人教版九年级数学中考常错易错题第一讲数与式、方程与不等式(组).doc

中考常错易错题第一讲 数与式 、方程与不等式（组）明确目标定位考点中考定位 实数、二次根式，最简二次根式、同类二次根式；代数式、整式；整式的混合运算；乘法公式；因式分解。一元一次方程、二元一次方程组和一元二次方程的解法及应用；不等式及不等式组的解法及其不等式的应用。一元一次方程、二元一次方程组和一元二次方程的解法及应用；不等式及不等式组的解法及其不等式的应用的相关错题及常错题。归纳总结思维升华 1、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。2、科学记数法和近似数 1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。2、科学记数法把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。3、一元二次方程根的判别式 根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即4、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。5、分式方程 1、解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。2、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。6、不等式（组）1、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。求不等式的解集的过程，叫做解不等式。2、用数轴表示不等式的方法易错点聚焦题型突破易错点一 考查绝对值，相反数，倒数等概念及科学计数法【例1】（1）-等于（ ） A B C D易错分析 负数的绝对值是它的相反数，在解题过程中容易忽视绝对值，利用负负得正，导致结果出错。【变式训练1】的相反数是( )A. B. C. D. 易错点二 科学记数法【例2】今年五月份香港举办“保普选反暴力”大联盟大型签名行动，9天共收集超121万个签名，将121万用科学记数法表示为( )A. 1.21106 B. 12.1105 C. 0.121107 D. 1.21105易错分析 把一个大于10的数表示成a10n（表示方）的形式(其中a必须是整数数位只有一位的数，n是正整数)，这种记法我们叫做科学计数法。解题时处理万字时添零的个数易出错，还易把a写成整数位是零的小数。【温馨提示】 在中考中以上属于送分题.对于这类题，一定要紧扣课本的概念，理清条理和思路，答题过程中细心即可【变式训练2】未来三年，国家将投入亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题将亿元用科学记数法表示为（）A.亿元B亿元C亿元D亿元易错点三 根式的化简技巧【例3】若都是实数，且，求的值易错分析 考查二次根式有意义的条件，对于一般形如“”的式子，其值一定为，此时.温馨提示 本例明为给出条件的代数式的求值，实质依然是考查二次根式有意义的条件，对于一般形如“”的式子，其值一定为，此时. 【变式训练3】 计算：易错分析 按完全平方公式展开，再相减，运算太繁杂，占用时间过长，且计算过程中易出错。温馨提示 若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多易错点四. 常见的非负性【例4】. 已知 ，求的值易错分析 乘法公式、多项式与多项式相乘以及合并同类项等知识点，“非负数的和为0，非负数都为0”这一重要结论，进而计算出a,b的值。公式多计算时很容易出错。温馨提示 题目虽然简单，但考查的内容却是相当广泛，公式多，这样的题目，应该引起读者足够重视【变式训练4】已知直角三角形两边x,y 的长满足，求第三边的长.温馨提示 本例主要考察了二次根式及绝对值的非负性，结合勾股定理的相关知识点，考查直角三角形边长的求法，题目难度不大，但容易忽略3为斜边的情况，从而产生漏解.易错点五 一次方程的概念及其解法【例5】关于的一元一次方程的解为_易错分析 题目中是有参变字母不确定，要对其做出合理的分类（如本例中的和且），做题时容易疏漏温馨提示 本例是典型的考查一元一次方程的概念的题目，对于这样一类考查概念性问题的题目，我们可以从两个方向把握：一是搞清所考查的概念的具体内容是什么，并应用该概念的限定条件，列出相关等式；二是要注意题目中是否有参变字母不确定，要对其做出合理的分类（如本例中的和且），慎防漏解【变式训练5】解下列方程（组）：（1）； （2）温馨提示 （1）去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项；去分母后，分数线起到括号的作用，尤其是分式前是负号的项（2）用代入消元法解方程组，也可以用加减消元法解决问题，解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度.易错点六 含字母的方程、不等式的解法【例6】已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是易错分析 本题的参数去掉绝对值时，不用对参数范围进行讨论；最后在求k的取值范围时，要分组讨论。【温馨提示】本题考查了含绝对值符号且含参数的一元一次方程的解法， 对于这类问题，一般的步骤是去掉绝对值，整理成含参数的方程，再讨论参数字母的可能情况，用参数表示未知数，最后再根据情况，确定参数的范围.但本题没有对参数范围进行讨论，读者想想是为什么？ 