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角平分线练习题

一．选择题（共22小题）
1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
2．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　）

A．30° B．35° C．45° D．60°
3．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　　）

A．OE是∠AOB的平分线 B．OC=OD
C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE
4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，∠A=45°，若BD=2，则AB长为（　　）

A．2 B．2 C．2 D．3
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD的面积等于（　　）

A．30 B．24 C．15 D．10
7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（　　）

A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF
9．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（　　）

A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm
10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：
①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；
其中正确的是（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
14．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）

A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
15．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是（　　）

A．SAS B．AAA C．SSS D．HL
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BC=4cm，CD=3cm，则点D到AB的距离是（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
17．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
18．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：
①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，
四个结论中成立的是（　　）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
19．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=12，CD=3，则
△DAB的面积为（　　）

A．12 B．18 C．20 D．24
22．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6

评卷人
得 分

二．填空题（共13小题）
23．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB=5，BC=6，S△ABC=9，则DE的长为　 　．

24．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为　 　．

25．如图，已知△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=6，△ABC的面积是　 　．

26．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是　 　．

27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为　 　．

28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=16，则D到AB边的距离是　 　．

29．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，若AD=6，DE⊥AB，则DE的长为　 　．

30．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　 　处．

31．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=　 　．

32．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD是∠ACD的平分线，若BD=2，AC=8，则△ACD的面积为　 　．

33．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=　 　．

34．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…，那么…、”的形式：如果　 　，那么　 　．
35．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为　 　．

评卷人
得 分

三．解答题（共5小题）
36．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．

37．如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：
（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．

38．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．

39．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO．
（1）说明OF与CF的大小关系；
（2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．

40．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC=AE；
（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．

2018年09月23日tcq372的初中数学组卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共22小题）
1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF=6，
故选：D．

2．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　）

A．30° B．35° C．45° D．60°
【解答】解：作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=∠DAB=35°，
故选：B．

3．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　　）

A．OE是∠AOB的平分线 B．OC=OD
C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE
【解答】解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．
A、OE是∠AOB的平分线，A正确；
B、OC=OD，B正确；
C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；
D、∠AOE=∠BOE，D正确．
故选：C．

4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，∠A=45°，若BD=2，则AB长为（　　）

A．2 B．2 C．2 D．3
【解答】 解：如图，过B点作BE⊥OA于E，
∵OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，BD=2，
∴BE=BD=2，
在直角△ABE中，∵∠AEB=90°，∠A=45°，
∴AB=BE=2．
故选：C．

5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵AB=8，CD=2，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=2，
∴△ABD的面积=AB•DE=×8×2=8．
故选：B．

6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD的面积等于（　　）

A．30 B．24 C．15 D．10
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴DE=DC=3，
∵AB=10，
∴△ABD的面积=AB•DE=×10×3=15．
故选：C．

7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=AB•DE=×10•DE=15，
解得DE=3．
故选：A．

8．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（　　）

A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF
【解答】解：∵BP为∠ABC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，B正确，不符合题意；
在Rt△DBE和Rt△DBF中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DBF，
∴∠DBE=∠DBF，∠BDE=∠BDF，A、D正确，不符合题意，
2DF不一定等于DB，C错误，符合题意，
故选：C．

9．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（　　）

A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm
【解答】解：∵OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB，
∴OM=ON=8cm，
故选：C．

10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．

11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．

故选：D．

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
【解答】解：
过D作DE⊥AB于E，
∵点D到边AB的距离为6，
∴DE=6，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE=6，
∵CD=DB，
∴DB=12，
∴BC=6+12=18，
故选：C．

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：
①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；
其中正确的是（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE，故①正确；
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，∠ADC=∠ADE，
∴AC+BE=AE+BE=AB，故②正确；
AD平分∠CDE，故④正确；
∵∠B+∠BAC=90°，
∠B+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠BAC，故③正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：D．

14．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）

A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．

15．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是（　　）

A．SAS B．AAA C．SSS D．HL
【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠ADP=∠AEP=90°，
在Rt△ADP和△AEP中，
∴Rt△ADP≌△AEP（HL），
故选：D．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BC=4cm，CD=3cm，则点D到AB的距离是（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【解答】解：
过D作DE⊥AB于E，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴DE=DC=3cm，
故选：B．

17．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB，
∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，又PD=2，
∴PE=PD=2．
故选：B．

18．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：
①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，
四个结论中成立的是（　　）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确．
故选：A．

19．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点
【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：B．

