概率统计练习册习题解答.doc

苏州科技学院

《概率论与数理统计》

活页练习册习题解答

信息与计算科学系
概率论与数理统计教材编写组
2013年12月

习题1-1　样本空间与随机事件
1．选择题
（1）设为三个事件，则“中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ）
（A） （B） （C） （D）
（2）设三个元件的寿命分别为，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过”可表示为（ D ）
A B C D
2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间与随机事件A：对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A表示“射击次数不超过5次”。
解：；。
3．设某工人连续生产了4个零件，表示他生产的第个零件是正品（），试用表示下列各事件：
（1）只有一个是次品；
（2）至多有三个不是次品； 。
习题1-2　随机事件的概率及计算
1．填空题
（1）已知，，，则　0.6，　0.4，
　0 ，　0.4。
（2）设事件与互不相容，，则=　0.3　，=　0.6　。
2．选择题
（1）如果，则（ C ）
(A) 与互不相容 (B) 与互不相容
(C) (D)
(2) 两个事件与是对立事件的充要条件是（ C ）
（A） （B）
（C） （D）
3．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求
（1）5只全是好的的概率；
（2）5只中有两只坏的的概率；
（3）5只中至多有一只坏的概率。
解：（1）=0.6624
（2）=0.0354
（3）=0.963
4．（1）教室里有个学生，求他们的生日都不相同的概率；
（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.
解：（1）设“他们的生日都不相同”，则；
（2）设“至少有两个人的生日在同一个月”，则
；
或 .
习题1-3　条件概率
1．选择题：
（1）设A，B为两个相互对立事件，且，，则( C )。
（A） （B） （C） （D）
（2）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p，第二道工序的废品率为q，则该零件加工的成品率为（ Ｃ ）
（A） （B） （C） （D）
2．填空题:
(1) 已知若互不相容，则 ０.１ ；若相互独立，则 ０.２ .
(2) 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，该射手的命中率_____。
3．为防止意外，在矿内同时安装了两种报警系统A与B，每种报警系统都使用时，对系统A其有效的概率是0.92，对系统B其有效的概率为0.93，在A失效的条件下，B有效的概率为0.85.求：（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）B失灵的条件下，A有效的概率。
解：设“报警系统A有效”，“报警系统B有效”
则 （1）
（2）因为：

4．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求：
（1）顾客买下该箱的概率；
（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率.
解 设“顾客买下该箱”，“箱中恰有件残次品”，，
（1）
；
（2）.
5．据数据显示，每1000名50岁的低风险男性中，有3名患有结肠癌.如果一名男性患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是50%，如果一名男性没有患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是3%．如果对一名低风险男性进行的隐血检查表明有隐血，那么他患有结肠癌的概率是多少？
解 设=“50岁男性患有结肠癌”，=“大便隐血检查呈隐血”
由题意，，，，
由贝叶斯公式（1.3.5），

习题2-1 随机变量及其分布函数
1．判断下列函数能否为某随机变量的分布函数.（ ）

解：是；不是，因为.
.
习题2-2 离散型随机变量
1． 填空题
(1) 设随机变量的分布律为: ，试确定。
(2) 一批产品共100个，其中有10个次品，从中放回取5次，每次取一个，以表示任意取出的产品中的次品数，则的分布为 。
(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是，以
表示射击的次数，则的分布律为 。
2. 将编号为的四个球随机地放入个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以表示放球最多的盒子中球的个数，试求的分布列及其分布函数.
解：；；.

3． 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问
(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？
(2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？
解：设一周内发生交通事故的次数为X，则。
（1） 。
（2） 。

4．某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为，现购买张彩票，试求：（1） 此人中奖的概率；（2）至少有张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）。

解：设中奖的彩票数为，则.
（1）.
（2）由于，故

.