【变式训练6】若不等式组的解集为，则不等式的解集为易错点七 分式的概念、分式有意义的条件【例7】若，试判断是否有意义.易错分析 在对等式左边进行整理合并时，不能够彻底的因式分解，就算因式分解后，容易得出结论两个都无意义。【温馨提示】要判断是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断中至少有一个为0，从而可得出结论.【变式训练7】若分式的值为零，则的值为（ ）A. 0 B. 1 C. D.【温馨提示】分式是0的条件中，应特别需要注意分母不能为0，这是常考知识点分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，由此条件解出易错点八 分式的化简求值【例8】已知，求的值易错分析 可利用设的手段，将三个字母统一用一个字母表示，使得复杂的问题变得简单明，做题时想不起来转化思想，本题会变得复杂难解。【温馨提示】 本例是一道很经典的老题，题目中利用设的手段，使得复杂的问题变得简单明了，充分的体现了转化思想在数学学习中的重要性。【变式训练8】已知：，求的值【温馨提示】相信一定有一部分的读者，看见本例，头皮会发麻的，题目中出现了，这是一个让人纠结的问题，本例巧妙的利用“取倒”的手段，避开了四次方，达到了降次的目的，也使得计算量大大简化，这种处理方法值得读者借鉴。易错点九 分式方程的解法【例9】方程的解为（）A. B. C. D.易错分析 容易忽视分式方程分母有意义的条件【温馨提示】 本题考点虽然比较简单，但在解题时容易忽视分式方程分母有意义的条件，所以分式方程要记得验根【变式训练9】解方程：易错点十 一元二次方程根的判别式【例10】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）AB且 C 且 D 且易错分析 考查一元二次方程根的判别式的，借助判别式求参数的范围，容易忽略二次项系数不为零的前提条件【温馨提示】方程二次项系数中如果含有参数字母，首先要考虑方程是否为一元二次方程，是，才可以用判别式，不是，则不能用，这个应引起读者足够重视.【变式训练10】一元二次方程总有实数根，则应满足的条件是（ ）A B C D 易错点十一 一元二次方程根与系数关系【例11】.已知是关于的一元二次方程:的两个解，若:， 则的值为（ ）A B C D 易错分析 考查根与系数的关系以及多项式乘多项式法则。借助整体换元法将根与系数代入所求的方程中，而求出a值，容易忽略换元法的使用。【温馨提示】此题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系表示出 m+n 与mn，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n 与mn的值代入即可求出a 的值，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键【变式训练11】是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数使成立？则正确的结论是（ ）A时成立 B时成立 C或时成立 D不存在易错点十二 一元二次方程的综合运用【例12】某工厂生产的某种产品按质量分为个档次，第档次（最低档次）的产品一天能生产件，每件利润元每提高一个档次，每件利润增加元，但一天产量减少件（1）若生产第档次的产品一天的总利润为元（其中为正整数，且），求出关于的函数关系式；（2）若生产第档次的产品一天的总利润为元，求该产品的质量档次易错分析 注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说有条件限定的二次函数的最值不一定在时取得【温馨提示】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案求最值问题时，有条件限定的二次函数的最值不一定在时取得【变式训练12】九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价(元/件)100110120130月销量(件)200180160140已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.（1）请用含x的式子表示：销售该运动服每件的利润是 元；月销量是 .件；（直接填写结果）（2）设销量该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？专题训练对接中考一、选择题1. 的倒数是( )A. B. C. D. 2是指大气中直径米的颗粒物，将用科学记数法表示为（）ABCD 3. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 使不等式与同时成立的x的整数值是A. 3，4 B. 4，5 C. 3，4，5 D. 不存在5. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、填空题6. 函数的自变量的取值范围是 .7.分式方程的解是 .8使式子有意义的最小整数m是三、解答题9. 已知方程的两个根是和，求（1） （2） （3） （4） （5） （6）10.某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元. 商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元.（1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？第 9 页