（ C ） （A） （B） （C） （D）3一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率； （3）5只中至多有一只坏的概率。解：（1）=0.6624 （2）=0.0354 （3）=0.9634（1）教室里有个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率. 解：（1）设“他们的生日都不相同”，则； （2）设“至少有两个人的生日在同一个月”，则 ；或 .习题1-3条件概率1选择题：（1）设A，B为两个相互对立事件，且，则( C )。（A） （B） （C） （D）（2）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p，第二道工序的废品率为q，则该零件加工的成品率为（ ）（A） （B） （C） （D）2填空题:(1) 已知若互不相容，则 . ；若相互独立，则 . .(2) 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，该射手的命中率_。3为防止意外，在矿内同时安装了两种报警系统A与B，每种报警系统都使用时，对系统A其有效的概率是0.92，对系统B其有效的概率为0.93，在A失效的条件下，B有效的概率为0.85.求：（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）B失灵的条件下，A有效的概率。解：设“报警系统A有效”，“报警系统B有效”则 （1） （2）因为：4玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求： （1）顾客买下该箱的概率； （2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率.解 设“顾客买下该箱”，“箱中恰有件残次品”， （1） ； （2）.5据数据显示，每1000名50岁的低风险男性中，有3名患有结肠癌.如果一名男性患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是50%，如果一名男性没有患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是3%如果对一名低风险男性进行的隐血检查表明有隐血，那么他患有结肠癌的概率是多少？解 设=“50岁男性患有结肠癌”，=“大便隐血检查呈隐血”由题意，由贝叶斯公式（1.3.5），习题2-1 随机变量及其分布函数1判断下列函数能否为某随机变量的分布函数.（ ） 解：是；不是，因为.习题2-2 离散型随机变量1 填空题(1) 设随机变量的分布律为: ，试确定。(2) 一批产品共100个，其中有10个次品，从中放回取5次，每次取一个，以表示任意取出的产品中的次品数，则的分布为 。(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是，以表示射击的次数，则的分布律为 。2. 将编号为的四个球随机地放入个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以表示放球最多的盒子中球的个数，试求的分布列及其分布函数.解：；.3 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？(2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？解：设一周内发生交通事故的次数为X，则。（1） 。（2） 。4某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为，现购买张彩票，试求：（1） 此人中奖的概率；（2）至少有张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）。解：设中奖的彩票数为，则.（1）.（2）由于，故.习题2-3连续型随机变量1. 设连续型随机变量的密度函数为试求：（1）常数的值；（2）随机变量的分布函数；（3）。解：（1）由于. 故. （2）当时，； 当时，； 当时，； 当时，.故，（3）.2. 设连续型随机变量的分布函数为, 试求：（1）系数A；（2）的密度函数；（3）。解：（1）由知，。 （2） （3）。3. 设K在(0，5)内服从均匀分布, 求方程有实根的概率。解：所求的概率为：4. 某种型号的电子管寿命 (以小时计)具有以下概率密度 ，现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？解： 。从而所求概率为。5. 设连续型随机变量，（1）求；（2）确定常数C使。