习题2-3连续型随机变量
1. 设连续型随机变量的密度函数为

试求：（1）常数的值；（2）随机变量的分布函数；（3）。
解：（1）由于. 故.
（2）当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
故，

（3）.
2. 设连续型随机变量的分布函数为,
试求：（1）系数A；（2）的密度函数；（3）。
解：（1）由知，。
（2）
（3）。
3. 设K在(0，5)内服从均匀分布, 求方程有实根的概率。
解：所求的概率为：

4. 某种型号的电子管寿命 (以小时计)具有以下概率密度
，
现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？
解： 。
从而所求概率为
。
5. 设连续型随机变量，（1）求；（2）确定常数C使。
解：（1）

（2） 由于，从而，。
故。所以，,故。
习题2-4 二维随机变量及其分布
1．一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件。现从中随机抽取一件，记

试求的联合分布列。
解：

2. 完成下列表格

Y
X

0.1
0.1
0.2
0.4

0.2
0.2
0.2
0.6

0.3
0.3
0.4
1

3．设二维随机变量的联合密度函数为：
，
求：（1）常数；（2）；（3）和的边缘密度函数。
解：（1）
。
求X的边缘密度函数：。
当时，；
当时，。
求Y的边缘密度函数：。当时，；
当时，。
4. 设服从上的均匀分布，求：
（1）的联合概率密度函数；（2）；（3）和的边缘密度函数。
解：（1）由（X，Y）服从G上的均匀分布知，（X，Y）的联合密度为：

（2）。
（3）先求X的边缘密度：。
当时，；当时，。
再求Y的边缘密度函数：
当时，；当时，。

习题2-5 条件分布及随机变量的独立性
1．设二维离散型随机变量只取 及 四对值，相应概率依次为，试判断随机变量X与Y是否相互独立。

解：由于
而
所以，X与Y不独立。

2. 设随机变量与相互独立，试完成下表：

Y

1/24
1/8
1/12
1/4

1/8
3/8
1/4
3/4

1/6
1/2
1/3
1

3．设二维连续型随机变量的联合密度函数为

试判定与是否相互独立。
解：.
当或时，；当时，.
.
当或时，；当时，.
由于当时，
，
且区域的面积不为0，所以，与不相互独立.

4. 设二维连续型随机变量的联合密度函数为
，
求常数c，并判断X与Y是否相互独立。
解：从而，。
求X的边缘密度：。
当时，；
当时，。
求Y的边缘密度函数：。
当时，；
当时，。
由于对任x，y，有。所以，X与Y相互独立。
5．设和是两个相互独立的随机变量，在（0,1）内服从均匀分布，的概率密度为．
（1）求与的联合概率密度；（2）设关于的二次方程为 ，求此方程有实根的概率。
解：由0，1知的密度为：=
由独立知，,的一个联合密度为：

方程有实跟的概率为：

。
习题2-6 随机变量函数的分布
1． 设随机变量的分布列为

-2
-1
0
1

1/6
1/3
1/6
1/3
试求：(1)，(2)的分布列。
解：

2．设随机变量，试求的密度函数。
解：由知其密度函数为设，函数. 则，.所以，当时，.从而，当，即时，。
3．设连续型随机变量的密度函数为 试求的密度函数。
解：先求的分布函数，在对其求导数. .
当时，，故；当时，.
当，即时，，故，；
当且，即时，，故，；
当且，即时，，故.

4. 设连续型随机变量的密度函数为， 求函数 的密度函数。
解： 解法一：

所以：
解法二：的反函数为：，其导数：
代入公式：

习题3-1 数学期望
1．填空题
（1）设二维随机变量，则 33 。
（2）设随机变量，，若，则 -8 。
2．设的分布列为：

-1 0 1 2

求（1）；（2）；（3）。
解：，
，
。
故。
3．设连续型随机变量的密度函数为
，
求（1），（2）。
解：，
。

4．设二维离散型随机变量的联合分布列为

0
1
0
0.3
0.4
1
0.2
0.1
求：（1）,；（2）,。

解：（1）

0
1

0.5
0.5

0
1

0.7
0.3

(2) ，
。
5．设服从在上的均匀分布，其中为轴、轴及直线所围成的区域，求（1）; （2） ;（3）。
解：由题意知的联合密度为：

（1）。
（2）

。
（3）==。

习题3-2 方差
1. 填空题
（1）设随机变量，，相互独立，其中，，服从参数为3的泊松分布，记，则 46 。
（2）已知，，则________，_________。
（3）设二维随机变量，则___5_____，分布为__________。
2. 设连续型随机变量的分布函数为
，
求（1）的密度函数；（2）。
解：(1)由知
（2），，。