20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【解答】解：∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠DAE
∵∠C=90°，DE⊥AB
∴∠C=∠E=90°
∵AD=AD
∴△DAC≌△DAE
∴∠CDA=∠EDA
∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE=60°，
∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE=AB，AE=AC
∴BE+AC=AB
∴④BE+AC=AB正确；
∵∠BDE=90°﹣∠B，∠BAC=90°﹣∠B
∴∠BDE=∠BAC
∴②∠BAC=∠BDE正确．
故选：B．

21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=12，CD=3，则
△DAB的面积为（　　）

A．12 B．18 C．20 D．24
【解答】解：过D作DE⊥AB，

∵Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴DE=DC=3，
∴△DAB的面积=，
故选：B．

22．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6
【解答】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
∵S△ADB=AB×DE=×4×2=4，
∵△ABC的面积为10，
∴△ADC的面积为10﹣4=6，
∴AC×DF=6，
∴AC×2=6，
∴AC=6
故选：D．

二．填空题（共13小题）
23．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB=5，BC=6，S△ABC=9，则DE的长为　　．

【解答】解：作DF⊥AB于F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
∴×AB×DF+×BC×DE=S△ABC，即×5×DE+×6×DE=9，
解得，DE=，
故答案为：．

24．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为　3　．

【解答】解：过C作CF⊥AO，
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM=CF，
∵OC=5，OM=4，
∴CM=3，
∴CF=3，
故答案为：3．

25．如图，已知△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=6，△ABC的面积是　96　．

【解答】解：过O作OM⊥AB，ON⊥AC，连接AO，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OM=ON=OD=6，
∴△ABC的面积为：×AB×OM+BC×DO+NO=（AB+BC+AC）×DO=32×6=96．
故答案为：96．

26．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是　42　．

【解答】解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OD，OD=OF，
即OE=OF=OD=4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
=×4×（AB+AC+BC）
=×4×21=42，
故答案为：42．

27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为　4cm　．

【解答】解：∵BC=10cm，BD：DC=3：2，
∴DC=4cm，
∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，
∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．
故答案为4cm．

28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=16，则D到AB边的距离是　16　．

【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．
∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=16（角平分线性质），
故答案为：16．

29．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，若AD=6，DE⊥AB，则DE的长为　3　．

【解答】解：∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠BAC=30°．
在Rt△ADE中，DE⊥AB，∠DAE=30°，
∴DE=AD=3．
故答案为：3．

30．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　4　处．

【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故答案为：4．

31．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=　120°　．

【解答】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴点O是三个角的平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=（180°﹣60°）=60°，
在△BCO中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣60°=120°．
故答案为：120°．

32．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD是∠ACD的平分线，若BD=2，AC=8，则△ACD的面积为　8　．

【解答】解：作DH⊥AC于H，
∵CD是∠ACD的平分线，∠B=90°，DH⊥AC，
∴DH=DB=2，
∴△ACD的面积=×AC×DH=×8×2=8，
故答案为：8．

33．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=　150°　．

【解答】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．
故答案为：150°

34．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…，那么…、”的形式：如果　一个点在角的平分线上　，那么　它到这个角两边的距离相等　．
【解答】解：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．

35．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为　14　．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BC=32，BD：CD=9：7，
∴CD=32×=14，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=14，
即D到AB的距离为14．
故答案为：14．

三．解答题（共5小题）
36．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．

【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，即AD平分∠BAC；

（2）AB+AC=2AE．
证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADE=∠ADF，
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD，
∴AE=AF，
∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．

37．如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：
（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．

【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=DE，
∴∠ECD=∠EDC；

（2）在Rt△OCE和Rt△ODE中，，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），
∴OC=OD，
又∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．

38．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．

【解答】解：分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，
∵AC为∠BAD的角平分线，
∴CG=CH，
∵AB=AD，
∴△ABC面积=△ACD面积，
又∵AE=DF，
∴△AEC面积=△CDF面积，
∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积，
△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积，
∴△BCE面积=△ACF面积，
∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，
四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，
∴四边形AECF面积=△ABC面积，
又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，
又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积，
∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半．

39．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO．
（1）说明OF与CF的大小关系；
（2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．

【解答】解：（1）OF=CF．
理由：∵BE=EO，
∴∠EBO=∠EOB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠EBO=∠OBC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴EF∥BC，
∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，
∴OF=CF；

（2）过点O作OM⊥BC于M，作ON⊥AB于N，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，点O到AB的距离为4cm，
∴ON=OM=4cm，
∴S△OBC=BC•OM=×12×4=24（cm2）．

40．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC=AE；
（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．

【解答】（1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中

∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE；

（2）解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAB=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∵CD=DE=4，∠DEB=90°，
∴BD=2DE=8，
由勾股定理得：BE==4．

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