解：（1）（2） 由于，从而，。故。所以，,故。习题2-4 二维随机变量及其分布1一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件。现从中随机抽取一件，记 试求的联合分布列。解：2. 完成下列表格YX0.10.10.20.40.20.20.20.60.30.30.413设二维随机变量的联合密度函数为：，求：（1）常数；（2）；（3）和的边缘密度函数。解：（1） 。求X的边缘密度函数：。 当时，； 当时，。求Y的边缘密度函数：。当时，； 当时，。4. 设服从上的均匀分布，求：（1）的联合概率密度函数；（2）；（3）和的边缘密度函数。解：（1）由（X，Y）服从G上的均匀分布知，（X，Y）的联合密度为：（2）。（3）先求X的边缘密度：。 当时，；当时，。 再求Y的边缘密度函数：当时，；当时，。习题2-5 条件分布及随机变量的独立性1设二维离散型随机变量只取 及 四对值，相应概率依次为，试判断随机变量X与Y是否相互独立。解：由于 而所以，X与Y不独立。2. 设随机变量与相互独立，试完成下表： Y 1/241/81/121/41/83/81/43/41/61/21/313设二维连续型随机变量的联合密度函数为试判定与是否相互独立。解：.当或时，；当时，.当或时，；当时，.由于当时，且区域的面积不为0，所以，与不相互独立.4. 设二维连续型随机变量的联合密度函数为，求常数c，并判断X与Y是否相互独立。解：从而，。 求X的边缘密度：。当时，；当时，。 求Y的边缘密度函数：。 当时，；当时，。由于对任x，y，有。所以，X与Y相互独立。5设和是两个相互独立的随机变量，在（0,1）内服从均匀分布，的概率密度为（1）求与的联合概率密度；（2）设关于的二次方程为 ，求此方程有实根的概率。解：由0，1知的密度为：=由独立知，,的一个联合密度为： 方程有实跟的概率为： 。习题2-6 随机变量函数的分布1 设随机变量的分布列为-2-1011/61/31/61/3 试求：(1)，(2)的分布列。解： 2设随机变量，试求的密度函数。解：由知其密度函数为设，函数. 则，.所以，当时，.从而，当，即时，。 3设连续型随机变量的密度函数为 试求的密度函数。解：先求的分布函数，在对其求导数. .当时，故；当时，.当，即时，故，；当且，即时，故，； 当且，即时，故. 4. 设连续型随机变量的密度函数为， 求函数 的密度函数。解： 解法一： 所以：解法二：的反函数为：，其导数：代入公式：习题3-1 数学期望1填空题（1）设二维随机变量，则 33 。（2）设随机变量，若，则 -8 。2设的分布列为：-1 0 1 2 求（1）；（2）；（3）。解：，。故。3设连续型随机变量的密度函数为，求（1），（2）。解：，。4设二维离散型随机变量的联合分布列为 0 1 0 0.3 0.4 1 0.2 0.1 求：（1）,；（2）,。解：（1）01 0.5 0.5 01 0.7 0.3 (2) ， 。5设服从在上的均匀分布，其中为轴、轴及直线所围成的区域，求（1）; （2） ;（3）。解：由题意知的联合密度为： （1）。（2） 。（3）=。习题3-2 方差1. 填空题（1）设随机变量，相互独立，其中，服从参数为3的泊松分布，记，则 46 。（2）已知，则_，_。（3）设二维随机变量，则_5_，分布为_。2. 设连续型随机变量的分布函数为，求（1）的密度函数；（2）。解：(1)由知 （2），。3设随机变量且，随机变量且与相互独立，试求及。解：由知，. 所以，. 又，故. 所以，. 由于，故，. 所以，.由于与相互独立，故。4设的概率密度为,试求及。解： , , , , 。习题3-3 协方差与相关系数习题3-4 其他特征数1填空题（1）设随机变量，且，若，则_23_。（2）设服从二维正态分布，则是与相互独立的 充要 条件。（3）设服从二元正态分布，则_4_。2. 选择题（1）设与的相关系数，则必有 C 。 (A)与相互独立； (B)与不一定相关；(C)与必不相关； (D)与必相关（2）设随机变量与的期望和方差存在，且，则下列说法哪个是不正确的 D 。(A)； (B)；(C)与不相关； (D)与独立3. 已知二维离散型随机变量的概率分布为 ，（1）求协方差及相关系数；（2）与是否相互独立？是否不相关？解：及的边缘分布列为： 。故。所以，。(2)由于 所以与不独立。但,故与不相关。4设二维连续型随机变量的联合密度函数为试求：（1）相关系数；（2）与是否相互独立？是否不相关？解：（1），。，。（2）由于，所以，与相关. 从而，与不相互独立.习题4 大数定律与中心极限定理1. 用切比雪夫不等式估计下列各题的概率：（1）废品率为0.03，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率。