3．设随机变量且，随机变量且与相互独立，试求及。
解：由知，. 所以，. 又
，故. 所以，，. 由于，故，. 所以，
.
由于与相互独立，故。
4．设的概率密度为,试求及。
解： ,
,
,
,
,
。

习题3-3 协方差与相关系数
习题3-4 其他特征数
1．填空题
（1）设随机变量，且，若，则___23____。
（2）设服从二维正态分布，则是与相互独立的 充要 条件。
（3）设服从二元正态分布，则___4_____。
2. 选择题
（1）设与的相关系数，则必有 C 。
(A)与相互独立； (B)与不一定相关；
(C)与必不相关； (D)与必相关
（2）设随机变量与的期望和方差存在，且，则下列说法哪个是不正确的 D 。
(A)； (B)；
(C)与不相关； (D)与独立
3. 已知二维离散型随机变量的概率分布为 ，
（1）求协方差及相关系数；（2）与是否相互独立？是否不相关？
解：及的边缘分布列为：

。
故。所以，。
(2)由于 所以与不独立。但,故与不相关。
4．设二维连续型随机变量的联合密度函数为

试求：（1）相关系数；（2）与是否相互独立？是否不相关？
解：（1），，
，，
，。
，，
。
（2）由于，所以，与相关. 从而，与不相互独立.
习题4 大数定律与中心极限定理
1. 用切比雪夫不等式估计下列各题的概率：
（1）废品率为0.03，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率。
（2）200个新生婴儿中，男孩多于80个且少于120个的概率（假定生男孩和生女孩的概率均为0.5）。
解 （1）设表示1000个产品中废品的个数，则，
所以
所求概率
在切比雪夫不等式

中取，就有
。
（2）设表示200个新生婴儿中男孩的个数，则。
所以
所求概率
在切比雪夫不等式

中取，就有
。
2. 已知正常成人男性血液中每毫升含白细胞数的平均值是7300个，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计血液中每毫升血液中细胞数在5200~9400之间的概率。
解 以表示每毫升含白细胞数，由题设

而概率

在切比雪夫不等式
中，取，此时 ，知
。
3. 某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位。问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产。
解 设表示同时开动机床的台数，则

又设同时开动台数不超过的概率为95%。由中心极限定理

由题意要求
查表得
得，取，应供电能个单位才能满足要求。
4. 在人寿保险公司里有10000个同一年龄的人参加人寿保险。在这一年中，这些人的死亡率为0.6%，参加保险的人在一年的头一天交付保险费12元，死亡时，家属可以从保险公司领取1000元。求
(1)保险公司一年中获利不少于4000元的概率；
(2)保险公司亏本的概率。
解 设表示一年中10000个同龄参保人中死亡的人数，则，由题意，保险公司的收益为元，支出为1000。由中心极限定理
（1）保险公司一年中获利不少于40000元的概率为

