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第6章 平行四边形优题与易错题答案与解析
1. 在▱ABCD中，AB与CD的关系为： AB=CD且AB∥CD
2．考点：三角形中位线定理。
专题：规律型。
分析：十等分点那么三角形中就有9条线段，每条线段分别长，…，让它们相加即可．

解答：
解：根据题意：
图（1），有1条等分线，等分线的总长=； 图（2），有2条等分线，等分线的总长=a；
图（3），有3条等分线，等分线的总长=a； …
图（4），有9条等分线，等分线的总长=a=a． 故答案为a．

3．考点：三角形中位线定理。
分析：作CF中点G，连接DG，由于D、G是BC、CF中点，所以DG是△CBF的中位线，在△ADG中利用三角形中位线定理可求AF=FG，同理在△CBF中，也有CG=FG，那么有AF=CF．
解答：解：作CF的中点G，连接DG，则FG=GC
又∵BD=DC∴DG∥BF
∵AE=ED∴AF=FG ∴=． 故答案为．

4．考点：三角形中位线定理。
分析：根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周
长就等于原三角形周长的一半．
解答：解：∵点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE，EF，DF分别是原三角形三边的一半，
∴ DEF与△ABC的周长之比=1：2． 故答案为1：2．

5．一个任意三角形的三边长分别是6cm，8 cm，12cm，它的三条中位线把它分成三个平行四边形，则它们中周长最小是　14　cm．
考点：三角形中位线定理。
分析：周长最小的应该是中位线与最短边围成的平行四边形．
解答：解：如图：AB=6cm，AC=8cm，BC=12cm，D，F，E分别为三角形各边中点．
三条中位线把它分成三个平行四边形，则它们中周长最小的应该是中位线与最短边围成的平行四边形即▱ADEF．
AD=EF=3cm，DE=AF=4cm，其周长为2×3+2×4=14（cm）
故答案为14．

6.考点：三角形中位线定理。
分析：易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
解答：解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=×4=2，
同理S△BDE=S△CDE=S△BCE=×2=1，
∴S△BCE=2，
∵F为EC中点，
∴S△BEF=S△BCE=×2=1．
故答案为1．

7．考点：三角形中位线定理。
专题：整体思想。
分析：根据题意，易得MN=DE，从而证得△MNO≌△EDO，再进一步求△ODE的高，进一步求出阴影部分的面积．
解答：解：连接MN，作AF⊥BC于F．
∵AB=AC，∴BF=CF=BC=×8=4，
在Rt△ABF中，AF==，
∵M、N分别是AB，AC的中点，
∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN=8÷2=4，
∴NM=DE，
∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，∴阴影三角形的高是1.5÷2=0.75，∴S阴影=4×0.75÷2=1.5．

8．考点：三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）。
专题：操作型。
分析：由翻折可得∠PDE=∠CDE，由中位线定理得DE∥AB，所以∠CDE=∠DAP，进一步可得∠APD=∠CDE．
解答：解：∵△PED是△CED翻折变换来的，
∴△PED≌△CED，
∴∠CDE=∠EDP=48°，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠APD=∠CDE=48°，
点评：本题考查三角形中位线定理的位置关系，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等．

9．考点：三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）。
分析：根据折叠图形的对称性，易得△EDF≌△EAF，运用中位线定理可知△AEF的周长等于△ABC周长的一半，进而△DEF的周长可求解．
解答：解：∵△EDF是△EAF折叠以后形成的图形，
∴△EDF≌△EAF， ∴∠AEF=∠DEF，
∵AD是BC边上的高， ∴EF∥CB，
又∵∠AEF=∠B， ∴∠BDE=∠DEF，
∴∠B=∠BDE，∴BE=DE，
同理，DF=CF，
∴EF为△ABC的中位线，
∴△DEF的周长为△EAF的周长，即AE+EF+AF=（AB+BC+AC）=（12+10+9）=15.5．

10．考点：三角形中位线定理。
专题：规律型。
分析：根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解．
解答：解：根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半，那么第二个三角形的周长=△ABC的周长×=1×=，
第三个三角形的周长为=△ABC的周长××=（）2，第10个三角形的周长=（）9

11．考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质。
分析：利用平移性质可得图形ABCDEFG外围的周长等于等边三角形△ABC的周长加上AE，GF长，利用三角形中位线长定理可得其余未知线段的长．
解答：解：∵△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，AB=AC=BC=4
∴DE=CD=AC=×4=2，EF=GF=AG=DE=×2=1
∴图形ABCDEFG外围的周长是AB+CD+BC+DE+EF+GF+AG=4+2+4+2+1+1+1=15

