断裂力学讲义.doc

_目录第一章 绪论21.1 断裂力学的概念21.2 断裂力学的基本组成2第二章 线弹性断裂力学概述42.1 裂纹及其对强度的影响42.2 断裂理论6第三章 裂纹尖端区域的应力场及应力强度因子133.1 型裂纹尖端区域的应力场与位移场133.2 型裂纹尖端区域的应力场与位移场183.3 型裂纹尖端区域的应力场与位移场203.4应力强度因子的确定22第一章 绪论1.1 断裂力学的概念任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。一提到断裂，人们自然而然地就会联想到各种工程断裂事故。在断裂力学产生之前，人们根据强度条件来设计构件，其基本思想就是保证构件的工作应力不超过材料的许用应力，即安全设计安全设计对确保构件安全工作也确实起到了重大的作用，至今也仍然是必不可少的。但是人们在长期的生产实践中，逐步认识到，在某些情况下，根据强度条件设计出的构件并不安全，断裂事故仍然不断发生，特别是高强度材料构件，焊接结构，处在低温或腐蚀环境中的结构等，断裂事故就更加频繁。例如，19431947年二次世界大战期间，美国的5000余艘焊接船竟然连续发生了一千多起断裂事故，其中238艘完全毁坏。1949年美国东俄亥俄州煤气公司的圆柱形液态天然气罐爆炸使周围很大一片街市变成了废墟。五十年代初，美国北极星导弹固体燃料发动机壳体在试验时发生爆炸。这些接连不断的工程断裂事故终于引起了人们的高度警觉。特别值得注意的是，有些断裂事故竟然发生在的条件下，用传统的安全设计观点是无法解释的。于是人们认识到了传统的设计思想是有缺欠的，并且开始寻求更合理的设计途径。人们从大量的断裂事故分析中发现，断裂都是起源于构件中有缺陷的地方。传统的设计思想把材料视为无缺陷的均匀连续体，而实际构件中总是存在着各种不同形式的缺陷。因此实际材料的强度大大低于理论模型的强度。断裂力学恰恰是为了弥补传统设计思想这一严重的缺陷而产生的。因此，给断裂力学下的定义就是断裂力学是研究有裂纹（缺陷）构件断裂强度的一门学科。或者说是研究含裂纹构件裂纹的平衡、扩展和失稳规律，以保证构件安全工作的一门科学。断裂力学在航空、机械、化工、造船、交通和军工等领域里都有广泛的应用前景。它能解决抗断设计、合理选材、制定适当的热处理制度和加工工艺、预测构件的疲劳寿命、制定合理的质量验收标准和检修制度以及防止断裂事故等多方面的问题，因此是一门具有高度实用价值的学科。希望大家努力把这门课学好。1.2 断裂力学的基本组成由于研究的观点和出发点不同，断裂力学分为断裂力学微观断裂力学研究原子位错等等比晶粒尺寸还小的微观结构的断裂过程，根据对这些过程的了解，建立起支配裂纹扩展和断裂的判据。宏观断裂力学在不涉及材料内部的断裂机理的条件下，通过连续介质力学分析和试件的实验做出断裂强度的估算与控制。其中，线弹性断裂力学研究的对象是线弹性裂纹固体，认为裂纹体内各点的应力和应变的关系都是线性的，遵守Hook定律（）。适用于塑性区的尺寸远小于裂纹的尺寸的情况。弹塑性断裂力学则采用弹塑性力学的分析方法来分析裂纹固体，适用于裂纹尖端塑性区的尺寸接近或大于裂纹尺寸的情况。人们对宏观断裂力学的研究已经取得了巨大的进展，而对于微观断裂力学的研究还处于起始阶段。限于学时，我们主要介绍宏观断裂力学的基本原理及其在工程中的应用。事实上，在金属材料中，严格的线弹性断裂问题几乎不存在，因为裂纹的扩展总是伴随有裂纹尖端的塑性变形。但理论和实验都证明，只要塑性区的尺寸远小于裂纹的尺寸，则经过适当的修正，用线弹性理论分析不至于产生太大的误差。对于低韧性高强度钢，对于大断面尺寸的构件以及低温条件下工作的构件，往往在断裂前裂尖塑性区的尺寸是很小的，因此可用线弹性断裂理论进行分析。