10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用平面图形的面积.doc

(完整版)10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用平面图形的面积
第十章 定积分的应用
§1 平面图形的面积
在上一章开头讨论过由连续曲线y=f（x)（≥0),以及直线x=a，x=b（a〈b）和x轴所围曲边梯形的面积为，如果f（x）在[a,b]上不都是非负的，则所围图形的面积为，一般地,由上下两条连续曲线y=f2(x)和y=f1(x）以及两条直线x=a， x=b（a〈b)所围的平面图形,它的面积计算公式为
例1 求由抛物线y²=x与直线x-2y-3=0所围平面图形的面积.
解 该平面图形如图所示。先求出抛物线与直线的交点坐标（1，-1）、(9，3)，用x=1把图形分成左右两部分，应用公式得，,所以A=A1+A2=32/3.
本题还可以把抛物线方程和直线方程改成x=y²，x=2y+3，y∈[1，3］，改取积分变量为y，便得。
设曲线C由参数方程x=x(t)，y=y（t），t∈[a，b]给出,在［a,b］上y(t)连续,x=x(t）连续可微且x’(t）≠0(对x(t）连续，y=y(t）连续可微且y'(t)≠0的情形可类似讨论)，记a=x(a）,b=x（b)(a〈b或a>b)，则由曲线C及直线x=a、x=b和x轴所围的图形，其面积计算公式为
例2 求由摆线x=a(t-sint)，y=a（1-cost）（a>0）的一拱与 x轴所围平面图形的面积.
解 摆线的一拱可取t∈［0，2π],所求面积为

如果由参数方程表示的曲线x=x(t),y=y（t）,t∈［a,b]是封闭的，既有x（a）=x(b），y(a)=y（b),且在（a，b）上曲线自身不再相交,那么由曲线自身所围成的图形面积为（或）,此公式可由前面推出,绝对值内的积分，其正负由曲线x=x(t)，y=y（t），t∈［a，b］的旋转方向所确定。
例3求椭圆所围成的图形的面积.
解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a]. 因为面积元素为ydx, 所以.椭圆的参数方程为：x=a cos t , y=b sin t ,
于是
当a=b=r时,这就等于圆的面积πr².
设曲线C由极坐标方程r=r(q)及射线q ∈[a,b]给出，其中r(θ)在［a，b］上连续，β—a≤2π，由曲线r=r（q）及射线q =a, q =b围成的图形称为曲边扇形.此曲边扇形的面积计算公式为.
这任然可用定积分的基本思想而得.对区间［a,b]作任意分割T：a=θ0<θ1<θ2<…。<θn=β，射线θ=θi(i=1,2，…，n—1）把扇形分成n个小扇形，由于r=r(θ）是连续的，因此当||T|｜很小时，在每一个Di上r=r（θ）的值变化也很小，任取ξi∈Di,便有r(θ)≈r（ξi）, θ∈Di,i=1，2,…，n，这时第i个小扇形的面积DAi≈0。5 r²(ξi） Dθi，于是。由定积分定义和连续函数的可积性,当｜|T|｜→0时上式右边的极限即为公式的定积分。
例4 求双纽线r²=a²cos2θ所围平面图形的面积。
解 因为r²≥0，所以θ的取值范围是[-0.25π，0.25π]和［0.75π，1。25π］，由图形的对称性及公式得

参考题1。 计算阿基米德螺线r=aq (a 〉0)上相应于q从0变到2p 的一段弧与极轴所围成的图形的面积S
解: .
参考题2。 计算心形线r=a(1+cosq ) (a〉0) 所围成的图形的面积S
解: