6数列的概念与简单表示法.doc

【2012高考数学理科苏教版课时精品练】第5章第一节　数列的概念与简单表示法
1．(2011年南通期末检测)已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n(n∈N*)，则a9＋a10的值为________．
解析：由a1＝1，anan＋1＝2n得a2＝2，an＋1an＋2＝2n＋1，从而有＝＝2，所以a1，a3，a5，a7，a9是以1为首项，2为公比的等比数列，故a9＝16；a2，a4，a6，a8，a10是以2为首项，2为公比的等比数列，故a10＝32，所以a9＋a10＝48.
答案：48
2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是________．
解析：由an＋1＞an得
(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，
∴k＞－(2n＋1)，∴k＞－3.
答案：k＞－3
3．已知an＝(n∈N*)，则数列{an}的最大项是________．
解析：an＝＝，
由函数f(x)＝x＋的单调性可知f(x)在(0，)为减函数，故(，＋∞)为增函数，∴f(x)在x＝处取最小值，因为n∈N*，
∴当n＝12时，n＋＝25，当n＝13时，n＋＝25，
∴(n＋)min＝25.∴(an)max＝a12和a13.
答案：第12和13项
4．(2011年南通调研)已知{an}的前n项和为Sn，满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.
解析：∵log2(Sn＋1)＝n＋1，∴Sn＋1＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1.当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－(2n－1)＝2n.∴an＝　.
答案：an＝　
5．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2009＝________；a2012＝________.
解析：a2009＝a503×4－3＝1，a2012＝a1006×2＝a1006＝a503＝a126×4－1＝0.
答案：1　0
6．(2011年苏州质检)已知数列{an}满足a1＝1，＝＋1，则a10＝________.
解析：由＝＋1，得－＝1，又＝，故数列{}是首项为，公差为1的等差数列，故＝＋(10－1)×1，得a10＝－.
答案：－
7．(2010年高考辽宁卷)已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
解析：在an＋1－an＝2n中，令n＝1，得a2－a1＝2；令n＝2得，a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)．
把上面n－1个式子相加， 得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝＝n2－n，∴an＝n2－n＋33.∴＝＝n＋－1≥2－1，当且仅当n＝，即n＝时取等号，而n∈N*，∴“＝”取不到．∵5<<6，∴当n＝5时，＝5－1＋＝，当n＝6时，＝6－1＋＝＝，∵>，∴的最小值是.
答案：
8．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则连乘积a1a2a3…a2011a2012的值为________．
解析：∵a1＝2，an＋1＝，
∴a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，
∴数列{an}的周期为4，且a1a2a3a4＝1，
∴a1a2a3a4…a2011a2012＝1.
答案：1
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝1，S2＝2，且Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*且n≥2)，求该数列的通项公式．
解：∵Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0，
∴Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，
∴an＋1＝2an，
即{an}从第2项起构成等比数列．
∵S1＝1，S2＝2，∴a2＝1，
∴an＝，即an＝.
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)．
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)当n＝2时，a2＝a1＋3×2－2＝5，
当n＝3时，a3＝a2＋3×3－2＝12.
(2)∵an＝an－1＋3n－2，
∴an－an－1＝3n－2，
∴a2－a1＝3×2－2，
a3－a2＝3×3－2，
a4－a3＝3×4－2，
⋮
an－an－1＝3n－2.
以上各式累加可得an－a1＝3×(2＋3＋4＋…＋n)－2(n－1)
∴an＝a1＋3×－2(n－1)＝.
11．(探究选做)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.
(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式；
(2)求n为何值时an最小．
解：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6得，
(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6.
bn＋1－bn＝2n－6.
当n≥2时，bn－bn－1＝2(n－1)－6，
bn－1－bn－2＝2(n－2)－6，
⋮
b3－b2＝2×2－6，
b2－b1＝2×1－6，
累加得，
bn－b1＝2(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1)
＝n(n－1)－6n＋6
＝n2－7n＋6.
又b1＝a2－a1＝－14，
∴bn＝n2－7n－8(n≥2)，
n＝1时，b1也适合此式，
故bn＝n2－7n－8.
(2)由bn＝(n－8)(n＋1)得，
an＋1－an＝(n－8)(n＋1)，
∴当n<8时，an＋1<an.
当n＝8时，a9＝a8.
当n>8时，an＋1>an.
∴当n＝8或n＝9时，an的值最小．