（2）200个新生婴儿中，男孩多于80个且少于120个的概率（假定生男孩和生女孩的概率均为0.5）。解 （1）设表示1000个产品中废品的个数，则，所以 所求概率 在切比雪夫不等式 中取，就有 。（2）设表示200个新生婴儿中男孩的个数，则。所以 所求概率 在切比雪夫不等式 中取，就有 。2. 已知正常成人男性血液中每毫升含白细胞数的平均值是7300个，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计血液中每毫升血液中细胞数在52009400之间的概率。解 以表示每毫升含白细胞数，由题设 而概率 在切比雪夫不等式中，取，此时 ，知。3. 某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位。问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产。解 设表示同时开动机床的台数，则 又设同时开动台数不超过的概率为95%。由中心极限定理 由题意要求 查表得 得，取，应供电能个单位才能满足要求。4. 在人寿保险公司里有10000个同一年龄的人参加人寿保险。在这一年中，这些人的死亡率为0.6%，参加保险的人在一年的头一天交付保险费12元，死亡时，家属可以从保险公司领取1000元。求(1)保险公司一年中获利不少于4000元的概率；(2)保险公司亏本的概率。解 设表示一年中10000个同龄参保人中死亡的人数，则，由题意，保险公司的收益为元，支出为1000。由中心极限定理（1）保险公司一年中获利不少于40000元的概率为 （2）保险公司亏本的概率为 可见保险公司一般不会亏本。5. 设随机变量相互独立且都在0，1上服从均匀分布。令，试用中心极限定理计算的值。解 因为所以 从而 于是 。习题51 数理统计的基本概念习题52 统计量和抽样分布1.填空题（1）设随机变量与相互独立且，则。（2）设总体服从正态分布，而是来自总体的简单随机样本，则随机变量分布。（3）设，且，相互独立，则。2.选择题（1）（ D ）。（A） （B） （C） （D）（2）设总体，其中已知，未知，是从中抽取的简单随机样本，下列各项中不是统计量的是（ A ）。（A） （B） （C） （D）（3）设随机变量，则（ C ）。(A) (B) (C) (D) 3设某种电灯泡的寿命服从指数分布，从中抽取100只灯泡，求这一简单随机样本的联合概率密度函数。解： 其中4.抽取10只辽宁绒山羊产绒量（单位：g）：450,450,500,500,500,550,550,600,600,650,试利用计算器计算其样本均值、样本方差和标准差。解：样本均值 535样本方差 4472.222样本标准差66.8755.设是独立且服从相同分布的随机变量，(1)试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度；(2)试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度.解：（1）因为，所以，自由度为2。（2）因为，所以，自由度为3.6.附加题设为来自总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，记（2005年数学三）求：（I） 的方差；（II）与的协方差解：（I） （II） 习题53 正态总体统计量的抽样分布1.填空题（1）设为总体的一个样本，则0.025（2）设总体，为来自总体的样本，为样本均值，则2.选择题（1）假设总体，是来自总体的一个样本，为其样本均值，且，则下列成立的是（ D ）。（A）=1，=0.04 （B）=100，=0.2 （C）=0.01，=0.04 （D）=1，=0.2（2）设为来自总体的一个样本，而为来自总体的一个样本，且两个样本独立，以分别表示这两个样本的样本均值，则所服从的分布是（ B ）。（A） （B） （C） （D）3从正态总体中抽取容量为的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4,5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量至少应取多大？解：由题意 ，即，查表得，所以，样本容量至少应取35.4. 从正态总体中抽取容量为10的样本，（1）已知，求的概率；（2）未知，求的概率.解：（1）当时，因为，则，所以，查附表4得上述概率为0.1。（2）当为未知时，因为，则，所以，查附表4得，故上述概率为0.75.5.设总体，总体，从总体中抽取容量为10的样本，其样本方差计为；从总体中抽取容量为8的样本，其样本方差记为，求下列概率：（1）； （2）解：（1）因为则（2）因为则查附表6得，即由此得所求的概率6附加题设总体，从该总体中抽取简单随机样本，其样本的均值求统计量的数学期望。