惯导与GPS坐标转换问题.doc

坐标系问题
一、 常用坐标系
1. 惯性坐标系（i系）
对牛顿运动定律适用的参考系；研究物体时，选取静止或作匀速直线运动的参考系，牛顿定律才能成立。常用惯性坐标系：日心惯性坐标系、地心惯性坐标系等。

2. 地球坐标系（e系）
即固连在地球上的坐标系，该坐标系随地球一起转动。地球坐标系原点在地球中心，轴沿地球自转轴方向，x轴在赤道平面与本初子午线相交；y轴也位于赤道平面内，与x、z轴构成右手直角坐标系。
导航中可用地球坐标系的直角坐标表示也可用经纬度表示。（常见GPS坐标WGS-84）

3. 地理坐标系（t系）
地理坐标系也称当地垂线坐标系，原点位于运载体所在点，原点位于运载体所在点，x轴沿当地纬线切线方向，y轴沿当地经线切线方向，z轴沿当地地理垂线方向并与x、y轴构成右手直角坐标系。根据坐标轴方向的不同，地理坐标系的方向可选为“东北天”、“北东地”、“北西天”等。

4. 载体坐标系（b系）
机体坐标系、船体坐标系和弹体坐标系等的统称。原点与载体的质心重合；x轴沿载体横轴向右，y轴沿载体纵轴向前，z轴沿载体竖轴并与x、y轴构成右手直角坐标系。
载体的俯仰（纵摇）角，横滚（横摇）角，航向（偏航）角统称为姿态角。载体的姿态角是根据载体坐标系相对地理坐标系来确定的。

二、 坐标系转换（姿态角）
1．方向余弦法
设空间直角坐标系，其三轴单位向量分别为。任一向量R可均可表示为：
这里的分量为向量R在三个轴上的投影：

式中，分别为R与坐标系三轴的夹角，将称为向量R在坐标系中的方向余弦。
设另一坐标系，轴对于坐标系的方向余弦为；
轴对于坐标系的方向余弦为；轴对于坐标系的方向余弦为。那么有：

、为R在、中的坐标列向量。

矩阵中的九个元素均为两坐标系坐标轴之间的方向余弦，反映了两坐标之间的角位置关系，称为从坐标系到的方向余弦。
2．欧拉角法
绕Z2旋转kz
绕Y1旋转ky
绕X0旋转kx
两三维直角坐标系之间的方向余弦矩阵有九个元素，由于有六个约束条件，只有三个元素是独立的，这说明任意两个三维直角坐标系之间的角度关系完全可以由三个角度来描述。假定从坐标系经由三次旋转可以得到坐标系。

变化横滚（横摇）角,俯仰（纵摇）角，，航向（偏航）角三个角度，可以形成原点与相同的任意三维直角坐标系。即任意一个三维直角坐标系均可以从经过上述三次旋转得到。称三个旋转角为欧拉角。

设由至的方向余弦矩阵为C，则根据方向余弦矩阵的传递性：

3．四元数
理论上欧拉旋转可以靠顺序让一个物体指到任何一个想要的方向，但是如果在旋转过程中让某些坐标轴重合了就会发生万向锁，就会丢失一个方向上的旋转能力，除非打破原先的旋转顺序或者同时旋转三个坐标轴。所以引进四元数法来表示姿态角。
（1） 四元数定义

其中，是实数，既是互相正交的单位向量，也是虚单位。满足下列关系：

（2） 四元数的表达方式
【1】 矢量式

其中，称四元素Q的标量部分，q称四元素Q的矢量部分，对比与复数式，q可以看出为三维空间的一个向量。
【2】 复数式

共轭复数为：
【3】 三角式

式中，为实数，u为单位向量。
【4】 指数式

【5】 矩阵式

（3） 四元数的大小-----范数
四元数的大小用四元数的范数来表示：

若，则Q称为规范化四元数。
（4） 四元数的运算---加减乘除
【1】 加法和减法
设

则
【2】 乘法

其中
运算律

【3】 除法
根据范数的定义：
又因为逆的定义，若，则称Q是P的逆，
所以

（5） 四元数方向余弦矩阵

（6） 四元数与欧拉角转换

因为 arctan和arcsin的角度范围限制，所以需要atan2代替arctan。

注：atan2是一个函数，在C语言里返回的是指方位角，也可以理解为计算复数 x+yi 的辐角，计算时atan2 比 atan 稳定。
三、 GPS坐标转换
GPS的WGS84经纬度（B、L、H）转化为WGS84直角坐标系（X、Y、Z），再转化为东北天坐标系（x、y、z）。
1．BLH转换为XYZ
对空间某一点，大地坐标系（B、L、H）到直角坐标（X，Y，Z）系的转换关系如下：

式中：，N为该点的卯酉圈曲率半径；，a、b、e分别为该大地坐标系对应参考椭球的长半轴、短半轴和第一偏心率。在WGS84大地坐标系下，长半轴a=6378137m，短半轴b=6356.7523142km，。
2．直角坐标与东北天坐标的相互转化

设坐标转换矩阵

令
则
其中
展开后可得：