N选修4系列(理科).doc

N 选修4系列
N1 选修4-1 几何证明选讲
22．N1[2012·辽宁卷]
如图1－8，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：
(1)AC·BD＝AD·AB；
(2)AC＝AE.

图1－8
22．证明：(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，
同理∠ACB＝∠DAB，
所以△ACB∽△DAB.从而＝，
即AC·BD＝AD·AB.
(2)由AD与⊙O相切于A，得
∠AED＝∠BAD，
又∠ADE＝∠BDA，得
△EAD∽△ABD.从而＝，
即AE·BD＝AD·AB.
结合(1)的结论，得AC＝AE.
21 A．N1 [2012·江苏卷]如图1－7，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.
求证：∠E＝∠C.

图1－7
21A.证明：如图，连结OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，
所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.

因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.
因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，
故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.
15．N1[2012·湖北卷]如图1－6所示，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连结OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．

图1－6
15. 2　[解析] 因为CD＝，且OC为⊙O的半径，是定值，所以当OD取最小值时，CD取最大值．显然当OD⊥AB时，OD取最小值，故此时CD＝AB＝2，即为所求的最大值．
12．N1[2012·全国卷] 正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(　　)
A．16 B．14
C．12 D．10
12．B　[解析] 取单位长度为7的正方形，(1)直接作出图形可得到结果，如图所示，(2)建立坐标系，取正方形边长为7分单位，计算7次可得第7次时该点的横坐标与E点相同，根据对称性应选择14次．

5．N1[2012·北京卷] 如图1－3，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则(　　)
A．CE·CB＝AD·DB
B．CE·CB＝AD·AB
C．AD·AB＝CD2
D．CE·EB＝CD2
5．A　[解析] 本题考查了平面几何圆与三角形，特别是重点考查了射影定理等知识．
对于A，CE·CB＝CD2＝AD·DB；
对于B，CE·CB＝CD2≠AC2＝AD·AB；
对于C，CD2＝AD·DB≠AD·AB；
对于D，ED2＝CE·EB≠CD2.
15．N1[2012·广东卷]如图1－3，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.
15.　[解析] 考查平面几何中圆周角定理以及弦切角定理等，解题关键是通过连接OA，在△AOP中利用勾股定理求出．连接OA，则OA⊥PA，根据圆周角定理得：∠AOP＝60°，所以PO＝2，OA＝1，在直角三角形AOP中利用勾股定理得：PA＝＝.
11．N1[2012·湖南卷] 如图1－3，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．

图1－3
11.　[解析] 设圆的半径为r，由圆的割线定理可得，PA·PB＝(PO－r)(PO＋r)，把 PA＝1，PB＝1＋2＝3，PO＝3代入求解得3＝9－r2，∴r＝.
22．N1[2012·课标全国卷]如图1－6，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：
(1)CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD.
22．证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，
所以DE∥BC.
又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，
所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.
因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.

(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.
由(1)可知BD＝CF，
所以GB＝BD.
而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.
15 B. N1 [2012·陕西卷]如图1－5，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.

图1－5
15B． 5　[解析] 本题考查了射影定理的知识，解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理．连接AD，在Rt△ABD中，DE⊥AB，所以DE2＝AE×EB＝5，在Rt△EBD中，EF⊥DB，所以DE2＝DF×DB＝5.
13．N1[2012·天津卷] 如图1－3所示，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．

图1－3
13.　[解析] 本题考查选修4－1几何证明选讲中圆的性质，考查推理论证及运算求解能力，中档题．
由相交弦的性质可得|AF|×|FB|＝|EF|×|FC|，
∴|FC|＝＝＝2，
又∵FC∥BD，∴＝＝＝，即BD＝，
由切割定理得|BD|2＝|DA|×|DC|＝4|DC|2，解之得|DC|＝.
N2 选修4-2 矩阵
21 B．N2 [2012·江苏卷]已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．
21 B．解：因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.
因为A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，
于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.
令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.
21A．N2 [2012·福建卷] 设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.
(1)求实数a，b的值；
(2)求A2的逆矩阵．
21A．解： (1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．
由＝＝，得
又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，
整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.
依题意得解得或
因为a＞0，所以
(2)由(1)知，A＝，A2＝＝，
所以|A2|＝1，(A2)－1＝.
3．C3、N2[2012·上海卷] 函数f(x)＝的值域是________．
3.　[解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的值域，易错点是三角函数的化简．
f(x)＝－2－sinxcosx＝－2－sin2x，又－1≤sin2x≤1，所以f(x)＝－2－sin2x的值域为.
N3 选修4-4 坐标系与参数方程
12．N3[2012·天津卷] 已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p＞0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
12．2　[解析] 本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质，考查运算求解能力及转化思想，中档题．
将参数方程 化为普通方程为y2＝2px(p>0)，并且F，E，
又∵|EF|＝|MF|＝|ME|，即有3＋＝，解之得
p＝±2(负值舍去)，即p＝2.
10． N3[2012·上海卷] 如图1－1所示，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α＝，若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝________.