(2001年数学一)解：习题6-1 点估计 1. 选择题（1）设是取自总体的一个简单随机样本，则的矩估计是（ D ）（A）（B）（C）（D）（2）设为总体的一个简单随机样本，为 的无偏估计，（ C ）（A）/ （B）/ （C） 1/ （D） /（3）设总体服从正态分布是来自的样本，则的最大似然估计为（ A ）（A） （B） （C） （D）（4）设总体服从正态分布，是从此总体中抽取的一个样本下面几个都是的无偏估计，最有效的估计量是 （A） （B） （C） （D）2. 设总体具有分布律 ： 123其中为未知参数，已知取得了样本值试求的矩估计值和最大似然估计值。解： 为的矩估计 求导 3. 设总体的概率密度为 是来自总体的样本，求的矩估计和最大似然估计。解：a) 由题意解之得：，用代替，得的矩估计： .b) 构造似然函数 .两边取对数得 对求导并令其等于零,得似然方程 ，解之得参数 的最大似然估计值为 ，与它相应的估计量，即为 的最大似然估计量.4证明题：设总体服从泊松分布，即 ， 为样本，证明是的无偏估计。证明： ， 所以 有 习题 6-2 区间估计 1. 设有一组来自正态总体的样本观测值：0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512， 已知，求的置信区间（设置信度为0.95）； 未知，求的置信区间（设置信度为0.95）解：由题意（1） m 的置信区间为=0.50204，0.5154. （2）未知m 的置信区间为=0.05006，0.5172.2. 某厂生产一批金属材料，其抗弯强度服从正态分布，现从这批金属材料中抽取11个测试件，测得它们的抗弯强度为（单位：）：42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7试求抗弯强度标准差的置信度为0.90的置信区间。解： ，对于所以s 的置信区间为 ： =0.53，1.15.3. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别在两条流水线上抽取样本： 及，算出，假设这两条流水线上灌装的番茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立，其均值分别为（1）设两总体方差，求置信水平为的置信区间；（2）求/的置信水平为的置信区间。 解： 总体，（1）未知，的置信度为0.95 的置信区间为 对于计算， 故的置信度为0.95 的置信区间为-0.401，2.601.(2) m1，m2 未知所以的置信度为1-a的置信区间为对于又故可得的0.95的置信区间为：=0.128，1.283.习题 6-3 非正态总体均值的置信区间 习题 6-4 单侧置信限1. 从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损试验， 直至轮胎磨损到破坏为止，测得它们的行驶路程（）如下：41250 41010 42650 38970 40200 42550 43500 40400 41870 39800设汽车轮胎行驶路程服从正态分布，求：（1） 的置信度为95%的单侧置信下限；（2） 的置信度为95%的单侧置信上限。解： （1）方差未知，对于所以参数 m 的置信度为0.95 的单侧置信下限为 （2） m 未知，对于所以参数 的置信度为0.95 的单侧置信上限为习题 7-1假设检验的基本概念1. 填空题（1）设显著性水平为，当原假设正确时，由于样本的随机性，作出了“拒接接受假设”的决策，因而犯了错误，称为犯了 第一类 错误，犯该错误的概率为。（2）假设检验的步骤为（1） 统计假设，作原假设和备择假设 ； （2） 在原假设成立的情况下确定检验统计量及其分布 ；（3）确定拒接域 ；（4）作拒接或接受原假设的判断 。 2. 选择题（1）在假设检验中，用和分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列结论正确的是（ B ）。(A) 减少也减少 (B) 与其中一个减少时另一个往往会增大(C) 增大也增大 (D) A和C同时成立 习题 7-2-1 正态总体参数的假设检验1. 选择题（1）总体，对数学期望进行假设检验，如果在显著水平下接受了，那么在显著水平下（ A ）。(A ) 必接受 (B) 必拒接 (C) 可能接受也可能拒接 (D) 不接受也不拒接2 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布，现观测了九炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550(0.05)？