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人教版必修一：函数的最值(学案)
人教版必修一：函数的最值(学案)

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函数的最值
知识点 函数的最值
1. 定义：最大值:一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足:①对应任意的,都有；②存在，使得，那么称是函数的最大值。
最小值：一般地，设函数的定义域为,如果存在实数满足：①对应任意的，都有；②存在,使得，那么称是函数的最小值.
注意:
①函数的最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得;
②函数的最大（小）应该是所有函数值中最大（小)的，即应任意的，都有 （)
2. 求最值的基本方法
①利用函数图像求最值是求函数最值的常用方法，这种方法以函数最值的几何意义为依据,对较为简单的且图像易作出的函数求最值较常用（如一次、二次、反比例函数等）.
②运用函数单调性求函数最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图像不易作出时。单调性与最值的关系：
若函数在闭区间上是减函数，则在上最大值为，最小值我；
若函数在闭区间上是增函数,则在上最大值为，最小值我。
题型 求函数的最值
1. 已知函数．
（1）证明在上是减函数；
（2）当时，求的最大值和最小值．
2. 已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并证明；
（2）求函数的最大值和最小值．
3. 已知在区间上的最小值为
（1）写出函数的解析式；
(2）画出函数的图象，并指出函数的单调增区间和单调减区间．
【变式问题】
4. 已知函数,判断函数在区间上的最大值与最小值．
5. 已知函数．
（1）试判断在和上的单调性；
（2）根据的单调性写出的最值．
6. (1）已知,求的最小值；
（2)已知函数，若的最小值为,写出的表达式．
7. 已知函数．
(1）若函数在上为单调函数,求实数的取值范围．
（2)求的值,使在区间上的最小值为﹣1．
【变式训练】
8. 　已知函数
（1)判断函数在区间上的单调性,并用定义证明你的结论；
（2）求该函数在区间上的最大与最小值．
9. 已知函数，其中．
（Ⅰ）用定义证明函数在上单调递减;
（Ⅱ）结合单调性，求函数在区间上的最大值和最小值．
10. 设a为实数,记函数的最大值,
(1）求．
（2)求的值域．
11. 　已知函数，，记函数．
(1)判断方程的实根的个数；
（2)设在区间[1，2］的最小值为,求的表达式；
（3）若函数在[0，1］上是减函数，求实数的取值范围．
【备选习题】
12. 已知函数；
（1）若,求函数的单调区间；
（2)设在区间［1，2］上的最小值为，求的表达式；
（3）若恒成立，求的最小值．
13. 已知函数，求的最小值．
14. （1）当时，求函数的最小值．
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
15. 已知函数
（1）当时，求函数的最大值；
（2）解关于的不等式．