12．考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质。
分析：根据等边三角形的中位线所围成的三角形仍是等边三角形可求得中位线的长为2，则等边三
角形的边长为4．
解答：解：∵等边三角形的中位线所围成的三角形的周长为6，
∴中位线的长为2，∴等边三角形的边长为4．

13．考点：三角形中位线定理。
分析：三角形的高和梯形的高相等，那么面积之比等于的三角形的底边和梯形上下
底边之和的比．
解答：解：∵在△ABC中，DE为中位线，∴BC=2DE，设高为h．
∴S△ADE=DE•h=DE•h；S梯形BCED=（DE+BC）•h=DE•h，
∴S△ADE：S梯形BCED=，
14．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线。
分析：先根据三角形中位线定理求出AC的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半解答．
解答：解：∵D、F是BC、AB的中点，
∴AC=2FD=2×8=16cm，
∵E是AC的中点，AH⊥BC于点H，
∴EH=AC=8cm．

15．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的性质。
分析：由D、E是AC、AB中点，可知DE是△ABC的中位线，那么DE∥AB，即∠1=∠3，又AD=DE，又可得∠2=∠3，那么可知①②是正确的，有D是AC中点，AD=DE，可证CD=DE，再利用DE∥AB，可得出∠B=∠C．在Rt△AEC中，∠2不一定等于∠C，所以④不正确．
解答：解：由题意可证明△ADE、△DEC、△ABC都是等腰三角形，△AEC是直角三角形，则结论正确的是①②③． 故选D．

16.解：由题意可得，DC=5cm，
∵平行四边形ABCD，∴∠BAE=∠DEA，
又∵AE为∠DAB的角平分线，∴∠DAE=∠DEA，
∴△ADE是等腰三角形，AD=DE，
∴当DE=2cm时，该平行四边形的周长是10+4=14cm；
当DE=3cm时，该平行四边形的周长是10+6=16cm．

17．考点：平行四边形的性质。
分析：如图：根据题意可以作出两种不同的图形，所以答案有两种情况．因为在▱ABCD中，AD=2，AE平分∠DAB交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，所以DE=AD=CF=BC=2；则求得▱ABCD的周长．
解答：解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，BC=AD=2，AB=CD，
∴∠EAB=∠AED，∠ABF=∠BFC，
∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，∴∠DAE=∠BAE，∠CBF=∠ABF，
∴∠AED=∠DAE，∠BFC=∠CBF，
∴AD=DE，BC=FC， ∴DE=CF=AD=2，
由图①得：CD=DE+CF﹣EF=2+2﹣1=3，
∴▱ABCD的周长为10；
由图②得：CD=DE+CF+EF=2+2+1=5，
∴▱ABCD的周长为14．
∴▱ABCD的周长为10或14．
故答案为10或14．

18．考点：平行四边形的性质。
分析：利用平行四边形的性质，根据三角形的面积和平行四边形的面积逐个进行判断，即可求解．
解答：解：A、因为高相等，三个底是平行四边形的底，根据三角形和平行四边形的面积可知，阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；
B、因为两阴影部分的底与平行四边形的底相等，高之和正好等于平行四边形的高，所以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；
C、根据平行四边形的对称性，可知小阴影部分的面积等于小空白部分的面积，所以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；
D、无法判断阴影部分面积是否等于平行四边形面积一半，错误．
故选D．
点评：本题考查了平行四边形的性质，并利用性质结合三角形的面积公式进行判断，找出选项．

19．
考点：平行四边形的性质。
专题：动点型。
分析：根据平行四边形的性质，得△ABD≌△BCD，△BEP≌△BHP，△PGD≌△PFD，所以得其面积分别相等，从而得面积相等的平行四边形有3对．
解答：解：面积始终相等的平行四边形有：平行四边形AEPG和平行四边形PHCF；平行四边形ABHG和平行四边形BEFC；平行四边形AEFD和平行四边形GHCD．共3对．
故选C．

20．考点：平行四边形的性质。
分析：可先求平行四边形的总面积，因为AE=EF=FC，所以三个小三角形的面积相等，进而可求解．
解答：解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，
∵AD=6，∠DAB=30°，∴DG=3，
∴平行四边形ABCD的面积为S=AB•DG=8×3=24，
∴△ABC的面积为S=×24=12
∴△BEF的面积S=×12=4

21．
考点：平行四边形的性质。
专题：规律型。
分析：从图中这三个图形中找出规律，可以先找出这三个图形中平行四边形的个数，分析三个数字之间的关系．从而求出第n个图中平行四边形的个数．
解答：解：从图中我们发现
（1）中有6个平行四边形，（2）中有18个平行四边形， （3）中有36个平行四边形，∴第n个中有3n（n+1）个平行四边形．
故选B．