图1－1
10.　[解析] 考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再按要求化简．
由已知得直线方程为y＝(x－2)tan，化简得x－y－2＝0，转化为极坐标方程为：
ρcosθ－ρsinθ－2＝0，解得ρ＝＝，所以
f(θ)＝.
15 C. N3 [2012·陕西卷]直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．
15C. 　[解析] 本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标．由2ρcosθ＝1得2x＝1①，由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x②，联立①②得y＝±，所以弦长为.
23．N3[2012·辽宁卷]在直角坐标系xOy.圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
23．解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
解得ρ＝2，θ＝±.
故圆C1与圆C2交点的坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)(解法一)
由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为
－≤t≤.
(或参数方程写成　－≤y≤)
(解法二)
在直角坐标系下求得弦C1C2的方程为x＝1(－≤y≤)．将x＝1代入得ρcosθ＝1，
从而ρ＝.
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
－≤θ≤.
23．N3[2012·课标全国卷]已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
23．解：(1)由已知可得
A2cos，2sin，
B2cos＋,2sin＋，
C2cos＋π,2sin＋π，
D2cos＋,2sin＋，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则
S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16
＝32＋20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．
21 C．N3[2012·江苏卷]在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
21C．解：在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径PC＝＝1，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
9．N3[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
9.　[解析] 考查直线与椭圆的参数方程，此类问题的常规解法是把参数方程转化为普通方程求解，此题的关键是，得出两曲线在x轴上的一个公共点，即为曲线C1与x轴的交点，化难为易．
曲线C1： (t为参数)的普通方程是2x＋y－3＝0，曲线C2的普通方程是＋＝1，两曲线在x轴上的一个公共点，即为曲线C1与x轴的交点，代入曲线C2，得＋＝1，解得a＝.
16．N3[2012·湖北卷]在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
16.　[解析] 曲线 化为直角坐标方程是y＝2，射线θ＝化为直角坐标方程是y＝x.联立 消去y得x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4.所以y1＝1，y2＝4.故线段AB的中点的直角坐标为，即.
21B. N3 [2012·福建卷]在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
(2)判断直线l与圆C的位置关系．
21B. 解：(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，
又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x.
(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，
所以直线l的平面直角坐标方程为x＋3y－2＝0.
又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径r＝2，
圆心到直线l的距离d＝＝＜r，故直线l与圆C相交．
13．N3[2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．
13.　[解析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化，圆的方程，点到直线的距离．
应用极坐标与直角坐标的互化公式 将圆ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋2＝4，直线θ＝化为直角坐标方程为y＝x.因为x2＋2＝4的圆心为，所以圆心到直线y＝x，即x－3y＝0的距离为d＝＝.
9．N3[2012·北京卷] 直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．
9．2　[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查参数方程和普通方程之间的转化等基础知识，考查数形结合思想的运用．
方程转化为普通方程，直线为x＋y＝1，圆为x2＋y2＝9，
法一：圆心到直线的距离为d＝＝<3，所以直线与圆相交，答案为2.
法二：联立方程组消去y可得x2－x－4＝0，Δ>0，所以直线和圆相交，答案为2.
14．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
14．(1,1)　[解析] 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化，突破口是把参数方程转化为直角坐标方程，利用方程思想解决，C1的直角坐标方程为：y2＝x(x≥0)，C2的直角坐标方程为：x2＋y2＝2，联立方程得：解得所以交点坐标为(1,1)．