线弹性断裂力学采用弹性力学的方法进行分析，理论比较严谨，也比较成熟，是断裂力学的基础。而对于一般情况下的中低强度钢构件，在裂纹扩展前或扩展过程中，裂纹尖端塑性区的尺寸往往接近甚至大于裂纹尺寸，这时再用线弹性断裂理论来分析裂纹的行为就会导致太大的误差，因此需采用弹塑性力学的分析方法，这就是弹塑性断裂力学。尽管弹塑性断裂力学在工程应用中具有更重大的意义，但是由于用弹塑性断裂力学分析方法处理具体问题时存在较大的数学上的困难，因此这一领域的研究远不如线弹性断裂力学那样充分。第二章 线弹性断裂力学概述2.1 裂纹及其对强度的影响一、裂纹的概念实际构件中的缺陷是多种多样的，主要包括缺陷 统称为裂纹。二、裂纹的分类1基本型裂纹按几何特征分为：（a）穿透裂纹：贯穿构件厚度（或深度延伸到构件厚度的一半以上）。常处理成理想尖裂纹（即裂尖曲率半径0）。（b）表面裂纹：位于构件表面，或其深度1，可得因为这个式子就是破坏时得到的，因此，由这个式子得到的就是裂尖处首先达到破坏时该板两端对应的临界拉应力，记为，就是说 （23）c的物理意义是，当该板两端承受的均匀单向拉应力达到由（23）式表示的c时，裂纹尖端处首先发生破坏。分析一下（23）式的合理性。按照（23），当裂纹为理想尖裂纹时，这就是说，固体材料一旦有了理想尖裂纹，其临界拉应力就等于零，此时板两端只要有拉应力作用，就一定有，材料就一定会发生破坏，换句话说，就是固体材料一旦有了理想尖裂纹，它就不再具有强度了，一受力就会破坏，这个结论显然与事实不符。这种矛盾是由弹性理论的局限性造成的。弹性理论把材料看成是无间隔的连续介质（），而连续介质力学则把材料看成是由无数原子或分子组成的，各原子或分子之间都有一定的间隔，因此裂纹的曲率半径最小也就是等于原子间距，不可能等于零（）。因此当固体材料中的裂纹为尖裂纹时，（23）式中的应取b0，由此得 （24）也就是说，当b0时，板两端对应的临界拉应力由（23）式确定；当b0时，板两端对应的临界拉应力由（24）式确定。比较一下有裂纹和无裂纹时临界应力相差多大。无裂纹时，各点应力均匀分布，因此外界作用的拉应力增大时，各点的拉应力始终相等，当各点的拉应力同时都增大到时，各点同时发生破坏。因此无裂纹时，临界应力t由（22）式得到；而有裂纹时临界应力c由（24）式得到。如果取宏观裂纹的尺寸为，则两者之比为的量级为，因此2a=。而2a则表示裂纹的长度，这就是说，只要薄板上有一个长为的理想尖裂纹，其临界应力就会降低100倍。由此可见：裂纹将会引起强烈的应力集中，从而使材料的临界应力远远低于其理论断裂强度。由（24）式还可以看出，当达到时，裂尖处发生破坏，从而使裂纹进一步扩展，裂纹长度随之增大，而a的增大又使进一步降低，从而使裂纹进一步扩展，最终导致整个构件断裂。因此（24）式是裂纹失稳扩展的条件，称为断裂判据。各种不同的断裂判据构成了不同的断裂理论。2.2 断裂理论各种不同的断裂理论都有不同的断裂判据，适用于不同的材料和工况。断裂理论主要有两大类，一类是能量释放率断裂理论，另一类是应力强度因子断裂理论。一、能量释放率断裂理论这类理论都是从能量转换与守恒的角度出发，导出相应的断裂判据。最主要的有Griffith理论，Orowan理论和能量释放率断裂理论。下面分别加以简要介绍。1Griffith理论该理论是英国学者Griffith在对玻璃、陶瓷等脆性材料进行断裂分析时提出的。他用这种理论成功地解释了为什么这类材料的实际断裂强度比预期的理论断裂强度低得多的问题。 （a） （b）图14 Griffith薄平板以长为l，宽为b，厚度为t的薄平板为研究对象，在其上、下端作用均布载荷，系统处于平衡状态后，把上、下端固定，形成能量封闭系统。