（2）保险公司亏本的概率为

可见保险公司一般不会亏本。
5. 设随机变量相互独立且都在[0，1]上服从均匀分布。令，试用中心极限定理计算的值。
解 因为所以

从而

于是

。

习题5—1 数理统计的基本概念
习题5—2 统计量和抽样分布
1.填空题
（1）．设随机变量与相互独立且～，～，则～。
（2）设总体服从正态分布，而是来自总体的简单随机样本，则随机变量分布。
（3）设，且，相互独立，则。
2.选择题
（1）（ D ）。
（A） （B） （C） （D）
（2）设总体～，其中已知，未知，是从中抽取的简单随机样本，下列各项中不是统计量的是（ A ）。
（A） （B） （C） （D）
（3）设随机变量，则（ C ）。
(A) (B) (C) (D)
3．设某种电灯泡的寿命服从指数分布，从中抽取100只灯泡，求这一简单随机样本
的联合概率密度函数。
解：
其中
4.抽取10只辽宁绒山羊产绒量（单位：g）：450,450,500,500,500,550,550,600,600,650,试利用计算器计算其样本均值、样本方差和标准差。
解：样本均值 535
样本方差 4472.222
样本标准差66.875
5.设是独立且服从相同分布的随机变量，
(1)试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度；
(2)试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度.
解：（1）因为，所以，自由度为2。
（2）因为，所以，自由度为3.
6.附加题
设为来自总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，记（2005年数学三）
求：（I） 的方差；
（II）与的协方差
解：（I）

（II）

习题5—3 正态总体统计量的抽样分布
1.填空题
（1）设为总体的一个样本，则0.025
（2）设总体，为来自总体的样本，为样本均值，则．
2.选择题
（1）假设总体～，是来自总体的一个样本，为其样本均值，且～，则下列成立的是（ D ）。
（A）=1，=0.04 （B）=100，=0.2 （C）=0.01，=0.04 （D）=1，=0.2
（2）设为来自总体的一个样本，而为来自总体的一个样本，且两个样本独立，以分别表示这两个样本的样本均值，则所服从的分布是（ B ）。
（A） （B） （C） （D）
3．从正态总体中抽取容量为的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4,5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量至少应取多大？
解：由题意
，
即，查表得，，所以，样本容量至少应取35.
4. 从正态总体中抽取容量为10的样本，
（1）已知，求的概率；（2）未知，求的概率.
解：（1）当时，因为，则，
所以，
查附表4得上述概率为0.1。
（2）当为未知时，因为，则，
所以，
查附表4得，故上述概率为0.75.
5.设总体，总体，从总体中抽取容量为10的样本，其样本方差计
为；从总体中抽取容量为8的样本，其样本方差记为，求下列概率：
（1）； （2）
解：（1）因为
则

（2）因为
则
查附表6得，即
由此得所求的概率
6．附加题
设总体，从该总体中抽取简单随机样本，其样本的均
值求统计量的数学期望。(2001年数学一)
解：

习题6-1 点估计
1. 选择题
（1）设是取自总体的一个简单随机样本，则的矩估计是（ D ）
（A）（B）（C）（D）
（2）设为总体的一个简单随机样本，，为 的无偏估计，＝（ C ）
（A）/ （B）/ （C） 1/ （D） /
（3）设总体服从正态分布是来自的样本，则的最大似然估计为（ A ）
（A） （B） （C） （D）
（4）设总体服从正态分布，是从此总体中抽取的一个样本．下面几个都是的无偏估计，最有效的估计量是 ．
（A） （B） （C） （D）

2. 设总体具有分布律 ：

1
2
3

其中为未知参数，已知取得了样本值试求的矩估计值和最大似然估计值。
解：
为的矩估计

求导

3. 设总体的概率密度为

是来自总体的样本，求的矩估计和最大似然估计。
解：a) 由题意
解之得：，用代替，得的矩估计： .
b) 构造似然函数
.
两边取对数得
对求导并令其等于零,得似然方程 ，
解之得参数 的最大似然估计值为 ，
与它相应的估计量，即为 的最大似然估计量.

