资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合，，则A∩B中元素的个数为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
2．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关．黄金分割常数也可以表示成，则（）
A. B.
C. D.
3．已知是上的减函数，那么的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为
A. B.
C. D.
5．已知一个水平放置的平面四边形的直观图是边长为1的正方形，则原图形的周长为（）
A.6 B.8
C. D.
6．下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为
A. B.
C. D.
7．已知幂函数在上单调递减，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8．设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个说法：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，，则.
其中所有错误说法的序号是（）
A.①③ B.①④
C.①③④ D.②③④
9．若函数的图像关于点中心对称，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知，，则下列不等式中恒成立的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，则______
12．正三棱锥中，，则二面角的大小为__________
13．已知函数，则___________..
14．已知幂函数过点，若，则________
15．在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________.
16．已知集合M={3，m+1}，4∈M，则实数m的值为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，且α是第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．已知函数
（1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；
（2）对任意时，都成立，求实数的取值范围
19．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示）,该扇环是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点,的两条线段围成．设圆弧和圆弧所在圆的半径分别为米,圆心角为θ（弧度）
(1)若,,求花坛的面积；
(2)设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1200元,问线段AD的长度为多少时,花坛的面积最大？
20．某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？
21．将函数（且）的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若对一切恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上有且仅有一个零点，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】由题意，，故中元素的个数为3.
故选：B
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
2、A
【解析】利用同角三角函数平方关系，诱导公式，二倍角公式进行求解.
【详解】
故选：A
3、A
【解析】由为上减函数，知递减，递减，
且，从而得，解出即可
【详解】因为为上的减函数，
所以有，
解得：，
故选：A.
4、B
【解析】根据为偶函数，可得；根据在上递减得；然后解一元二次不等式可得
【详解】解：为偶函数，所以，即，，
由在上单调递减，所以，
，可化为，即，
解得或
故选：
【点睛】本题主要考查奇偶性与单调性的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
5、B
【解析】由斜二测画法的规则，把直观图还原为原平面图形，再求原图形的周长
【详解】解：由斜二测画法的规则知，与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，所以在平面图中其在轴上，且其长度变为原来2倍，是，
其原来的图形如图所示；
所以原图形的周长是：
故选：
【点睛】本题考查了平面图形的直观图应用问题，能够快速的在直观图和原图之间进行转化，是解题的关键，属于中档题
6、D
【解析】选项，在定义域上是增函数，但是是非奇非偶函数，故错；
选项，是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，故错；
选项，是奇函数且在和上单调递减，故错；
选项，是奇函数，且在上是增函数，故正确
综上所述，故选
7、C
【解析】根据幂函数的概念以及幂函数的单调性求出，在根据指数函数与对数函数的单调性得到，根据幂函数的单调性得到，再结合偶函数可得答案.
【详解】根据幂函数的定义可得，解得或，
当时，，此时满足在上单调递增，不合题意，
当时，，此时在上单调递减，
所以.
因为，
又，所以，
因为在上单调递减，所以，
又因为为偶函数，所以，
所以.
故选：C
8、C
【解析】①利用平面与平面的位置关系判断；②利用线面垂直的性质定理判断；③利用直线与直线的位置关系判断；④利用面面垂直的性质定理判断.
【详解】①若，，则或相交，故错误；
②若，，则可得，故正确；
③若，，则，故错误；
④若，，，当时，，故错误.
故选：C
9、C
【解析】
根据函数的图像关于点中心对称，由求出的表达式即可.
【详解】因为函数的图像关于点中心对称，
所以，
所以，
解得，
所以
故选：C
【点睛】本题主要考查余弦函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
10、D
【解析】直接利用特殊值检验及其不等式的性质判断即可.
【详解】对于选项A，令，，但，则A错误；
对于选项B，令，，但，则B错误；
对于选项C，当时，，则C错误；
对于选项D，有不等式的可加性得，则D正确，
故选：D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由分段函数解析式先求，再求.
【详解】由已知可得，故.
故答案为：2.
12、
【解析】取中点为O，连接VO,BO在正三棱锥中，因为,所以,所以=,所以
13、17
【解析】根据分段函数解析式计算可得；
【详解】解：因为，
故答案为：
14、##
【解析】先由已知条件求出的值，再由可求出的值
【详解】因幂函数过点，
所以，得，
所以，
因为，所以，得，
故答案为：
15、
【解析】根据二分法，取区间中点值，而，，所以，故判定根区间
考点：二分法
【方法点睛】本题主要考察了二分法，属于基础题型，对于零点所在区间的问题，不管怎么考察，基本都要判断端点函数值的正负，如果异号，那零点必在此区间，如果是几个零点，还要判定此区间的单调性，这个题考查的是二分法，所以要算区间的中点值，和两个端点值的符号，看是否异号．零点肯定在异号的区间
16、3
【解析】∵集合M={3，m+1}，4∈M，
∴4=m+1，
解得m=3
故答案为3.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】(1)根据三角函数的同角关系求得，结合角的象限即可得出结果；
(2)利用诱导公式将原式化简即可得出结果.
【小问1详解】
因为，所以.
因为α是第二象限角，所以.
【小问2详解】
.
18、（1）在上单调递减，证明见解析；（2）.
【解析】（1）利用单调性定义：设并证明的大小关系即可.
（2）由（1）及函数不等式恒成立可知：在已知区间上恒成立，即可求的取值范围
【详解】（1）函数在区间上单调递减，以下证明：设，
∵，
∴，，，
∴，
∴在区间上单调递减；
（2）由（2）可知在上单调减函数，
∴当时，取得最小值，即，
对任意时，都成立，只需成立，
∴，解得：
19、（1）；（2）当线段的长为5米时，花坛的面积最大.
【解析】(1)根据扇形的面积公式,求出两个扇形面积之差就是所求花坛的面积即可；
(2)利用弧长公式根据预算费用总计1200元可得到等式,再求出花坛的面积的表达式,结合得到的等式,通过配方法可以求出面积最大时, 线段AD的长度.
【详解】(1)设花坛面积为S平方米.
答：花坛的面积为；
(2) 圆弧长为米，圆弧的长为米，线段的长为米
由题意知，
即 * ，
，
由*式知，，
记则
所以=
当时，取得最大值，即时，花坛的面积最大，
答：当线段的长为5米时，花坛的面积最大.
【点睛】本题考查了弧长公式和扇形面积公式,考查了数学阅读能力,考查了数学运算能力.
20、此商品的最佳售价应为元.
【解析】设最佳售价为元，最大利润为元，
当时，取得最大值，所以应定价为元
21、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由图象的平移特点可得所求函数的解析式；
（2）求得的解析式，可得对一切恒成立，再由二次函数的性质可得所求范围；
（3）将化简为，由题意可得只需在区间，，上有唯一解，利用图象，数形结合求得答案.
【小问1详解】
将函数且的图象向左平移1个单位，得到的图象，再向上平移2个单位，得到函数的图象,
即： ;
【小问2详解】
函数，，
若对一切恒成立，
则对一切恒成立，
由在递增，可得，
所以，即的取值范围是，；
【小问3详解】
关于的方程且，
故函数在区间上有且仅有一个零点，
等价于在区间上有唯一解，
作出函数且的图象，如图示：
当时，方程的解有且只有1个，
故实数p的取值范围是.
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