设此时板内的总应变能为，然后在板正中沿垂直于的方向开一个长为2a的贯穿裂纹，并满足2ab，l，因此可以视为“无限大板”。开裂后在裂纹处形成了上、下两个自由表面，而且这两个自由表面发生了相对的张开位移，在开裂过程中，作用在这两个表面之间的拉应力与这两个表面的位移方向始终相反，因此做负功，从而使板内的应变能减少了U（就是说，开裂后板内的应变能为U）。Griffith经推导得出，当椭圆孔的短轴尺寸b0时，板内应变能的减少量为其中，A=2at，为裂纹的单侧自由表面的面积。上、下自由表面的面积之和为2A。自由表面有表面能，设自由表面的表面能密度为，则总表面能为T=2A为研究裂纹以后的发展趋势，需要利用势能极值原理，因此首先应算出开裂后系统的总势能P。在此问题中，系统的总势能由板内应变能和自由表面的表面能两部分组成系统的总势能=板内应变能+自由表面的表面能开裂前系统无自由表面的表面能，因此其总势能就等于其板内的应变能，开裂后板内的应变能减少了U，因此其板内的应变能为，而其自由表面的表面能为T，因此开裂后系统的总势能为+T，以开裂前系统的初始状态为势能零点，则开裂后系统的总势能P为P =（+T）=U+T=根据势能驻值原理，当P取极大值时，系统处于不稳定平衡状态，所谓不稳定平衡，是指系统稍稍偏离了这一平衡状态后，没有自动回复到这一平衡状态的趋势。只有当P取极小值时，系统才处于稳定平衡状态。所谓稳定平衡，是指系统稍稍偏离了这一平衡状态后，有自动回复到这一平衡状态的趋势。由高数知识可知，总势能P取极大值的条件为将P代入上面的两个式子，可得、E、A和都大于0，总是成立的。而则有三种可能：大于零、等于零或小于零。，由势能驻值原理可知，当系统的势能取极小时，系统最稳定。因此，如果某种变化能使系统的势能变小，这种变化就能继续发展下去，直至势能取极小为止；反之，如果某种变化能使系统的势能增大，这种变化就不能继续发展下去，此时系统处于静止状态。据此可知，当0时，随着裂纹面积的增大，系统的总势能增大，因此此时系统处于静止状态，裂纹不扩展；当=0时，总势能P取极大值，裂纹处于不稳定平衡状态。即 断裂判据（26）下面我们分析一下上式的物理意义。裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能；形成单位面积的贯穿裂纹时所需的表面能；因此上式的物理意义是：当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能恰好等于形成单位自由表面时所需的表面能时，系统处于不稳定平衡状态；当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能大于形成单位自由表面时所需的表面能时，系统失稳，裂纹不断扩展，直至断裂；当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能小于形成单位自由表面时所需的表面能时，系统处于静止状态，裂纹不扩展。所以（26）式的第一式是从能量的角度得出的断裂判据。给定裂纹长度a，由（26）式的第一式可得，此时对应的临界应力为，给定板两端的应力，由（26）式的第一式可得，此时对应的裂纹临界尺寸为，将（26）式的第一式与这两个式子写在一起，就得到了Griffith断裂判据 （27）下面对Griffith断裂判据作几点说明（1）Griffith断裂判据的物理意义第一式表示：当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能恰好等于形成单位自由表面时所需的表面能时，裂纹处于不稳定平衡状态；当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能大于形成单位自由表面时所需的表面能时，裂纹失稳扩展而断裂；当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能小于形成单位自由表面时所需的表面能时，裂纹处于静止状态，不扩展。