图1－3
15．N3[2012·江西卷] (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
N4(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．
15．(1)ρ＝2cosθ　[解析] 考查极坐标方程与普通方程的转化；解题的突破口是利用点P的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)的关系转化．由于ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，因此x2＋y2－2x＝0的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
(2)　[解析] 考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论思想；解题的突破口是利用零点讨论法去掉绝对值符号，将不等式转化为一般不等式(组)求解．当x>时，原不等式可化为2x－1＋2x＋1≤6，解得x≤，此时<x≤；当x<－时，原不等式可化为－2x＋1－2x－1≤6，解得x≥－，此时－≤x<－；当－≤x≤时，原不等式可化为1－2x＋2x＋1≤6，解得x∈R，此时－≤x≤.综上，原不等式的解集为.
24．N3[2012浙江卷]
在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：(t为参数)与曲线C：(θ为参数)相交于不同两点A，B.
(1)若α＝，求线段AB中点M的坐标；
(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，)，求直线l的斜率．
解：设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2.将曲线C的参数方程化为普通方程＋y2＝1.
(1)当α＝时，设点M对应参数为t0.
直线l方程为(t为参数)．
代入曲线C的普通方程＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0，则
t0＝＝－，
所以，点M的坐标为.
(2)将代入曲线C的普通方程＋y2＝1，得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8sinα＋4cosα)t＋12＝0，
因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝，|OP|2＝7，所以＝7.
得tan2α＝.
由于Δ＝32cosα(2sinα－cosα)>0，故tanα＝.
所以直线l的斜率为.

N4 选修4-5 不等式选讲
23．N4 [2012浙江卷]已知a∈R，设关于x的不等式|2x－a|＋|x＋3|≥2x＋4的解集为A.
(1)若a＝1，求A；
(2)若A＝R，求a的取值范围．
23.解：(1)当x≤－3时，原不等式化为－3x－2≥2x＋4，综合得x≤－3.
当－3<x≤时，原不等式化为－x＋4≥2x＋4，综合得－3<x≤0.
当x>时，原不等式为3x＋2≥2x＋4，得x≥2.
综上，A＝{x|x≤0或x≥2}．
(2)当x≤－2时，|2x－a|＋|x＋3|≥0≥2x＋4成立．
当x>－2时，|2x－a|＋|x＋3|＝|2x－a|＋x＋3≥2x＋4，得x≥a＋1或x≤，
所以a＋1≤－2或a＋1≤，得a≤－2，
综上，a的取值范围为a≤－2.
15 A．N4 [2012·陕西卷]若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
15A. －2≤a≤4　[解析] 本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义．|x－a|＋|x－1|≤3表示的几何意义是在数轴上一点x到1的距离与到a的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a的取值范围，不难发现－2≤a≤4.
24．N4[2012·辽宁卷]已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．
(1)求a的值；
(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．
24．解：(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.
又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以
当a≤0时，不合题意．
当a＞0时，－≤x≤，得
a＝2.
(2)记h(x)＝f(x)－2f，
则h(x)＝
所以|h(x)|≤1，因此k≥1.
24．N4[2012·课标全国卷]已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
24．解：(1)当a＝－3时，f(x)＝
当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2<x<3时，f(x)≥3无解；
当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}．
(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|
⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|
⇔－2－a≤x≤2－a.
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
21 D．N4 [2012·江苏卷]已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜.
21D．证明：因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由题设知|x＋y|<，|2x－y|<，从而3|y|<＋＝，
所以|y|<.
10．N4[2012·湖南卷] 不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为________．
10.　[解析] 考查解含绝对值不等式，此题的关键是转化为|2x＋1|>2|x－1|，再两边平方，轻松求解．
不等式转化为|2x＋1|>2|x－1|，两边平方得
(2x＋1)2>4(x－1)2，化简得4x>1，解得x>，故解集为.6．N4[2012·湖北卷] 设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝(　　)
A. B.
C. D.
6．C　[解析] 由柯西不等式得(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)＝10×40≥(ax＋by＋cz)2＝202，显然上式应取等号，此时a＝kx，b＝ky，c＝kz，则a2＋b2＋c2＝k2(x2＋y2＋z2)＝40k2＝10，得k＝(舍去负值)，所以＝＝k＝.故选C.
9．N4[2012·广东卷] 不等式|x＋2|－|x|≤1的解集为________．
9.　[解析] 当x≤－2，不等式化为：－x－2＋x≤1，即－2≤1恒成立，所以此时解集为：{x|x≤－2}；
当－2<x≤0时，不等式化为：x＋2＋x≤1，解得x≤－，所以不等式的解集是：.
当x>0时，不等式化为：x＋2－x≤1，即2≤1，此时解集为空集．
综上，不等式的解集为：.
21C. N4 [2012·福建卷]已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
21C. 解：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.
(2)由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
≥2＝9.
N5 选修4-7 优选法与试验设计