牛顿—欧拉方程.doc

牛顿-欧拉方程
欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于1750年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：
Ωb=Ib-1[Mb-Ωb×( Ib Ωb)]
该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时刚体所受外力矩M与角加速度Ω'的关系式，大多时候可简写成:
Ωx'=Mx+Iyy-IzzΩyΩx/IxxΩy'=My+Izz-IxxΩxΩz/IyyΩx'=Mz+Izz-IyyΩxΩy/Izz
其中，Mx,My,Mz分别为刚体坐标系Sb下三个轴的所受的外力矩，Ixx,Iyy,Izz分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下Sb)。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)：
Ft=ma(t)
Mb=Ωb×( Ib Ωb)+ Ib Ωb
这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。
1. 单质点角动量定理
质点旋转时，有动量定理：
F=d(mv)dt
对两边叉乘质点位置矢量r：
r×F=r×d(mv)dt
观察：
d(r×mv)dt=r×d(mv)dt+drdt×mv
因为：
drdt×mv=v×mv=0
故有：
d(r×mv)dt=r×d(mv)dt
r×F=d(r×mv)dt
定义角动量L=r×mv，可以看出r×F为外力矩M
故有单质点的角动量定理：
M=dLdt
2. 刚体的角动量定理
定义刚体的角动量为：
LG=Lidm
其中：LG下标G表示该向量为大地坐标系SG下的，Li的下标i表示该向量为大地坐标SG下各个质量元的向量。刚体旋转运动参考的惯性系是大地坐标系SG，不能把采用刚体的本身坐标系Sb作为参考系，本身坐标系Sb的提出只是方便我们某些量的分析与表述，如角速度Ωb、惯性张量 Ib 。
(这里需要特别说明的是因为刚体质量分布不均匀的原因，角动量的方向往往不与刚体角速度方向一致，这也是无力矩进动的原因，即很多时候刚体角速度不守恒但刚体的角动量守恒了，宏观来看就是因为要保证角动量和动量守恒所以才要产生内力作用使角速度变化达到守恒的效果。)
由牛顿第三定律易知内力矩产生的角动量变化相抵，故有刚体的角动量定理：
MG=dLGdt
其中：MG为外力矩
LG=Lidm=rG×vGdm=rG×ΩG×rGdm
把上式展开有：
LG=IGΩG
其中：IG称为惯性矩阵
IG≝IxxIxyIxzIyxIyyIyzIzxIzyIzz
Ixx≝y2+z2dm
Iyy≝x2+z2dm
Izz≝x2+y2dm
Ixy=Iyx≝-xydm
Iyz=Izy≝-yzdm
Izx=Ixz≝-zxdm
刚体旋转时，IG是变化的，但刚体在刚体坐标系下Sb的惯性矩阵Ib不会变，且容易分析得到：
IG=RIbRT
其中：R为刚体坐标系下Sb到大地坐标系SG的旋转矩阵。
3. 欧拉方程的证明
在先证欧拉方程前，先给出几个刚体坐标系Sb下的向量：
外力矩：Mb；惯性矩阵：Ib；角速度：Ωb
MG=dLGdt=d(IGΩG)dt
引入刚体坐标系的向量：
RMb=d((RIbRT)(RΩb)dt
旋转运动时：旋转矩阵R，刚体角速度Ωb都为变量，只有Ib为不变量。
故上式为：
R(t)Mb=R(t) Ib Ωb+R(t) Ib Ωb
R(t)Mb=R(t)Ωb×( Ib Ωb)+R(t) Ib Ωb
两边乘上RT为：
Mb=Ωb×( Ib Ωb)+ Ib Ωb
Ωb=Ib-1[Mb-Ωb×( Ib Ωb)]

该式中所有量都为刚体坐标系Sb的量，展开即为欧拉方程，Ixy, Ixy, Izx都为0时即为前面所给出的欧拉方程，称为局部坐标系的欧拉方程。