22．考点：平行四边形的性质。
专题：应用题。
分析：由于在平行四边形中，已给出条件MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，因此，MN、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，所以红、紫四边形的高相等，由此可证明S1S4=S2S3．
解答：解：设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2，
则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，
因为DE=AF，EC=FB，所以A不对；
S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2， S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，
所以B不对；
S1S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2， S2S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，
所以S1S4=S2S3，
故选C．

23．
考点：平行四边形的性质。
分析：四边形具有不稳定性、外角和等于360°、内角和等于360°，不具有的是对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
解答：解：A、一般四边形都具有不稳定性，不仅仅是平行四边形具有，错误；
B、对角线互相平分，是平行四边形的一种判定方法，一般四边形不具有，正确；
C、任意四边形的外角和等于360°，不仅仅是平行四边形具有，错误；
D、任意四边形的内角和等于360°，不仅仅是平行四边形具有，错误．
故选B．

24．
考点：平行四边形的性质。
分析：根据平行四边形的性质可知△ABC的面积是平行四边形面积的一半，再进一步确定△BER和△ABC的面积关系即可．
解答：解：∵S▱ABCD=12 ∴S△ABC=S▱ABCD=6，
∴S△ABC=×AC×高=×3EF×高=6，得到：×EF×高=2，∵△BEF的面积=×EF×高=2．∴△BEF的面积为2．

25．考点：垂线；多边形内角与外角。
专题：分类讨论。
分析：分∠2在∠1的内部和外部两种情况讨论，①当∠2在1内部时，利用四边形的内角和定理求解即可；②当∠2在∠1的外部时，根据等角的余角相等的性质∠2=∠1．
解答：解：如图，因为∠1与∠2的位置不明确，所以分∠2在∠1的内部和外部两种情况讨论：
（1）如图一，当∠2在1内部时，
∠2=360°﹣∠1﹣90°﹣90°=360°﹣48°﹣90°﹣90°=132°；
（2）如图二，当∠2在∠1的外部时，
∵∠3=∠4，∠1与∠2的两边互相垂直，
∴∠2=∠1=48°．
因此∠2的度数为48°或132°．
点评：本题主要考查垂直得到90°角，本题注意分两种情况讨论，学生往往容易漏掉∠2在∠1外部的情况而导致出错．

26．
考点：多边形。
分析：一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．
解答：解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，
则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．
故选A．
点评：剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．

27.考点：平面镶嵌（密铺）。
分析：分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
解答：解：正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴正三角形可以；
正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，正方形的每个内角是90°，108m+90n=360°显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120度．90m+120n=360°，m=4﹣43n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，∵90°+2×135°=360°，∴正八边形可以．
故答案为正三角形或正八边形
．
28．考点：等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角。
专题：计算题。
分析：先延长其中三边构造等边三角形，利用等边三角形的性质解题即可．
解答：解：如图所示，∵六个内角都是120°，
∴三角形的每个内角都是60°，即△CDE，△BFG，△AHI，△ABC都为等边三角形，
∴CE=2，BF=3，∴BC=2+4+3=9，∴AH=AB﹣GH﹣BG=9﹣1﹣3=5，
∴DI=AC﹣AI﹣CD=9﹣5﹣2=2，HI=AH=5，
∴该六边形的周长是：1+3+4+2+2+5=17．
故答案为17．

29．考点：三角形中位线定理。
分析：此三角形的三条中位线等于原三角形三边的一半，表示出三条中位线，让其相加得9，即可求得最长的中位线，也就求出了最长的边长．
解答：解：设三角形三边分别为2x，3x，4x∴三角形的三条中位线围成的三角形的周长是++=9解得：x=2
∴原三角形的最长边是4×2=8．故答案为8．

30．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线。
分析：易知DE是△ABC的中位线，那么AB=2DE，而CF是△ABC斜边上的中线，应等于AB的一半．
解答：解：∵△ABC是直角三角形，CF是斜边的中线，
∴CF=AB，
又∵DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×3=6cm，
∴CF=×6=3cm．

31．考点：三角形中位线定理。
分析：先根据平行线的判定定理判定AB∥DE，再根据BD=CD判定DE是△ABC的中位线，进而根据三角形的中位线定理解答即可．
解答：解：∵∠B=∠CDE，∴AB∥DE，
∵D、E两点分别在BC、AC边上，BD=CD，∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∵DE=2，
∴AB=2DE=2×2=4．

32．（2009•太原）如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
考点：三角形中位线定理；三角形三边关系。
分析：本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于8，原三角形的周长大于10小于16，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于5而小于8，看哪个符合就可以了．
解答：解：设三角形的三边分别是a、b、c，令a=3，b=5，
∴2＜c＜8，∴10＜三角形的周长＜16，∴5＜中点三角形周长＜8．
故选D．

