线线角与线面角.doc

线线角和线面角
　　[重点]：确定点、斜线在平面内的射影。

　　[知识要点]：
　　一、线线角
　　1、定义：设a、b是异面直线，过空间一点O引a′//a,b′//b,则a ′、b′所成的锐角(或直角),叫做异面直线a、b所成的角.

　　2、范围:(0, ]

　　3. 向量知识：
　　对异面直线AB和CD
　　(1) ；
　　(2) 向量 和 的夹角< , >(或者说其补角)等于异面直线AB和CD的夹角；
　　(3)

　　二、线面角
　　1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0, ).

　　2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角；
　　直线垂直平面它们所成角为 ，

　　3、范围: [0, ]。

　　4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
　　（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
　　（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
　　（3）垂线段比任何一条斜线段都短。

　　5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

　　6、向量知识
　　（法向量法）与平面的斜线共线的向量 和这个平面的一个法向量 的夹角< , >(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.

　　[例题分析与解答]
　　例1．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.

　　分析：利用 ，求出向量 的夹角 ,再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.

　　解：∵ ， ，
　　∴

　　∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
　　∴

　　∴
　　又
　　∴
　　∴
　　所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.

　　点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.

　　例2．如图(1)，ABCD是一直角梯形，AD⊥AB，AD//BC，AB=BC=a, AD=2a,且PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD成30°角.
　　(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
　　(2)求异面直线AE与CD所成角的大小（用反三角函数表示）

　　解法一：
　　（1）证明：
　　∵PA⊥平面ABCD，　　
　　∴PA⊥AB，
　　∵AD⊥AB，　　
　　∴ AB⊥平面PAD，
　　∴AB⊥PD， 又AE⊥PD，
　　∴ PD⊥平面ABE，
　　∴ BE⊥PD.

　　(2)解：设G、H分别为ED、AD的中点，连BH、HG、GB（图（1））
　　易知 ，
　　∴ BH//CD.
　　∵G、H分别为ED、AD的中点，
　　∴ HG//AE
　　则∠BHG或它的补角就是异面直线AE、CD所成的角，
　　而 ， ，　　　　
　　 ，
　　在ΔBHG中，由余弦定理，得 ，
　　∴ .
　　∴ 异面直线AE、CD所成角的大小为 .

　　解法二：如图（2）所示建立空间直角坐标系A-xyz，
　　则 ， ， ，
　　 ， ，
　　（1）证明：
　　∵
　　∴
　　∴ 　　
　　∴

　　（2）解：
　　∵
　　∴
　　∴ 异面直线AE、CD所成角的大小为

　　例3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ，求BE1与DF1所成角的余弦值.

　　解：以D为坐标原点， 为x,y,z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，
　　设正方体的棱长为4，则
　　D(0,0,0)，B(4,4,0),E1(4,3,4), F1(0,1,4).
　　则 ，
　　∴ ，
　　∵ .
　　∴
　　∴BE1与DF1所成角的余弦值为

　　点评：在计算和证明立体几何问题中，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形有关问题可用向量表示.利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象。

　　例4．在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B.已知点A和点B到棱的距离分别为2和4，且线段|AB|=10.
　　(1) 求直线AB和棱a所成的角；
　　(2) 求直线AB和平面Q所成的角

　　解：如图，作AC⊥a，BD⊥a，垂足分别为C，D
　　分别以 的单位向量为空间的基底
　　过C，B分别作BD，a的平行线，交于E点，
　　∴CE⊥a，从而，得：∠ACE就是二面角P-a-Q的平面角，
　　∴ ,
　　依题设： 　　 设
　　(1)
　　∵ ,
　　又∵ , ∴
　　展开：
　　∵ ,
　　∴ m2+20+8=100，从而得
　　∴
　　∴ 异面直线 与a所成的角为 .

　　(2)
　　作AF⊥EC，交EC的延长线于F，
　　∴ a⊥平面ACE， aÌ平面Q，
　　∴平面ACE⊥平面Q，
　　从而得：AF⊥平面Q，连结FB，
　　则∠ABF就是AB与平面Q所成的角，
　　∵ 上的射影为 ，
　　∴ ，　　 ∴ ，
　　在RtΔAFB中， ，
　　∴直线AB和平面Q所成的角为： .

　　反馈练习：
　　1.过平面外两点和该平面垂直的平面的个数是（　　 ）
　　A.1个　　　　　 B.无数个　　　　　　 C.一个或无数个　　　　　　 D.没有

　　2.已知从一点P引三条射线PA，PB，PC，且两两成60度角，则二面角A—PB—C的二面角的余弦值是（　　 ）
　　A.. 　　　　 B. 　　　　　　　C. 　　　　　 D.不能确定

　　3．正方体AC1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是（ ）
　　A、 　　　　 B、 　　　　　 C、 　　　　　　　 D、

　　4．在正三棱锥S-ABC中，E为SA的中点，F为ΔABC的中心，SA=BC=2，则异面直线EF与AB所成的角是（ ）
　　A、60°　　　　　　　　 B、90°　　　　　　　　 C、45°　　　　　　　　　　 D、30°

　　5．已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，则直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值是（ ）
　　A、 　　　　　　　　 B、 　　　　
　　C、 　　　　　　　　 D、

　　6、如图所示，M、N分别是单位正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1、B1C1的中点.求MN与CD1所成的角.

　　7、如图1所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点.
　　(1)求异面直线AB1与BC1的夹角；
　　(2)在直线CC1上求一点N，使MN^AB1.

　　参考答案：
　　1.C.　　　　

　　2.B.

　　3.A．
　　如图.：
　　依题意，可知：
　　设
　　由三角形法则，

　　∴ 　　

　　∴
　　∴ 直线ED与D1F的所成的角为 .

　　4．A．
　　如图设
　　依题意可得： ，

　　∵

　　∴

　　∴
　　也就是：异面直线EF与AB所成的角是60°.

　　5．B．
　　如图取AB中点E，连结CE，
　　由正三棱柱可知：CE⊥平面AA1B1B.
　　连结EB1， ∴∠CB1E就是B1C与平面AA1B1B所成的角
　　设棱长AA1=1，设 ，
　　依题意可得： ，

　　∵

　　∴

　　又∵

　　∴ ，
　　∴ ，
　　∴ 直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值是 .

　　6、解：
　　∵ ， ，
　　且
　　∴

　　∵ ，
　　∴
　　∴ .
　　∴ MN与CD1所成角为60°.

　　7、分析：利用向量理论求异面直线所成的角.
　　解：
　　(1)求异面直线AB1与BC1所成的角，就是求向量 的夹角，如图2

　　∵正三棱柱ABC-A1B1C1，
　　∴ ，
　　依题意 ，
　　从而得：

　　∴
　　∴

　　(2)设 ，如图3，
　　依题意可得：

　　∵ 　　
　　也就是：
　　∴

　　即 　　
　　∴ ，　　
　　∴ 当 时，AB1⊥MN.
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