4．证明题：设总体服从泊松分布，即 ， 为样本，证明是的无偏估计。
证明： ， 所以 有

习题 6-2 区间估计
1. 设有一组来自正态总体的样本观测值：
　　0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512，
　　⑴ 已知，求的置信区间（设置信度为0.95）；
　　⑵ 未知，求的置信区间（设置信度为0.95）．
解：由题意
（1）
m 的置信区间为
==[0.50204，0.5154].
（2）未知
m 的置信区间为
=
=[0.05006，0.5172].
2. 某厂生产一批金属材料，其抗弯强度服从正态分布，现从这批金属材料中抽取11个测试件，测得它们的抗弯强度为（单位：）：
42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7
试求抗弯强度标准差的置信度为0.90的置信区间。
解： ，
对于
所以s 的置信区间为 ： =[0.53，1.15].
3. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别在两条流水线上抽取样本： 及，算出，假设这两条流水线上灌装的番茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立，其均值分别为（1）设两总体方差，求置信水平为％的置信区间；（2）求/的置信水平为％的置信区间。
解： 总体，
（1）未知，的置信度为0.95 的置信区间为

对于
计算，
故的置信度为0.95 的置信区间为[-0.401，2.601].
(2) m1，m2 未知

所以的置信度为1-a的置信区间为

对于

又
故可得的0.95的置信区间为：=[0.128，1.283].

习题 6-3 非正态总体均值的置信区间
习题 6-4 单侧置信限
1. 从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损试验， 直至轮胎磨损到破坏为止，测得它们的行驶路程（）如下：
41250 41010 42650 38970 40200 42550 43500 40400 41870 39800
设汽车轮胎行驶路程服从正态分布，求：
（1） 的置信度为95%的单侧置信下限；
（2） 的置信度为95%的单侧置信上限。
解：
（1）方差未知，对于
所以参数 m 的置信度为0.95 的单侧置信下限为

（2） m 未知，对于
所以参数 的置信度为0.95 的单侧置信上限为

习题 7-1假设检验的基本概念
1. 填空题
（1）设显著性水平为，当原假设正确时，由于样本的随机性，作出了“拒接接受假设”的决策，因而犯了错误，称为犯了 第一类 错误，犯该错误的概率为。
（2）假设检验的步骤为（1） 统计假设，作原假设和备择假设 ； （2） 在原假设成立的情况下确定检验统计量及其分布 ；（3）确定拒接域 ；（4）作拒接或接受原假设的判断 。
2. 选择题
（1）在假设检验中，用和分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列结论正确的是（ B ）。
(A) 减少也减少 (B) 与其中一个减少时另一个往往会增大
(C) 增大也增大 (D) A和C同时成立
习题 7-2-1 正态总体参数的假设检验
1. 选择题
（1）总体，对数学期望进行假设检验，如果在显著水平下接受了，那么在显著水平下（ A ）。
(A ) 必接受 (B) 必拒接
(C) 可能接受也可能拒接 (D) 不接受也不拒接
2 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布，现观测了九炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550(α＝0.05)？
解 待检验的假设是H0 : μ＝4.550.
因＝4.484，
故 ｜U0｜＝.
在H0成立条件下，U～N(0，1)，查表知: P{｜U｜＞1.96}＝0.05.
而｜U0｜＝1.833＜1.96，
故接受H0，即不能否认现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550.

3. 过去某工厂向A公司订购原材料，自订货日开始至交货日止，平均为49.1日，现改为向B公司订购原料，随机抽取向B公司订的8次货，交货天数为：46 38 40 39 52 35 48 44, 问B公司交货日期是否较A公司为短(α＝0.05)？
解 待检验的假设是H0 : μ≥49.1.
使用统计量
T＝，
α＝0.05，自由度为7，查t分布临界值表
t0.1(7)＝1.895，故H0在检验水平α＝0.05的拒接域为
.
由样本值算得＝42.75，S2＝32.7832，
因此 S＝5.7257.
= -3.137＜-1.895，
所以应拒接H0，即可以认为B公司交货日期显著比A公司要短.
4. 用一台自动包装机包装葡萄糖，假定在正常情况下，糖的净重服从正态分布.根据长期资料表明，标准差为15克.现从某一班的产品中随机取出9袋，测得重量为：497 506 518 511 524 510 488 515 512. 问包装机标准差有无变化？(α＝0.05)
解 待检验的假设是H0 : σ2＝152
选取统计量
.
当H0成立时，。
α＝0.05，查χ2分布临界值表得临界值
，
由样本值得＝509，，.
由于,
故接受H0，即不能认为标准有显著变化.
5．某市质监局接到顾客投诉，对某金商进行质量调查，现从其出售的标志18K的项链中抽取9件进行检测，检测标准为：标准值18K且标准差不得超过0.3K。检测结果如下：17.3 16.6 17.9 18.2 17.4 16.3 18.5 17.2 18.1，假定项链的含金量服从正态分布，试问检测结果能否认定金商出售的产品存在质量问题？（显著性水平）
解： 计算9个数据的均值和标准差：，，
检验均值：，，
检验统计量，查表，保留原假设，可以认为商家产品的平均含金量为18k。
检验标准差：，
检验统计量，计算，查表：，拒绝原假设，认为商家产品的标准差过大。
综上分析，尽管由于均值仍可认为是18k，但由于标准差过大，导致产品质量不稳定，故而不合格产品增多。商家应减少产品质量的波动。