33．
考点：三角形中位线定理；勾股定理。
分析：由中位线定理易得BC长，那么利用勾股定理即可求得AB长．
解答：解：∵△ABC中，∠B=90°，D、E分别是边AB、AC的中点，
∴BC=2DE=2×4=8，
在Rt△ABC中，AC=10，BC=8，由勾股定理得AB===6．
故答案为6．

34．考点：三角形中位线定理。
专题：操作型。
分析：应先根据所给条件判断出△ABE的形状，得到∠BAE的度数，利用所给线段即可求得AE长．
解答：解：∵FG∥AD∴∠FB′A=∠B′AD
在直角三角形AB′E中，F是AE的中点，AF=B′F
∴∠FAB′=∠FB′A
∴∠FAB′=∠B′AD=∠BAE=30°
在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得AE=2．
故答案为2．
点评：主要是发现一个30°的直角三角形ABE，此题也是折叠等边三角形的一种方法：延长EB′交AD于M，则三角形AEM即是等边三角形．

35．考点：平行四边形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理。
分析：连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．
计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．
解答：解：连接AC交BD于G，AE交DF于H．
∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，
∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，
∴AE=BD，AC=FD，
∴EH=BG．
平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=24×18=432．

36．
考点：平行四边形的性质。
分析：设平行四边形的面积为1，则△DAM的面积=S△DAB=S▭ABCD，而由于==，所以△EMB上的高线与△DAB上的高线比为=，所以S△EMB=×S△DAB=，于是S△DEC=4S△MEB=，由此可以求出阴影面积，从而求出面积比为．
解答：解：设平行四边形的面积为1，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△DAB=S▭ABCD，
又∵M是▭ABCD的AB的中点，则S△DAM=S△DAB=，
而==，
∴△EMB上的高线与△DAB上的高线比为==，∴S△EMB=×S△DAB=，∴S△DEC=4S△MEB=，
S阴影面积=1﹣﹣﹣=， 则面积比为．故填空答案：．
另解：四边形面积为ah
三角形AMD、DMB、CBM面积均为，
则四边形MBCD面积为，由此即可求解．

37．考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。
分析：根据三角形全等的判定，由已知条件可证①△ABE≌△CDF；继而证得②AG=GH=HC；又根据三角形的中位线定理可证△ABG≌△DCH，得③EG=BG．而④S△ABE=S△AGE不正确．故正确的结论有3个．
解答：解：在▱ABCD中，AB=CD，∠BAE=∠DCF，BC=DA；
E、F分别是边AD、BC的中点， ∴AE=CF，∴①△ABE≌△CDF；
BF∥DE，BF=ED⇒四边形BFDE是平行四边形⇒BE∥DF，
又AE=ED⇒AG=GH，同理CH=HG，∴②AG=GH=HC；
根据三角形的中位线定理，EG=DH，
容易证明△ABG≌△DCH⇒BG=DH，∴③EG=BG； ④S△ABE=S△AGE不正确． 故选C．
点评：本题考查了平行四边形的性质，平行线等分线段定理与全等三角形的判定，中等难度．

38．如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=GE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S2，S3，若S1+S3=20，则S2等于（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
考点：等边三角形的性质；平行四边形的性质。
专题：规律型。
分析：首先要弄清的是S1与S△OFC（即a）、S3与S△GNE（即b）的关系；以前者为例，若设△OFC中，OC边上的高为h，则a=OC•h，而S1=OA•h；由于BF=FC，且△BMF、△FOC都是等边三角形，故OA=BF=FC=OC，由此发现S1=2a，同理S3=2b；由于△OFC和△GNE都是等边三角形，所以它们都相似，且相似比为1：2（因为BC=GE=2FC），故b=4a，a+b=5a=（S1+S3）=10，由此可得a=2，b=4；然后按照上面的方法证S2与S△PCG（即b）的关系，从而得到S2的面积．
解答：解：如图；（a、b分别表示△OFC、△GNE的面积）
∵F、G分别是BC、CE的中点，
∴△BMF、△OFC以及△CPG、△GNE都是全等的等边三角形；
∴S△CPG=b；
设M到AC的距离为h，则S1=OA•h，a=OC•h；
∵OA=MF=OC，∴S1=2a，同理可得S3=2b；
易知△OFC∽△NGE，则a：b=FC2：GE2=1：4，即b=4a；
∵a+b=（S1+S3）=10，故a=2，b=8；
∴S△PCG=b=8；
梯形COHG中，PH=OC=FC=CG=PG，同上可证得S2=S△CPG；
所以S2=b=8，故选B．