第二式表示：当裂纹长度a给定时，如果板两端的应力，裂纹就会失稳扩展而断裂；如果，裂纹处于静止状态，不会扩展；如果=，裂纹处于不稳定平衡状态。第三式表示：当板两端的应力给定时，如果裂纹长度aac，裂纹将处于静止状态，不会发展；如果aac，裂纹就会失稳扩展而断裂；如果a=ac，裂纹处于不稳定平衡状态。（2）这几个公式是由薄板导出的，对应平面应力状态，在公式中用代替E，就得到平面应变状态下的Griffith断裂判据。（3）该理论仅适用于完全脆性材料Griffith判据（27）式中的临界应力是在理想尖裂纹的前提下推导出来的，而（24）式表示的是时的临界应力，因此两者表示的是同一个量。在一定的范围内这两个公式算得的临界应力应该是相等的。此时应有因此，当裂纹尖端的曲率半径满足 （28）时，（24）式和（27）式算得的临界应力近似相等，此时用Griffith理论算得的临界应力是比较准确的；当裂纹尖端的曲率半径超出这个范围时，用（24）式算得的临界应力较准确，因为前面讲过，当时，用（24）算临界应力就是比较准确的，而此时用（27）式算得的临界应力与用（24）式算得的临界应力差得较大，此时Griffith理论已失效。因此，把满足（28）式的裂纹称为Griffith裂纹。Griffith理论仅适用于完全脆性材料，而实际上绝大多数金属材料断裂前和断裂过程中裂尖处存在塑性区域，裂尖也会因塑性变形而钝化，此时Griffith理论失效，因此Griffith理论的适用范围是很窄的。为了克服Griffith理论的局限性，Orowan对Griffith理论进行了修正，提出了Orowan理论2Orowan理论Orowan在研究金属材料裂纹扩展过程时，提出了“塑性区”的概念，认为裂纹扩展前在其尖端附近要产生下一个塑性区，因此裂纹扩展时，不仅需要为其提供形成新表面所需的表面能，而且需要为其提供塑性变形所需的能量，也就是塑性功。因此，塑性功有阻止裂纹扩展的作用。还是以刚才那块开裂纹的薄板为研究对象，设裂纹扩展单位面积时，内力对塑性变形所做的塑性功为，叫塑性功率，于是裂纹面积为A时的总塑性功为=2A仍以开裂前系统的势能为势能零点，则开裂后系统的势能为P =U+T+对于金属材料，通常比大三个数量级，因此上面的三个式子变成了 Orowan断裂判据 （29）第一式表明：当,即裂纹扩展单位面积释放的应变能恰好等于内力对塑性变形所做的塑性功时，裂纹处于不稳定平衡状态；当时，裂纹就会失稳扩展而断裂；当时，裂纹就不会扩展（处于静止状态）。第二式表明：当裂纹长度a给定时，如果板两端的应力=，则裂纹将处于不稳定平衡状态；如果 ，裂纹就会失稳扩展而断裂；如果，裂纹就不会扩展（处于静止状态）。第三式表明，当板两端的应力给定时，如果裂纹长度a=，则裂纹将处于不稳定平衡状态；如果 a，裂纹就会失稳扩展而断裂；如果a，裂纹就不会扩展（处于静止状态）。以上三个断裂判据是等效的。几点说明：1Orowan理论是Griffith理论的修正。可用于金属；2这几个公式是由薄板导出的，对应平面应力状态，在公式中用代替E，就得到平面应变状态下的Orowan断裂判据。下面我们从更广义的功能转换关系出发，来研究裂纹扩展过程。由此可以得到3能量释放率断裂判据设一个裂纹的面积为A，在裂纹面积扩展了dA的过程中，载荷所做的功为dW，体系的弹性应变能增加了dU，塑性功增加了d，裂纹表面能增加了dT。