2021年中考数学压轴题题型组合卷(三).doc

2021年中考数学压轴题题型组合卷（三）

2021年中考数学压轴题题型组合卷（三）

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中考压轴题·题型组合卷（三）
（满分：30分）
一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）
1.如图，在正方形ABCD对角线BD上截取BE＝BC，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B作BG⊥AE于点G，交AD于点H，则下列结论错误的是（　　 ）

A．AH＝DF
B．S四边形EFHG＝S△DCF+S△AGH
C．∠AEF＝45°
D．△ABH≌△DCF

2.已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a2+2a﹣3在﹣1≤x≤3的范围内有最小值5，则a的值为　 　．

二、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）
3.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．

4.如图1，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向在AB上运动，以点M为圆心，MA长为半径画圆，如图2，过点M作NM⊥AB，交⊙M于点N，设运动时间为t秒．
（1）填空：BD＝　 　 ，BM＝　 　；（请用准确数值或含t的代数式表示）
（2）当⊙M与BD相切时，
①求t的值；
②求△CDN的面积．
（3）当△CND为直角三角形时，求出t的值．

参考答案
一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）
1.如图，在正方形ABCD对角线BD上截取BE＝BC，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B作BG⊥AE于点G，交AD于点H，则下列结论错误的是（　　）

A．AH＝DF
B．S四边形EFHG＝S△DCF+S△AGH
C．∠AEF＝45°
D．△ABH≌△DCF
【分析】先判断出∠DAE＝∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∠ABH＝∠DCF，再判断出Rt△ABH≌Rt△DCF从而得到A、D正确，根据三角形的外角求出∠AEF＝45°，得出C正确；连接HE，判断出S△EFH≠S△EFD得出B错误．
【解答】解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，
∵BE＝BC，
∴AB＝BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，
∵∠AGH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，
在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，
∴∠ABH＝∠DCF，
在Rt△ABH和Rt△DCF中，
∴Rt△ABH≌Rt△DCF，
∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，
∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，
∴67.5°＝22.5°+∠AEF，
∴∠AEF＝45°，故ACD正确；
如图，连接HE，

∵BH是AE垂直平分线，
∴AG＝EG，
∴S△AGH＝S△HEG，
∵AH＝HE，
∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，
∴∠DHE＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，
∴EH＝ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S△EFH≠S△EFD，
∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故B错误，
故选：B．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和和三角形外角的性质，解本题的关键是判断出△ADE≌△CDE，难点是作出辅助线．

2.已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a2+2a﹣3在﹣1≤x≤3的范围内有最小值5，则a的值为　4或﹣8　．
【分析】由y＝ax2﹣4ax+a2+2a﹣3＝a（x﹣2）2+（a2﹣2a﹣3）可知当a＞0时，最小值是a2﹣2a﹣3＝5，当a＜0时，x＝﹣1时，y有最小值5，则a+4a+a2+2a﹣3＝5，解关于a的方程即可求得．
【解答】解：y＝ax2﹣4ax+a2+2a﹣3＝a（x﹣2）2+（a2﹣2a﹣3），
其对称轴为x＝2，
当a＞0时，最小值是a2﹣2a﹣3＝5，解得a1＝4，a2＝﹣2（舍去）；
当a＜0时，x＝﹣1时，y有最小值5，则a+4a+a2+2a﹣3＝5，整理得a2+7a﹣8＝0，解得a1＝1（舍去），a2＝﹣8，
所以a的值为4或﹣8，
故答案为：4或﹣8
【点评】本题考查了二次函数的最值，注意，只有当自变量x在整个取值范围内，函数值y才在顶点处取最值．而当自变量取值范围只有一部分时，必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值，何处取最小值．

二、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）
3.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．

【分析】（1）把点A的坐标代入解析式，求出b，利用配方法求出抛物线的顶点坐标；
（2）解一元二次方程求出OB，根据勾股定理求出AC、BC，根据勾股定理的逆定理判断即可；
（3）连接BC交对称轴于M，由轴对称的性质得到此时△ACM的周长最小，利用待定系数法求出直线BC的解析式，求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+2上，
∴﹣+b+2＝0，
解得，b＝﹣，
抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，
则顶点D的坐标为（﹣，）；
（2）△ABC是直角三角形，
证明：点C的坐标为（0，2），即OC＝2，
﹣x2﹣x+2＝0，
解得，x1＝﹣4，x2＝1，
则点B的坐标为（﹣4，0），即OB＝4，
OA＝1，OB＝4，
∴AB＝5，
由勾股定理得，AC＝，BC＝2，
AC2+BC2＝25＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，
连接BC交对称轴于M，此时△ACM的周长最小，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
由题意得，，
解得，，
则直线BC的解析式为：y＝x+2，
当x＝﹣时，y＝，
∴当M的坐标为（﹣，）．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、待定系数法求二次函数解析式的一般步骤、轴对称﹣最短路径问题是解题的关键．

4.如图1，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向在AB上运动，以点M为圆心，MA长为半径画圆，如图2，过点M作NM⊥AB，交⊙M于点N，设运动时间为t秒．
（1）填空：BD＝　15　，BM＝　9﹣t　；（请用准确数值或含t的代数式表示）
（2）当⊙M与BD相切时，
①求t的值；
②求△CDN的面积．
（3）当△CND为直角三角形时，求出t的值．

【分析】（1）先判断出∠BAD＝90°，利用勾股定理求出BD＝15，再由运动即可得出结论；
（2）①先判断出∠BEM＝∠BAD＝90°，进而得出△BME∽△BDA，得出比例式建立方程，即可得出结论；
②先求出MN＝4，CD边上的高为AD﹣MN＝12﹣4＝8，最后用面积公式即可得出结论；
（3）先得出FN＝2t，GN＝9﹣2t，DF＝CG＝12﹣2t，分两种情况，建立方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12，∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝9，BC＝12，根据勾股定理得，BD＝＝15，
由运动知，AM＝t．
∴BM＝AB﹣AM＝9﹣t，
故答案为：15，9﹣t；
（2）①如图1，⊙M且BD于E，
∴ME⊥BD，
∴∠BEM＝∠BAD＝90°，
∵∠EBM＝∠ABD，
∴△BME∽△BDA，
∴，
∴，
∴t＝2，
②∵MN＝AM＝2t＝4，
∴CD边上的高为AD﹣MN＝12﹣4＝8，
∴S△CDN＝×9×8＝36；
（3）如图2，过点N作直线FG⊥MN，分别交AD，BC于点F，G，
∴FN＝2t，GN＝9﹣2t，DF＝CG＝12﹣2t，
∴DN2＝DF2+FN2＝（12﹣2t）2+（2t）2，
∴CN2＝CG2+GN2＝（12﹣2t）2+（9﹣2t）2，
①当∠DNC＝90°时，DN2+CN2＝CD2，
∴（12﹣2t）2+（2t）2+（12﹣2t）2+（9﹣2t）2＝81，
化简，得4t2﹣33t+72＝0，
∵△＝（﹣33）2﹣4×4×72＜0，
∴此方程无实数根；
②当∠DCN＝90°时，点N在BC上，BN＝BA＝2t＝9，
∴t＝4.5，
综上所述，t＝4.5秒．

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．