解待检验的假设是H0 : 4.550.因4.484， 故U0.在H0成立条件下，UN(0，1)，查表知: PU1.960.05.而U01.8331.96，故接受H0，即不能否认现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550.3. 过去某工厂向A公司订购原材料，自订货日开始至交货日止，平均为49.1日，现改为向B公司订购原料，随机抽取向B公司订的8次货，交货天数为：4638403952354844, 问B公司交货日期是否较A公司为短(0.05)？解待检验的假设是H0 : 49.1.使用统计量T，0.05，自由度为7，查t分布临界值表t0.1(7)1.895，故H0在检验水平0.05的拒接域为.由样本值算得42.75，S232.7832，因此S5.7257.= -3.137-1.895，所以应拒接H0，即可以认为B公司交货日期显著比A公司要短.4. 用一台自动包装机包装葡萄糖，假定在正常情况下，糖的净重服从正态分布.根据长期资料表明，标准差为15克.现从某一班的产品中随机取出9袋，测得重量为：497 506 518 511 524 510 488 515 512. 问包装机标准差有无变化？(0.05)解待检验的假设是H0 : 2152选取统计量.当H0成立时，。0.05，查2分布临界值表得临界值，由样本值得509，.由于,故接受H0，即不能认为标准有显著变化.5某市质监局接到顾客投诉，对某金商进行质量调查，现从其出售的标志18K的项链中抽取9件进行检测，检测标准为：标准值18K且标准差不得超过0.3K。检测结果如下：17.3 16.6 17.9 18.2 17.4 16.3 18.5 17.2 18.1，假定项链的含金量服从正态分布，试问检测结果能否认定金商出售的产品存在质量问题？（显著性水平）解： 计算9个数据的均值和标准差：，检验均值：，检验统计量，查表，保留原假设，可以认为商家产品的平均含金量为18k。检验标准差：，检验统计量，计算，查表：，拒绝原假设，认为商家产品的标准差过大。综上分析，尽管由于均值仍可认为是18k，但由于标准差过大，导致产品质量不稳定，故而不合格产品增多。商家应减少产品质量的波动。习题 7-2-2 两个正态总体参数的假设检验1. 设用甲、乙两种方法生产同一种药品，其成品得率的方差分别为.现测得甲方法生产的药品得率的25个数据，得；乙方法生产的药品得率的30个数据，得.设药品得率服从正态分布.问甲、乙两种方法的药品平均得率是否有显著差异？解 由题意，需要检验的假设为选取统计量其观测值对，所以接受,认为甲、乙两种方法的药品平均得率没有显著差异.2. 为比较甲、乙两种安眠药的疗效，将20名患者分成两组，每组10人，如服药后延长的睡眠时间分别近似服从正态分布，其数据如表所示abcdefghij甲1.90.81.10.1-0.14.45.51.64.63.4乙0.7-1.6-0.2-1.2-0.13.43.70.802.0问在显著水平下，两种安眠药的疗效有无显著差异？解 此题需先检验方差再检验期望，设甲组服药延长的睡眠时间XN(1，)，乙组服药后延长的睡眠时间YN(2，).待检验的假设是：(1)H0 : ，(2)H0 : 12.(1)H0 : 选取统计量F.在H0成立时，FF(n1-1，n2-1).由n1n210，计算2.33，0.75，4.0093.20，3.605，1.899.从而F01.25在0.05时，查F临界值表，得F0.025(9，9)4.03，由于 1.254.03. 故接受H0.(2)H0 : 12选取统计量. 在H0成立时，Tt(n1+n2-2).查0.05，自由度为18的t分布临界值，得 t0.05(18)2.101.由于T01.862.101，故接受H0，即不能认为两种安眠药有显著差异.3. 一家冶金公司需要减少排放到废水中的生物氧需求量（BOD），用于废水处理的活化泥供应商建议，可用纯氧取代空气吹入活化泥以改善BOD（值越小越好）现从两种处理的废水中分别抽取了容量为10和容量为9 的样本，空气法184194158218186218165172191179氧气法163185178183171140155179175已知BOD含量服从正态分布，问：（1）该公司是否应该采用氧气法来减少BOD含量()？（2）如可以采用氧气法，求减少的BOD含量的95%的置信区间（建议使用Excel数据分析工具库，或其他统计软件计算）（1）计算得：，所以接受，认为. 又：，其中计算：，拒绝，接受，即认为氧气法比空气法显著减少了BOD含量该公司可以采用氧气法降低BOD含量。（2）在未知且相等的假设下，两个正态总体均值差的置信度为1-a 的置信区间为计算得：减少BOD含量的置信区间为：-33.804，0.58233