dU、d和dT都属于系统的内能，第一项是弹性应变能，属于保守内能，后两项属于耗散内能。假定这个过程是准静态绝热过程，也就是说不考虑热功转换，则根据能量转换与守恒定律，体系内能的增加应等于外力功，因此有dU+d+dT = dW其中，dU+d是裂纹面积扩展dA需要消耗的能量，也就是阻止裂纹扩展的能量。因此要使裂纹扩展，系统必须提供能量。设裂纹面积扩展dA时弹性系统释放出的能量为d，这部分能量转化为体系的耗散内能增量。因此，外力做功dW可以转化为两部分；一部分是体系的弹性应变能增量dU，另一部分是体系的耗散内能增量-d，因此有耗散内能增量+弹性应变能增量=外力功即d+dU = dW 由此得 d= dWdU （210）定义裂纹扩展单位面积时弹性系统释放的能量叫裂纹扩展能量释放率，记为G，由（210）式得 （211）定义裂纹扩展单位面积时需要消耗的能量为裂纹扩展阻力率，记为R或，裂纹扩展dA时需要消耗的能量为其表面能增量dT和塑性功增量d之和，因此，裂纹扩展单位面积时需要消耗的能量为对于一定的材料而言，裂纹扩展单位面积需要消耗的塑性功和表面能都是材料常数，仅与材料本身的性质有关，而与外载情况和裂纹几何形状无关。因此，R或也仅与材料本身的性质有关，而与外载情况和裂纹几何形状无关。是一个反映材料抵抗断裂破坏能力的常数，称为材料的断裂韧度，可以由材料实验来测定。当裂纹扩展能量释放率增大到等于裂纹扩展阻力率时，裂纹将失去平衡，开始失稳扩展。由此得 能量释放率断裂判据（212）G和的国际单位为，其工程单位为。二、应力强度因子断裂理论构件的断裂起源于裂纹，而裂纹在外界因素作用下处于静止或平衡或发展，都与裂纹尖端附近的应力场有直接关系。Irwin通过裂纹尖端附近应力场的研究，提出了一个新的参量应力强度因子，并建立了相应的应力强度因子断裂判据，这一判据在工程上得到了广泛的应用。那么，应力强度因子断裂判据是怎样建立的呢？我们研究局限于裂纹尖端附近区域的应力场和位移场。坐标原点取在裂纹尖端，r、为极坐标。运用线弹性理论和复变函数理论可以求得裂纹尖端附近任意一点A（r，）处的应力分量和位移分量为图15 裂尖附近应力场 型裂纹： （213） （214）型裂纹： （215） （216）型裂纹： （217） （218）其中，K 、K 和K 分别叫、型裂纹的应力强度因子。它们反映了、型裂纹尖端应力场的强弱程度。是与外载性质、裂纹及裂纹弹性体几何形状等因素有关的一个量。写成通式就是： 式中的、和分别是、型裂纹的几何形状因子，为拉应力，和分别为面内剪应力和面外剪应力。相应的应力强度因子断裂判据为 （219） （220） （221）其中的分别是K 、K 和K 的临界值，它是材料常数，称为材料的断裂韧度，通过实验测定。这就象材料力学中，应力是构件载荷和构件的形状尺寸的函数，而屈服极限是由实验测定的材料常数一样。第三章 裂纹尖端区域的应力场及应力强度因子裂纹所处的状态可分为三种：静止状态、不稳定平衡状态和失稳扩展状态。裂纹究竟处于哪种状态，与裂纹尖端附近的应力场有直接关系。Irwin（爱尔文）通过对裂纹尖端附近应力场的研究，提出了一个新的参量应力强度因子，并建立了相应的断裂判据，在工程上得到了广泛的应用。下面用复变函数的方法推导裂纹尖端附近的应力场与位移场，由此导出应力强度因子的概念。3.1 型裂纹尖端区域的应力场与位移场1Westergaard（韦斯特哥德）应力函数Westergaard应力函数是用来求解型裂纹尖端附近区域的应力场与位移场的。根据弹性力学理论，对于平面应力问题，只需找出同时满足双调合方程和这个问题的边界条件的应力函数，就可以把应力函数代入下面的公式求解应力 （31）满足调和方程的函数叫调和函数。