数学实验“线性方程组的最速下降法与共轭梯度法解法”实验报告.doc

西京学院数学软件实验任务书
课程名称
数学软件实验
班级
数0901
学号
0912020107
姓名
李亚强
实验课题
线性方程组的最速下降法与共轭梯度法
实验目的
熟悉线性方程组的最速下降法与共轭梯度法
实验要求
运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成
实验内容
线性方程组的最速下降法
线性方程组的共轭梯度法
成绩

教师

实验五实验报告
一、 实验名称：最速下降法与共轭梯度法解线性方程组。
二、 实验目的：进一步熟悉理解掌握最速下降法与共轭梯度法解法思路，提高matlab编程能力.
三、 实验要求：已知线性方程矩阵,应用最速下降与共轭梯度法在相关软件编程求解线性方程组的解。
四、 实验原理：
1． 最速下降法：
从某个初始点 出发，沿在点处的负梯度方向

求得的极小值点, 即

然后从出发，重复上面的过程得到。如此下去，得到序列｛｝

可以证明，从任一初始点 出发， 用最速下降法所得到的序列｛｝均收敛于问题使最小化的解，也就是方程组的解。其收敛速度取决于，其中 ，分别为A的最小,最大特征值。最速下降法迭代格式：给定初值，按如下方法决定:

2． 共轭梯度法
其基本步骤是在点 处选取搜索方向, 使其与前一次的搜索方向 关于共轭，即

然后从点 出发，沿方向求得的极小值点 , 即

如此下去， 得到序列｛｝.不难求得的解为

注意到的选取不唯一，我们可取

由共轭的定义可得：

共轭梯度法的计算过程如下：
第一步:取初始向量， 计算

第步：计算

五、 实验内容：
%最速下降法
function ［x，k］=fastest(A，b，eps)；
x0=zeros（size(b)，1）；
x=x0;
k=0;
m=1000;
tol=1；
while tol>=eps
r=b—A＊x0；
q=dot(r,r)/dot(A＊r,r)；
x=x0+q*r；
k=k+1；
tol=norm（x—x0);
x0=x；
if k>=m
disp(’迭代次数太多，可能不收敛！'）；
return;
end
end
x
k

%共轭梯度法
function [k,x］=gong_e(A,b）
esp=input(’请输入允许误差esp='）;
x0=input（’请输入初始值x0=');
k = 0 ；
r0 = b-A*x0; ％求出dangqian梯度
while norm（r0)>esp
r0 = b —A*x0；
k = k + 1 ;
if k==1
p0 = r0 ;
else
lamda=(r0'*r0）/（p0'*A＊p0）；
r1 = r0 — lamda＊A*p0 ；
p0=r0+（r0'＊r0)/(r1'*r1）*p0；
x1 = x0 + lamda*p0;
x0=x1;
r0=r1；
end
end
x=r0；
k;
end
六、 实验结果：
A=[5 2 0；6 4 1；1 2 5］;
b=[10 18 -14]’;
eps=1.0e-6;
x =

-0.8750
7。1875
—5。5000

k =

60