习题 7-2-2 两个正态总体参数的假设检验
1. 设用甲、乙两种方法生产同一种药品，其成品得率的方差分别为.现测得甲方法生产的药品得率的25个数据，得；乙方法生产的药品得率的30个数据，得.设药品得率服从正态分布.问甲、乙两种方法的药品平均得率是否有显著差异？
解 由题意，需要检验的假设为
选取统计量
其观测值
对，
，所以接受,认为甲、乙两种方法的药品平均得率没有显著差异.
2. 为比较甲、乙两种安眠药的疗效，将20名患者分成两组，每组10人，如服药后延长的睡眠时间分别近似服从正态分布，其数据如表所示

a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
甲
1.9
0.8
1.1
0.1
-0.1
4.4
5.5
1.6
4.6
3.4
乙
0.7
-1.6
-0.2
-1.2
-0.1
3.4
3.7
0.8
0
2.0
问在显著水平下，两种安眠药的疗效有无显著差异？
解 此题需先检验方差再检验期望，设甲组服药延长的睡眠时间X～N(μ1，σ)，乙组服药后延长的睡眠时间Y～N(μ2，σ).
待检验的假设是：(1)H0 : σ＝σ，(2)H0 : μ1＝μ2.
(1)H0 : σ＝σ
选取统计量
F＝.在H0成立时，F～F(n1-1，n2-1).
由n1＝n2＝10，计算＝2.33，＝0.75，＝4.009
＝3.20，＝3.605，＝1.899.
从而 F0＝＝1.25
在α＝0.05时，查F临界值表，得F0.025(9，9)＝4.03，
由于 ＜1.25＜4.03. 故接受H0.
(2)H0 : μ1＝μ2
选取统计量
.
在H0成立时，T～t(n1+n2-2).
查α＝0.05，自由度为18的t分布临界值，得 t0.05(18)＝2.101.
.
由于｜T0｜＝1.86＜2.101，故接受H0，即不能认为两种安眠药有显著差异.

3. 一家冶金公司需要减少排放到废水中的生物氧需求量（BOD），用于废水处理的活化泥供应商建议，可用纯氧取代空气吹入活化泥以改善BOD（值越小越好）．现从两种处理的废水中分别抽取了容量为10和容量为9 的样本，
空气法
184
194
158
218
186
218
165
172
191
179
氧气法
163
185
178
183
171
140
155
179
175

已知BOD含量服从正态分布，问：
（1）该公司是否应该采用氧气法来减少BOD含量()？
（2）如可以采用氧气法，求减少的BOD含量的95%的置信区间．
（建议使用Excel数据分析工具库，或其他统计软件计算）

（1）

计算得：，所以接受，认为.
又：
，其中
计算：，拒绝，接受，即认为氧气法比空气法显著减少了BOD含量．该公司可以采用氧气法降低BOD含量。
（2）在未知且相等的假设下，两个正态总体均值差的置信度为1-a 的置信区间为

计算得：减少BOD含量的置信区间为：[-33.804，0.582]

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