其中，称为拉普拉斯算子。满足双调和方程的函数叫双调和函数。显然，调和函数必然是双调和函数。应力函数确定后，先利用（21）求出各应力分量，然后将各应力分量代入广义虎克定律，可求得裂尖附近的应变分量 （32）其中，E为杨氏模量，为泊松比。将应变分量代入下面的几何方程后积分，就可以得到裂尖附近的位移场 （33）因此，问题的关键就是找出同时满足边界条件和双调和方程的应力函数。复变解析函数的实部和虚部都是调和函数，而调和函数的线性组合必然也是调和函数，因此也必然是双调和函数。因此可以利用复变解析函数的实部和虚部（不一定非得是同一个复变解析函数的实部和虚部）线性组合得到双调和函数，并使这个双调和函数满足所研究的问题的边界条件。就是我们要找的应力函数。而复变解析函数的任意次积分也必然是复变解析函数，因此，Westergaard选取了某一个复变解析函数的一次积分和二次积分的线性组合，作为应力函数，用来求解型裂纹尖端附近区域的应力场和位移场。研究如图31所示的“无限大”板，板上有一个长为2a的中心贯穿裂纹，这个板在无限远处受双向等值拉伸应力的作用。属于型裂纹问题，Westergaard所选的应力函数为图31 （34）其中，的一次积分；的二次积分。把（34）式代入（31）、（32）和（33）式。，dz=dx+idy， (35)同理，将上式中的换成，将换成，可得 （36）同理，将上式中的换成，将换成，可得 （37）因此有类似可得将以上各式代入（31），可得 （38）将（38）代入（32）式，可得 （39）将（39）代入（33）式，并积分，得 （310）因此，找到解析函数，就可以得到Westergaard应力函数，于是裂纹尖端处的应力场和位移场就可以由公式（38）和（310）求得。因此问题的关键是找一个具体的解析函数，代入（38）式，所得到的应力分量应能满足图31所示问题的全部边界条件2解析函数的确定将x坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则图31所示问题的边界条件为：（1）当y=0，x时，。（2）在y=0，的裂纹自由面上，；而在时，随，。我们就是要利用这两个边界条件确定。由（38）式可知，当y=0时，且 z=x+iy=x。因为问题是关于y轴对称的，所以中的含x项应该是平方项；又因为时，所以的分母中应有1的因式。又因为当x时，11，而此时要求=，因此分子应该取。综上所述，试选但是这样的在xa时，所以边界条件还不能完全满足。而虚数的实部为0，所以应该使在xa时是虚数，自然想到选平方根函数就可以达到目的。因此把上面的在改进为这里应注意，本来，但是本结构是对称的，所以只需要研究x0的那一半就可以了，所以取=x。因此最终要找的解析函数为 （311）将代入（38）、（39）和（310），就可以求出裂纹尖端区域的应力场、应变场和位移场。3型裂纹尖端区域的应力场与位移场图32为计算方便，把坐标原点从裂纹中心O点移至裂纹左端点处，设新坐标系中任意一点的复数坐标为，则两坐标系的换算关系为 =(xa)+iy=(x+iy)a=za即 z =+a （312）代入（311）得 （313）令 （314）则 （315）由（314）可知，当0时，而对于给定的受力状态和裂纹，和a都是常数，因此，在裂尖附近为一个实常数。令这个实常数为，即 因此有 （316）（316）是利用解析函数求型裂纹的应力强度因子的定义式。知道了裂纹对应的解析函数，就可以利用（316）式求出应力强度因子。因此，在裂纹尖端处0的一个很小的范围内，解析函数可以写成 （317）为研究方便，取极坐标系，令=r .ei=r(cos+isin) （318）（318）代入（317）得 （319）（317）对求导后再把（318）代入得 （320）（317）对积分后再把（318）代入得 （321）将（319）、（320）和（321）中的实部和虚部分开，再将y=rsin=2rsincos与这些实部和虚部一起代入（38）、（39）和（310）并整理得 （322） （323）说明：（1）推导过程中用了0的条件，所以（322）和（323）只适用于裂纹尖端附近区域，即要求ra，叫做渐进解。而对于稍远处，应该用（313）给出的来确定各应力分量和位移分量，叫做全解。这样求出的各应力分量与（322）的各应力分量的差值，就是第二章（213）中的O(r0)，它反映了裂纹尖端的渐进解与全解之间的差。在裂尖区域，渐进解是全解的良好近似。（2）（322）式可以缩写成张量形式 （324）由（324）可以看出对于裂纹尖端附近区域内某一定点（r，），其应力大小取决于KI的大小，KI越大，该点的应力也越大。因此，KI是表征裂纹尖端区域应力场强弱程度的参量，而且是唯一的参量。因为，所以当r0时，称为应力具有的奇异性。只要是型裂纹，裂纹尖端的应力场都具有相同的奇异性。它远比其它附加项要大得多。因此，（322）式对所有型裂纹问题都适用。综上所述，应力分量可由两部分描述：一部分是关于场分布的描述，它随点的坐标而变化，通过r的奇异性及角分布来体现；另一部分是关于场强度的描述，通过应力强度因子KI来表示，它与裂纹体的几何形状及外加载荷有关。3.2 型裂纹尖端区域的应力场与位移场型裂纹问题与型裂纹问题的主要差别在于两者在无限远处的受力条件不同。型裂纹问题在无限远处受的是均匀拉应力的作用，而型裂纹问题在无限远处受的是均匀剪应力的作用。图33 对于图33所示的型裂纹问题，Westergaard选用的应力函数为： （325）于是有 （326）与解型裂纹问题类似，对图33所示的“无限大”板，也可以找出一个满足边界条件的解析函数： （327）为分析裂纹尖端附近区域的应力场，与解型裂纹问题类似也将座标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有z=+a或=za，代入（327）式，可得令 （328）则有 （329）由（328）式可知，当时，也就是说在裂纹尖端附近处，为一个实常数（对于图33所示的纯剪切无限大裂纹板，该实常数为），一般情况下，设这个极限值为，即设则有 （330）常数就是型裂纹尖端的应力强度因子。（330）式就是由解析函数求解型裂纹尖端的应力强度因子的定义式。于是，在很小的范围内，和可以分别表示为 （331）为研究方便，用极坐标来表示，将代入上面两个式子，并利用公式，可得将和的实部和虚部以及代入（326）式，就可以得到型裂纹尖端附近各应力分量的表达式： （332）将（332）式代入广义虎克定律，就可以得到型裂纹尖端附近区域位移场的表达式 （333）3.3 型裂纹尖端区域的应力场与位移场型裂纹问题与、型裂纹问题不同，它是反平面问题。裂纹面沿图34中的z轴方向错开，因此裂纹面沿x方向和y方向的位移都为零，只有沿z方向的位移不为零，即u=0，v=0，w=w（x，y）图34根据弹性力学，在线弹性小变形情况下，联系应变与位移的几何方程为 (334)将u=0，v=0，代入（334）得 （335）将（335）代入广义虎克定律中：前三式联立得： （336）由得。 （337）将（336）和（337）代入平衡方程，可得 （338）应力与位移的关系为 （339）G：剪切弹性模量。将（339）代入（338）得 （340）（340）式表明，位移w应是调和函数，它满足调和方程。Westerggard选择的应力函数为：